中学数学教案

一、教学目标：

1.理解二元一次方程及二元一次方程的解的概念;

2．学会求出某二元一次方程的几个解和检验某对数值是否为二元一次方程的解;

3．学会把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的一次式来表示;

4.在解决问题的过程中，渗透类比的思想方法，并渗透德育教育.

二、教学重点、难点：

重点：二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念.

难点：把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，其实质是解一个含有字

母系数的方程.

三、教学方法与教学手段：

通过与一元一次方程的比较，加强学生的类比的思想方法;通过“合作学习”，使学生认识数学是根据实际的需要

而产生发展的观点.

四、教学过程：

1.情景导入：

新闻链接：桐乡70岁以上老人可领取生活补助,

得到方程：80a+150b=902880.

2.新课教学：

引导学生观察方程80a+150b=902880与一元一次方程有异同？

得出二元一次方程的概念：含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程.

做一做：

（1）根据题意列出方程:

①小明去看望奶奶，买了5kg苹果和3kg梨共花去23元，分别求苹果和梨的单价.设苹果的单价x元/kg,梨

的单价y元/kg；

②在高速公路上，一辆轿车行驶2时的路程比一辆卡车行驶3时的路程还多20千米，如果设轿车的速度是a千米

/小时，卡车的速度是b千米/小时，可得方程：.

（2）课本P80练习2.判定哪些式子是二元一次方程方程.

合作学习：

活动背景爱心满人间——记求是中学“学雷锋、关爱老人”志愿者活动.

问题：参加活动的36名志愿者,分为劳动组和文艺组,其中劳动组每组3人,文艺组每组6人.

团支书拟安排8个劳动组,2个文艺组,单从人数上考虑,此方案是否可行?为什么?

把x=8,y=2代入二元一次方程3x+6y=36,看看左右两边有没有相等?由学生检验得出代入方程后，能使方程两边

相等.得出二元一次方程的解的概念：使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的一个解.

并提出注意二元一次方程解的书写方法.

试一试：

检验下列各组数是不是方程2x=y+1的解:

①

4,

3,

x

y











②

2.5,

4,

x

y











③

6,

13.

x

y











②③是方程的解，每个学生再找出方程的一个解，引导学生得到结论：一般情况下，二元一次方程有无数个解.

3.合作学习：

给定方程x+2y=8,男同学给出y（x取绝对值小于10的整数）的值，女同学马上给出对应的x的值；接下来男女

同学互换.（比一比哪位同学反应快）请算的最快最准确的同学讲他的计算方法.提问：给出x的值，计算y的值时，y

的系数为多少时，计算y最为简便？

出示例题：已知二元一次方程x+2y=8.

（1）用关于y的代数式表示x;

（2）用关于x的代数式表示y;

（3）求当x=2,0,-3时,对应的y的值，并写出方程x+2y=8的三个解.

（当用含x的一次式来表示y后，再请同学做游戏，让同学体会一下计算的速度是否要快）

4.课堂练习：

(1)已知:5xm-2yn=4是二元一次方程,则m+n=;

(2)二元一次方程2x-y=3中，方程可变形为y=当x=2时，y=;

(3)已知

2,

1

x

y











是关于x,y的方程2x+ay=5的一个解，则a=.

5.你能解决吗？

小红到邮局给远在农村的爷爷寄挂号信，需要邮资3元8角.小红有票额为6角和8角的邮票若干张，问各需要多

少张这两种面额的邮票？说说你的方案.

6.课堂小结：

(1)二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念（注意书写格式）;

(2)二元一次方程解的不定性和相关性;

(3)会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式.

7.布置作业：(1)教材P82;(2)作业本.

教学设计意图：

依照课程标准，通过分析教材中教学情境设计和例习题安排的意图，在此基础上依据学生实际，制订了本堂课的

教学目标，教学重点和难点，课堂教学的设计始终围绕这教学重点和难点展开.

在充分理解教材编写意图、教学要求和教学理念的基础上，根据学生实际，从学生的已有经验出发，创设了教学

情境：关心老人，突出情感主线，并贯穿整个教学.并对教学内容进行适当的重组、补充和加工等，创造性地使用了

教材.所选择的例习题都体现实际问题数学化的思想，让学生感受到数学的魅力.这两个方面的设计贯穿整堂课，把

知识内容和情感体验自然连贯起来.

其次，在教学过程设计中，体现了让学生展示解决问题的思维过程，通过几个合作学习，激发学生主动去接触问

题，从而达到解决问题的目的.重视学生学习过程中的自我评价和生生间的相互评价，关注学生对解题思路回顾能力

的培养.

二元一次方程概念的教学中，通过与一元一次方程的类比的方法，使得学生加深印象.在突破难点的设计上，通

过游戏的形式激发学生的学习兴趣，并在选题时，通过降低例题的难度，使学生迅速掌握用关于一个未知数的代数式

表示另一个字母的方法，体会运用这种方法的可使求二元一次方程求解更简便.

《4．1二元一次方程》教学设计

衢州市兴华中学徐勇

一、教材的地位与作用

《二元一次方程》是九年义务教育课程标准实验教科书浙教版教材七年级下册第四章《二元一次方程组》的第一

节。在此之前学生已经学习了一元一次方程，这为本节的学习起了铺垫的作用。本节内容是二元一次方程的起始部分，

因此，在本章的教学中，起着承上启下的地位。

二、教学目标

(一)知识与技能：

1.了解二元一次方程概念；

2.了解二元一次方程的解的概念和解的不唯一性；

3.会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。

(二)数学思考：

体会学习二元一次方程的必要性，学会独立思考，体会数学的转化思想和主元思想。

(三)问题解决：

初步学会利用二元一次方程来解决实际问题，感受二元一次方程解的不唯一性。获得求二元一次方程解的思路方

法。

20

3

xy

y





(四)情感态度：

培养学生发现意识和能力，使其具有强烈的好奇心和求知欲。

三、教学重点与难点

教学重点：二元一次方程及其解的概念。

教学难点：二元一次方程的概念里“含未知数的项的次数”的理解；把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的

代数式表示另一个未知数的形式。

四、教法与学法分析

教法：情境教学法、比较教学法、阅读教学法。

学法：阅读、比较、探究的学习方式。

五、教学过程

（一）创设情境，引入新课

从学生熟悉的姚明受伤事件引入。

师：火箭队最近取得了20连胜，姚明参加了前面的12场比赛，是球队的顶梁柱。

（1）连胜的第12场，火箭对公牛，在这场比赛中，姚明得了12分，其中罚球得了2分，你知道姚明投中了几

个两分球？(本场比赛姚明没投中三分球)

师：能用方程解决吗？列出来的方程是什么方程？

（2）连胜的第1场，火箭对勇士，在这场比赛中，姚明得了36分，你知道姚明投中了几个两分球，罚进了几个

球吗？(罚进1球得1分,本场比赛姚明没投中三分球)

师:这个问题能用一元一次方程解决吗?,你能列出方程吗?

设姚明投进了x个两分球,罚进了y个球，可列出方程______。

（3）在雄鹿队与火箭队的比赛中易建联全场总共得了19分，其中罚球得了3分。你知道他分别投进几个两分球、

几个三分球吗？

设易建联投进了x个两分球，y个三分球,可列出方程______。

师：对于所列出来的三个方程，后面两个你觉的是一元一次方程吗？那这两个方程有什么相同点吗？你能给它们

命一个名称吗？

从而揭示课题。

（设计意图：第一个问题主要是让学生体会一元一次方程是解决实际问题的数学模型，从而回顾一元一次方程

的概念；第二、三问题设置的主要目的是让学生体会到当实际问题不能用一元一次方程来解决的时候，我们可以试着

列出二元一次方程，渗透方程模型的通用性。另外，数学来源于生活，又应用于生活，通过创设轻松的问题情境，点

燃学习新知识的“导火索”，引起学生的学习兴趣，以“我要学”的主人翁姿态投入学习，而且“会学”、“乐学”。）

（二）探索交流，汲取新知

1、概念思辩，归纳二元一次方程的特征

师：那到底什么叫二元一次方程？（学生思考后回答）

师：翻开书本，请同学们把这个概念划起来，想一想，你觉得和我们自己归纳出来的概念有什么区别吗？（同学

们思考后回答）

师：根据概念，你觉得二元一次方程应具备哪几个特征？

活动：你自己构造一个二元一次方程。

快速判断：下列式子中哪些是二元一次方程?

③④

⑤

⑦

（设计意图：这一环节是本课设计的重点，为加深学生对“含有未知数的项的次数”的内涵的理解，我采取的

是阅读书本中二元一次方程的概念，形成学生的认知冲突，激发学生对“项的次数”的思考，进而完善学生对二元一

次方程概念的理解，通过学生自己举例子的活动去把“项的次数”形象化。在归纳二元一次方程特征的时候，引导

①x2+y=0

②y=２x+４

⑥２x+１=２－x

2

1x

y



1

2

yx

4bab

学生理解“含有未知数的项的次数都是一次”实际上是说明方程的两边是整式。在判断的过程中，②⑥⑦是在书本的

基础上补充的，②是让学生先认识这种形式，后面出现用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数实际上是方程变

形；⑥是方程两边都出现了x,强化概念里两个未知数是不一样的；⑦是再次理解“项的次数”。）

2、二元一次方程解的概念

师：前面列的两个方程2x+y=36,2x+3y=16真的是二元一次方程吗？通过方程2x+3y=16，你知道易建联可能投中

几个两分球，几个三分球吗？

师:你是怎么考虑的?(让学生说说他是如何得到x和y的值的,怎么证明自己的这对未知数的取值是对的)

利用一个学生合理的解释,引导学生类比一元一次方程的解的概念,让学生归纳出二元一次方程的解的概念及其

记法。（学生看书本上的记法）

使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

（设计意图：通过引导学生自主取值，猜x和y的值，从而更深刻的体会二元一次方程解的本质：使方程左右

两边相等的一对未知数的取值。引导学生看书本，目的是让学生在记法上体会“一对未知数的取值”的真正含义。）

3、二元一次方程解的不唯一性

对于2x+3y=16，你觉得这个方程还有其它的解吗？你能试着写几个吗?

师：这些解你们是如何算出来的？

（设计意图：设计此环节，目的有三个：首先，是让学生学会如何检验一对未知数的取值是二元一次方程的解；

其次是让学生体会到二元一次方程的解的不唯一性；最后让学生感受如何得到一个正确的解：只要取定一个未知数的

取值，就可以代入方程算出另一个未知数的值，这也就是求二元一次方程的解的方法。）

4、如何去求二元一次方程的解

例已知方程3x+2y=10

（1）当x=2时，求所对应的y的值；

（2）取一个你自己喜欢的数作为x的值，求所对应的y的值；

（3）用含x的代数式表示y；

（4）用含y的代数式表示x；

（5）当x=-2，0时，所对应的y的值是多少？

（6）写出方程3x+2y=10的三个解.

（设计意图：此处设计主要是想让学生形成求二元一次方程的解的一般方法，先让学生展示他们的思维过程，再

从他们解一元一次方程的重复步骤中提炼出用一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后把它与原方程比较，把一

个未知数的值代入哪一个方程计算会更简单，形成“正迁移”，引导学生体会“用关于一个未知数的代数式表示另一

个未知数”的过程，实质是解一个关于y的一元一次方程，渗透数学的主元思想。以此突破本节课的难点。）

5、大显身手：

课内练习第2题

（三）梳理知识，课堂升华

本节课你有收获吗？能和大家说说你的感想吗？

（四）作业布置

必做题：书本作业题1、2、3、4

选做题：书本作业题5、6

六、设计说明

本节授课内容属于概念课教学。数学学科的内容有其固有的组成规律和逻辑结构，它总是由一些最基本的数学

概念作为核心和逻辑起点，形成系统的数学知识，所以数学概念是数学课程的核心。只有真正理解数学概念，才能理

解数学。二元一次方程作为初中阶段接触的第二类方程，形成概念并不难，关键如何理解它的概念，因此本节课采用

先让同学自己试着下定义，然后与教材中的完整定义相互比较，发现不同点，进而理解“含有未知数的项的次数都是

一次”这句话的内涵。

在二元一次方程的解的教学过程中，采用的是让学生体会“一个解——不止一个解——无数个解”的渐进过程，

感受到用一个二元一次方程并不能求出一对确定的未知数的取值，从而让学生产生有后续学习的愿望。

在讲授用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的时候，采用“一般——特殊——一般——特殊”的教学流

程，以期突破难点。首先抛出问题“这几个解你是如何求的”，此时注意的聚焦点是二元一次方程；其次学生归纳先

定一个未知数的取值，代入原方程求另一个未知数的值，此时注意的聚焦点是一元一次方程；然后教师引导回到二元

一次方程，假如x是一个常数，那么这个方程可以看成是一个关于谁的一元一次方程，此时注意的聚焦点是原来的二

元一次方程；最后代入求值，此时注意的聚焦点是等号右边的那个算式，体会“用含一个未知数的代数式表示另一个

未知数”在求值过程中的简洁性，强化这种代数形式。另外，在引导学生推导“用含一个未知数的代数式表示另一个

未知数”的过程中，渗透数学的主元思想和转化思想。

《4.2二元一次方程组》教学设计

浙江省温州市乐清虹桥实验中学陈谱锦

一．教学目标：

1．认知目标：1）了解二元一次方程组的概念。

2）理解二元一次方程组的解的概念。

3）会用列表尝试的方法找二元一次方程组的解。

2．能力目标：1）渗透把实际问题抽象成数学模型的思想。

2）通过尝试求解，培养学生的探索能力。

3．情感目标：1）培养学生细致，认真的学习习惯。

2）在积极的教学评价中，促进师生的情感交流。

二．教学重难点

重点：二元一次方程组及其解的概念

难点：用列表尝试的方法求出方程组的解。

三．教学过程

(一)创设情景，引入课题

1.本班共有40人，请问能确定男女生各几人吗？为什么？

（1）如果设本班男生x人，女生y人，用方程如何表示？(x+y=40)

（2）这是什么方程？根据什么？

2.男生比女生多了2人。设男生x人,女生y人.方程如何表示？x，y的值是多少？

3.本班男生比女生多2人且男女生共40人.设该班男生x人,女生y人。方程如何表示?

两个方程中的x表示什么？类似的两个方程中的y都表示？

象这样，同一个未知数表示相同的量，我们就应用大括号把它们连起来组成一个方程组。

4.点明课题:二元一次方程组。

[设计意图：从学生身边取数据,让他们感受到生活中处处有数学]

（二）探究新知，练习巩固

1．二元一次方程组的概念

（1）请同学们看课本,了解二元一次方程组的的概念，并找出关键词由教师板书。

[让学生看书,引起他们对教材重视。找关键词，加深他们对概念的了解.]

（2）练习：判断下列是不是二元一次方程组:

x+y=3,x+y=200,2x-3=7,3x+4y=3

y+z=5,x=y+10,2y+1=5,4x-y2=2

学生作出判断并要说明理由。

2．二元一次方程组的解的概念

（1）由学生给出引例的答案，教师指出这就是此方程组的解。

（2）练习：把下列各组数的题序填入图中适当的位置：

x=1x=-2x=-

2

1

x=

2

1

y=0y=2y=1y=

2

1



方程x+y=0的解，方程2x+3y=2的解，方程组x+y=0的解。

2x+3y=2

（3）既满足第一个方程也满足第二个方程的解叫作二元一次方程组的解。

（4）练习：已知x=0是方程组x-b=y的解，求a,b的值。

y=0.55x+2a=2y

（三）合作探索，尝试求解

现在我们一起来探索如何寻找方程组的解呢？

1.已知两个整数x,y，试找出方程组3x+y=8的解.

2x+3y=10

学生两人一小组合作探索。并让已经找出方程组解的学生利用实物投影，讲明自己的解题思路。

提炼方法：列表尝试法。

一般思路：由一个方程取适当的xy的值,代到另一个方程尝试.

[把课堂还给学生,让他们探索并解答问题,在获取新知识的同时也积累数学活动的经验.]

2.据了解，某商店出售两种不同星号的“红双喜”牌乒乓球。其中“红双喜”二星乒乓球每盒6只，三星乒乓球

每盒3只。某同学一共买了4盒，刚好有15个球。

(1)设该同学“红双喜”二星乒乓球买了x盒，三星乒乓球买了y盒，请根据问题中的条件列出关于x、y的方程

组。(2)用列表尝试的方法解出这个方程组的解。

由学生独立完成，并分析讲解。

(四)课堂小结，布置作业

1.这节课学哪些知识和方法?(二元一次方程组及解概念,列表尝试法)

2.你还有什么问题或想法需要和大家交流?

3.作业本。

教学设计说明：

1．本课设计主线有两条。其一是知识线，内容从二元一次方程组的概念到二元一次方程组解的概念再到列表尝试法，

环环相扣，层层递进；第二是能力培养线，学生从看书理解二元一次方程组的概念到学会归纳解的概念，再到自主探

索，用列表尝试法解题，循序渐进，逐步提高。

2．“让学生成为课堂的真正主体”是本课设计的主要理念。由学生给出数据，得出结果，再让他们在积极尝试后进

行讲解，实现生生互评。把课堂的一切交给学生，相信他们能在已有的知识上进一步学习提高，教师只是点播和引导

者。

3．本课在设计时对教材也进行了适当改动。例题方面考虑到数码时代，学生对胶卷已渐失兴趣，所以改为学生比

较熟悉的乒乓球为体裁。另一方面，充分挖掘练习的作用，为知识的落实打下轧实的基础，为学生今后的进一步学习

做好铺垫。

《二元一次方程组》教学设计

嘉兴市二十一世纪外国语学校张令

七年级下册（浙江版）

一、教学任务分析

根据学生的认知序，教材的知识序，结合新课程理念，确定下列教学目标：

二、教学准

备

多媒体

课件，一根

20厘米长

的铁丝.

三、教学过

程

环节一

创设情境，

探索新知

问题

1：假设你们

每人手上有

一根长

20cm的铁

丝，将这根

铁丝首尾相

连围成一个

正方形，围

出来的正方

形都完全一

样吗？

问题

2：同样用

这根20厘

米长的铁丝，首尾相连围成的长方形都完全一样吗？你能用二元一次方程来表示吗？

【设计意图】

①通过问题情境复习旧知，真正理解二元一次方程的意义；

②为探索新知做好铺垫。

问题3：前面两个问题中都存在二元一次方程10yx,为何围成的长方形有无数种情况，而围成的正方形只

有一种情况？

【设计意图】

通过两个问题的对比，让学生感受到10yx与yx同时满足时，存在解的唯一性的过程，为二元一次方

程组的形成做铺垫。

问题4：你能否通过增加一个条件，使同学们围成的长方形都完全一样吗？希望大家能增加更多不同类型的条件。

【设计意图】

①开放性问题的设置不仅激发学生的求知欲，而且通过该开放性问题让学生真正感受二元一次方程组的形成；

教

学

目

标

活动知识与技能过程与方法情感与态度

活动一：

一根20厘

米长的铁丝，首

尾相连围成正

方形、长方形。

(1)让学生了解二元一次

方程组的概念；

(2)通过具体情况理解二

元一次方程组解的概念。

(1)通过具体

问题的对比，让学

生经历二元一次方

程组的形成过程；

(2)让学生初

步感受二元一次方

程组的核心思想及

利用方程组解决问

题的基本策略。

通过小组合

作学习，培养学

生的合作意识和

团队精神。

活动二：

学生之间

比一比，赛一

赛。

让学生巩固二元一次方

程组的概念以及二元一次方

程组解的概念。

通过学生之间

的比赛、交流，让

学生真正理解二元

一次方程组的核心

思想。

营造和谐、

活泼的课堂氛

围，激励全体学

生参与教学活

动。

活动三：

生活中的

数学问题。

让学生学会利用二元一次方

程组解决生活中的实际问

题。

(1)让学生体

验应用问题可列方

程组解决；

(2)让学生经

历列表尝试法求二

元一次方程组解的

过程。

教学重点二元一次方程组的形成思想及解的概念

教学难点二元一次方程组的形成过程

②培养学生的合作意识以及团队精神；

③通过此问题引出二元一次方程组的概念。

【操作形式】

①学生先思考，再分组合作，小组汇报；

②根据学生的汇报，教师引导，从而引出二元一次方程组的概念；

③教

师备用：





















2

10

,

6

10

xy

yx

x

yx

.

巩固

概念

请在下列方程中选出两个方程，组成二元一次方程组。

问题5你怎么能肯定，你所增加的一个条件就一定使长方形确定下来了呢？

【操作形式】

①通过问题的解决，导出二元一次方程组解的定义；

②让学生真正理解什么叫二元一次方程组的解。

环节二变题训练巩固新知

比一比，赛一赛

1.方程组











23

6

yx

yx

的解是()

A、











1

5

y

x

B、











2

4

y

x

C、











1

5

y

x

D、











2

4

y

x

2．下列哪一个二元一次方程组的解为











2

1

y

x

（）

A、











823

3

yx

xy

B、











523

1

yx

xy

C、











22

3

xy

yx

D、











3

2

yx

xy

3．你能通过下列表格的填写找到二元一次方程组











532

10

yx

yx

的解吗？

532yx的解

x…5.566.577.5…

y……

环节三感受生活运用新知,

小聪

全家外出

旅游，估

计需要胶

卷底片

120张，

商店里有两种型号的胶卷：A型每卷36张底片，B型每卷12张底片。小聪一共买了4卷胶卷，刚好有120张底片，如

果两种胶卷分别买x卷和y卷.请根据问题中的条件列出关于x,y的方程组，并用列表尝试的方法求出A型和B型胶

卷的数量.

【设计意图】

①让学生继续体验对于含有两个未知数的实际问题，可以列方程组来解决；

②让学生再次经历列表尝试解二元一次方程组的方法。

③在用二元一次方程组解决问题之后，进一步追问：“你能列一元一次方程求出A、B两种型号的卷数吗？”

环节四总结回顾梳理新知

①每位同学自己写一个二元一次方程组_____________;(同学之间互相检查,为什么是二元一次方程组?)

②你有什么方法找到这个方程组的解.

备用：

1．请编一个二元一次方程组，使得此方程组的解为











3

1

y

x

，_____________________,

2．若关于x、y的二元一次方程组











ybx

yax

223

2

的解为











3

1

y

x

，则a=_____,b=______.

环节五作业布置

①数学作业本(1)号本4.2节

②课本A、B组练习

设计说明：

1.本节课设计充分结合学生的已有知识以及生活经验，通过一根20厘米长的铁丝，设计一些由易到难的问题串，

引导学生去探究.在看得见，摸得着的长方形拼折过程中，引发学生的兴趣，提炼数学的本质.

2.本节课的设计旨在培养学生的数学思维.以一根20厘米长的铁丝，在围正方形和长方形的对比过程中，逐渐提

炼出方程组的形成思想，并和学生一起概括出二元一次方程组及其解的概念。通过让学生添加形成长方形的条件，使

学生在独立思考、小组交流中体会出方程组形成的过程以及方程组解的本质；在“比一比、连一连、写一写”的练习

中，学生及时应用所学的概念和方法，巩固提高.编拟的三个问题环环相扣，体现了基础性训练与探索性、思维性训练

相结合的习题体系，使学生的思维品质在质疑的过程中不断升华和发展，培养思维的严谨性和造创性。

3.本节课的设计以情景创设为背景，以教师为主导，学生为主体，力求体现知识的形成过程；

4.在课堂中，尽量为学生提供“做中学”，“想中学”，“动中学”的空间.借助已有的知识和方法主动探索新知识，

扩大认知结构，发展能力，从而使课堂教学真正落实到学生的发展上.

10yx的解

x…5.566.577.5…

y……

4.2二元一次方程组

授课教师：舟山南海实验学校李丰盛

教材：《义务教育课程标准实验教科书数学七年级下册》

一、教学目标：

1、了解二元一次方程组的概念；

2、理解二元一次方程组的解的概念；

3、会检验一对数是不是二元一次方程组的解，会利用列表尝试的方法求简单二元一次方程组的解；

4、通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，同时培养学生观察、归纳、

概括能力。

二、教学重点：

二元一次方程组及其概念。

三、教学难点：

利用列表尝试的方法求简单二元一次方程组的解。

四、教学方法与教学手段：

引导探索、合作交流

教学流程：

教学环节教学流程流程意图

引

入

新

课

在上课前先让学生欣赏各种各样的奥运商品，有昂贵的金属“鸟

巢”、有各种金银币、也小到我们所用的奥运笔，奥运书包等。

在奥运主题的大背景下体现研

究问题的必要性。

讲

授

新

课

1

活动一:

为了响应奥运精神，初一（9）班要举办“迎奥运”知识竞赛，

并以福娃玩具和奥运笔作为奖品。因此，黄老师想了解一个福娃和

一支奥运笔的价格分别为多少元？

信息一：

信息二：

设问：1、由信息一能得到福娃和笔的价格吗？

2、有了两个信息，能得到福娃和笔的价格吗？

3、你是怎么得到的？

师：告诉同学们比较直观的方法------列表尝试法

已知x+2y=56，填写下表：

x…333435363738…

y

已知2x+3y=102，填写下表：

x…333435363738…

y

设问：由这两个表格，你能得到福娃和笔的价格吗？

由活动一让学生体会到有两个

未知量的实际问题，用一个二

元一次方程无法解决，但可以

由两个方程共同解决，从而引

出二元一次方程组的概念；通

过列表求解，让学生归纳得到

二元一次方程组解的概念；同

时，让学生初步了解解二元一

次方程组的一种方法------列

表尝试法。

讲

授

新

课

2

二、概念形成：

（1）由活动一得出二元一次方程组的概念：

像这样由两个一次方程组成，且含有两个未知数的方程组，叫

做二元一次方程组。

设问：二元一次方程组必须满足几个要求？

对照定义，请你判断：

1、下列方程组中，是二元一次方程组的有

①

0

12





zy

yx

②

xy

yx





2

22

③

1



xy

xyyx

④

2

1

3





xy

x

⑤

23

01

2







yyx

yx

（2）由列表尝试求解的过程得出二元一次方程组的解的概念：

能同时满足两个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解。

对照定义，请你判断：

2、方程组

23

6





yx

yx

的解是（）

（A）

1

5





y

x

（B）

2

4





y

x

（C）

1

5





y

x

（D）

2

4





y

x

3、把下列各组数的题序填入图中适当的位置：

①

0

1





y

x

②

2

2





y

x

③

1

2

1





y

x

④

2

1

2

1





y

x

方程x+y=0的解方程2x+3y=2的解

（3）怎样用列表尝试法求二元一次方程组的解。

由活动一得到二元一次方程组

和二元一次方程组的解的概

念，并对概念通过练习及时巩

固，特别对于第3题，很多学

生会对这两个椭圆无法理解，

要及时分析。通过练习进一步

让学生体会方程组的解与其中

各方程之间的关系。同时掌握

怎样用列表尝试法求二元一次

方程组的解。

合

作

交

流

活动二：[合作交流]

了解了一个福娃和一支笔的价格分别是36元和10元，黄老师

就开始准备知识竞赛的有关事项了。她准备设定一等奖、二等奖、

三等奖共6名，并且奖品设制如下表

一等奖二等奖三等奖

买奖品的总费用是198元，如果设一等奖1名，设二等奖和三等奖

的人数分别为x名和y名，请根据问题中的条件列出关于x、y的

方程组，并用列表尝试的方法求解。

设问：你能用一元一次方程来解吗？

综合运用知识培养学生探究、

创新的精神和合作交流的意

识。对于列表尝试法解简单二

元一次方程组的解是一个难

点，在学生合作过程中，教师

还有必要进行引导。

通过让学生列一元一次方程与

二元一次方程组的简单比较，

为下节课的代入法解二元一次

方程组作伏笔。

互

动

游

戏

以四人小组为单位，设计一个5角和1元硬币的问题情境，

使该问题可应用二元一次方程组来解决。并把你们编的问题情境让

另一个小组来列方程组。

通过互动游戏，更加体现同学

与同学的合作关系，也尝试让

学生自编习题，提高学生探索

问题、分析问题的能力。

小

结

、

作

业

课堂小结：

谈谈本节课你学到了哪些知识。

作业：

书本上的作业题和作业本。

教学设计说明：

本节课重点是二元一次方程组概念和二元一次方程组的解的概念形成，难点是怎样用尝试列表法求二元一次方程

组的解。为了解决重点和突破难点，本节课在设计时以“奥运”为主线索，在这个历史的大背景下研究实际问题的需

要，主要通过安排两个活动来达到教学的目的。

在活动一中，通过对含有两个未知数的实际问题的解决，从设一个二元一次方程的无法解决，到由两个方程的组

成可以达到目的的这一过程，让学生体会到有两个未知量的实际问题，用一个二元一次方程无法解决，但可以由两个

方程共同解决，从而引出二元一次方程组的概念；通过列表求解，让学生归纳得到二元一次方程组解的概念；同时，

让学生初步了解解二元一次方程组的一种方法------列表尝试法。

由活动一得到二元一次方程组和二元一次方程组的解的概念，并对概念通过练习及时巩固，特别对于第3题，很

多学生会对这两个椭圆无法理解，要及时分析。通过练习进一步让学生体会方程组的解与其中各方程之间的关系。同

时掌握怎样用列表尝试法求二元一次方程组的解。

在学生理解概念的前提下，及时地开展一个合作交流，即能起到巩固知识的作用，同时也可以通过

综合运用知识培养学生探究、创新的精神和合作交流的意识。对于列表尝试法解简单二元一次方程组的解是一个难点，

在学生合作过程中，教师还有必要进行引导；活动二的延伸是通过让学生列一元一次方程与二元一次方程组的简单比

较，为下节课的代入法解二元一次方程组作伏笔。

最后安排一个互动游戏。通过互动游戏，更加体现同学与同学的合作关系，也尝试让学生自编习题，提高学生探

索问题、分析问题的能力。

整个教学的设计主要要体现学生的发展为本的精神，为充分体现以教师为主导、学生为主体的原则，整个教学过

程设计力求发挥学生的主体意识，进行创造性的学习。无论是在概念的形成、发现还是在应用过程中，尽量不采取直

接板书或教师灌输的方法，而是有意识地营造一个较为自由的空间，让学生能主动去观察、猜测、发现，积极动手动

口动脑，教师在教学过程中再加以引导、点拨和纠偏示范。

4.2二元一次方程组

浙江省龙泉市第二中学夏旭霞

浙教版七年级（下）

一、〖教学目标〗

◆1、知识与技能目标：

(1)、理解二元一次方程组的概念和二元一次方程组解的含义。

（2）、会检验一对数是不是二元一次方程组的解，会利用列表尝试的方法求简单二元一次方程组的解。

（3）、通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，同时培养学生观察、归

纳、概括能力。

◆2、过程与方法目标：

从一个学生熟悉的生活实例引入二元一次方程组的概念，并通过“辩一辩”、“填一填”、“试一试”、“做一做”，加

深学生对“二元一次方程组”和“二元一次方程组的解”的概念的理解；并使学生初步了解用列表尝试的方法求二元

一次方程组的解，并使学生在解决问题的过程中经历知识的产生过程。

◆3、情感与态度目标：

从学生的生活实际提出问题，既体现知识的学习过程，又体现知识的应用过程，同时还有利于激发学生的学习兴

趣，有利于学生养成关注身边的事例、关心他人，培养一种社会的责任感。

二、【教学重点、难点】

重点是二元一次方程组的意义和二元一次方程组解的概念。

难点是利用列表尝试的方法求简单二元一次方程组的解。

【教学准备】

多媒体、实物投影仪。

三、〖教学方法和手段〗

基于本节课内容的特点和七年级学生的心理及思维发展的特征，在教学中选择激趣法、讨论法和总结法相结合。

与学生建立平等融洽的互动关系，营造合作交流的学习氛围。在引导学生进行观察分析、抽象概括、练习巩固各个环

节中运用多媒体进行演示，增强直观性，提高教学效率，激发学生的学习兴趣。

四、【教学过程】

教学

环节

教师活动学生活动设计意图

创设

情境

提出

问题

引出

新知

课前4分钟开始播放音乐《龙泉之歌》

介绍我的儿子丁丁。

丁丁想利用家里的天平称出一个苹果和一个梨的质量

分别是多少？

问题展示：

一个苹果和一个

梨的质量合计200g。

这个问题中，如果设苹果和梨的质量分别为xg和

yg，你能列出方程吗？

利用这个方程你能帮助丁丁分别求出苹果和梨的质

量吗？

这个苹果的质量加上一个10g的砝码恰好与这个梨

的质量相等，你还能列出方程吗？

方程200xy和10yx中，x，y都分别表示

同一个未知数，也就是说，x，y的值必须同时满足上述

两个方程，因此可以把两个方程合起来，写成

学生欣赏音乐

交流讨论得出：

方程200xy

为例题改编为去

龙泉山旅游创设

情境。

复习二元一次方

程的概念及二元

一次方程的解有

无数个。

经历从实际问题

中抽象出二元一

次方程组的过程，

体会方程的模型

思想”

200

10

xy

yx











，像这样由两个一次方程组成，并且含

有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。

巩固

概念

请判别下列各方程组是不是二元一次方程组：

（1）











23

5

yx

yx

（2）











1

32

yx

yx

（3）











512

3

x

xy

（4）















5

3

1

yx

y

x

（5）











4

7

ca

ba

（6）











5

32

yx

x

师生共同归纳出二元一次方程组的特征：

①两个一次方程；②共含有两个未知数。

强调：这两个条件缺一不可。

学生举手表决通过对二元一次

方程组的甄别，加

深学生对二元一

次方程组的理解。

尝试

探索

再次

引出

新知

做一做

1、（1）已知方程200xy，填写下表：

x。。。859095100105。。。

y。。。。。。

提问：你能从中确定苹果和梨子的质量吗？

（2）已知方程10yx，填写下表：

x。。。859095100105。。

y。。。。。

问题：现在你能找出苹果和梨的质量分别为多少g吗？

为什么？

问题：（1）方程组中每个方程的解都适合方程组吗？

（2）什么是方程组的解呢？

（3）你能说出这个方程组的解吗？

同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二

元一次方程组的解。

自主探索，口答就方程

200xy而言有无

数组解，也就是说苹果和

梨子的质量不能唯一的确

定。

自主探索，口答

合作思考、讨论、探索解

决问题得出

，因为

方程200xy和方

程10yx中，x，y

都表示同一个未知数，也

就是说，x，y的值必须同

时满足上述两个方程。

讨论交流得出：

同时满足二元一次方程组

中各个方程的解，叫做这

个二元一次方程组的解

是。

通过自主探索体

会从实际问题中

抽象出二元一次

方程组及二元一

次方程解的不确

定性，与二元一次

方程组的解的唯

一性的辩证关系。

反馈

练习

巩固

概念

1、把下列各组数的题序填入图中适当的位置：

（1）

1

0

x

y











（2）

2

2

x

y











自主练习口答

请各位学生都来当老师，

同桌同学之间互相评判。

进一步体会方程

组的解与其中各

方程解之间的关

系。

把时间和空间都

还给学生，使他成

为课堂的主人。

95

105

x

y











95

105

x

y











（3）

1

2

1

x

y















（4）

1

2

1

2

x

y



















2、请写一个以

2

2

x

y











为解的二元一次方程组。

激发了兴趣

提高了能力。

应用

探究

发展

能力

例丁丁全家外出旅游，估计需要胶卷底片120张，

商店里有两种型号的胶卷：A型每卷36张底片，B型每

卷12张底片，丁丁的妈妈一共买了4卷胶卷，刚好有

120张底片。如果设两种胶卷分别买了x卷和y卷，请

根据问题中的条件列出关于x，y的方程组，并用列表

尝试的方法求两种胶卷的数量。

指出：因为x，y必须取自然数（为什么？）

x的最小可能性是多少？

所以可以列表尝试如下：

显然，只有

x=3，y=1符

合这个方程

组，所以方程

组的解是

答：买了A型

胶卷3卷，B型胶卷1卷。

x01234

y

36x+12y

分组讨论，交流

根据条件可列出关于x，y

的方程组

4

3612120

xy

xy











因为胶卷是整卷卖的，所

以x的值可分别取是0，1，

2，3，4。

相应的y的值可分别取4，

3，2，1，0。

讨论如何列表。

综合运用知识养

学生探究、创新的

精神和合作交流

的意识。

反馈

练习

及时

调控

用8块相同的长方形木地板拼成一个矩形，每个小长方

形的长宽如图，请列出关于x、y的二元一次方程组，

你能求出所拼成的大长方形的面积吗？

自主练习

分组合作，交流探讨。

本题是一道数形

结合题，可列出多

个不同的方程组，

不仅可以巩固本

节课的知识点，更

是培养了学生的

发散性思维，同时

又为下节课的代

入消元法解方程

组埋下伏笔。

回顾

总节

布置

作业

1、通过这节课的学习，你有什么收获？

（根据学生的所思所感，教师给予恰当的评价。）

归纳：

（1）在日常生活中有很多含有两个未知数的实际问题，

列二元一次方程组是出于解决含有两个未知数的问题

的需要。

（2）由两个不同的一次方程组成，且含有两个未知数

的方程组，一般有唯一确定的解。

2、布置作业：作业本（2）P18

讨论、整理、口答

相互补充。

引导学生思考、交

流、梳理所学知

识。

“帮助别人，收获

快乐；勤于思考，

体验成功”，使学

生形成的积极情

感体验得到升华。

【教学设计说明】

本节课以丁丁的三个问题为主线来组织教学，以丰富的生活情景激发学生的求知欲望，让学生充分体验到：数学

来源于生活，又应用于生活。

3

1

x

y











y

x

32















通过用天平直观形象的展示抽象出二元一次方程组的过程，体会方程组的模型思想，进一步让学生经历体会从

实际问题中抽象出数学问题，发展学生灵活运用有关知识解决实际问题的能力，培养学生良好的数学应用意识。同

时综合运用探索、启发等几种方法，体会从实际问题中抽象出二元一次方程组及二元一次方程解的不确定性，与二

元一次方程组的解的唯一性的辩证关系。并结合多媒体、实物投影仪等现代教学手段实施教学，体现直观性。

通过邀请学生“到龙泉山旅游，一定来我家作客”，拉近师生间的感情，使学生产生积极的学习情感。通过对问

题的解决，展示学生解决问题的成果，体验成功的快乐。

《定义与证明》教学设计

课题4.1定义

与证明

教材浙教版数

学八年级

下册

授课

教师

杨慧学校宁波市第七中学

教

学

目

标

知识

技能

1．了解定义的含义;

2．了解命题的含义;

3．了解命题的结构;

4.掌握区分命题的条件和结论.

过程

与方

法

1．经历感受定义的含义,能叙述一些简单的数学概念的定义;

2．体验命题的含义;

3．体验区分命题的条件和结论,会把一个命题写成“如果…那么…”的形式；

情感

态度

1.在探索问题的过程中,感悟数学术语的科学性和严密性;

2.在与他人的合作过程中，培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志。

3.鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，培养学生的合作意识和团队精神。

教学

重点

命题的概念

教学

难点

对条件和结论不十分明显的命题,改写成“如果…那么…”的形式时,学生会感到困难,是本

节课的难点.

教学

准备

与教

学媒

体

练习纸、多媒体

教法

及学

法

自主、合作、探究、体验式教学法

教学过程设计

教学

环节

教学活动师生活动设计意图

环节

1

创

设

情

境

，

导

入

新

课

环节

1

创

1.活动1叫四位同学名字,请四位同

学起立;

(幻灯:名字让素不相识的我们认识

了!)

2.活动2请这四位同学帮忙回答问题:

(①两同学根据幻灯播放的图片说出名称:

五星红旗;奥运鸟巢②两同学根据幻

灯播放的名称展示实物:双手;三角

尺)

3．小结:在生活中,正是因为有了这些名

词,让我们能够由实物说出它的名称,也

能由名称联想到对应的实物!

(幻灯:名称,让刚刚认识的我们沟通了!)

4.活动3(幻灯:出示正方体，三角形图

老师叫4名同

学名字，叫到

的学生起立,

并根据幻灯回

答分别回答问

题.

学生大声说出

幻灯上图形的

名称

学生摇头

本环节设计包含两层意

思:

(一)已经有的有其明确含

义的名词给我们的沟

通交流带来的方便;

(二)含义不明确的名词给

交流带来的不便,所

以我们非常有必要清

楚规定一些名称和术

语的意义(下定义)

1.由叫同学们的名字,

让同学们意识到取名

字的必要性(为下面

的名称和术语定义必

设

情

境

，

导

入

新

课

(

续)

片，还有无理数和平行线的名词)

（请同学们大声说出图形的名称！）

5师总结:这些名称，我们知道它们的意义，

所以我们能由名称联想到什么！我们再来看这

两个数学名词：优弧、劣弧

（师：同学们能很快地说出它们的意义

吗？）

同学们可能并不十分清楚它们的意义，

所以（幻灯：生词，让正在沟通的我们中断

了！）

总结：所以，为了便于沟通和交流，达到某种

共识，不造成歧义，我们有必要对一些名称和

术语的意义作清楚的规定！

要性作了铺垫)

2.四同学的活动让同学

们认识到已有的名词

和术语给我们的沟通

带来的方便(为名称

和定义的必要性又做

了铺垫)

3.正方体，三角形，平

行线，无理数是学生

熟悉的并知道其意义

的数学名称，而优弧，

劣弧一下子又难倒了

学生，这样前后一比

较，让学生深刻体会

到给名词定义的必要

性！

4．在以上几个步骤层层铺

垫的前提下,.让学生一步

步感受对某些名词和定义

的必要,自然引入到定义

的教学!

环节

2

实

践

活

动

，

探

索

新

知

环节

2

实

践

活

动

，

探

索

新

知

（续

）

（一）定义

1.定义的含义

(1)从学生熟悉的数学名称（刚才出现在幻灯

中的）为着入点学习定义的含义:

①三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾

顺次连结而成的图形叫做三角形

②无理数：无限不循环的小数叫做无理数

③平行线：同一平面内不相交的两条直线叫做

平行线。

（师：这些语句清楚地规定了三角形、无理数，

平行线的意义，我们就把它称为三角形，无理

数，平行线的定义。）

（2）定义的含义

一般地，能清楚地规定名称和术语的意义的句

子叫做该名称和术语的定义

（根据这三个定义，你能说说一般情况下一个

名称和术语定义的句子结构以什么形式呈现的

吗？）

2．趁热打铁:给已学名称和术语下定义

（1）极差

（2）直角三角形

（3）压强

（学生说完）

（二）命题

学生探索一个

名称和术语定

义的句子结构

的呈现形式

学生顺利说出

前三个

学生阅读，找

出叙述中的定

义

学生比较如图

两种弧的长短

教师制造小情

境先举几例！

让学生说说判

别一个句子是

否是命题的关

键要领是什

么？

学生练习

教师问，学生

答

学生说题设和

结论，教师趁

热打铁，让学

本环节设计意图包含三层

意思:

(一)已经有的熟悉的名称

和术语是怎样定义的,定

义的句子的形式在一般形

式上是怎样呈现的

(二)模仿熟悉的名称和术

语的定义给学过的名词下

定义

（三）在一段叙述中要会

找出名称和术语的定义，

并感知叙述中需要下定义

的名称和术语。

(特殊一般)

本环节的设计意图

知道了为什么要定义以及

对一些已学名称下定义，

还要让学生学会如何在一

段叙述中找出定义，让学

生学会学习的一种方法。

（1）解释了刚才学生感到

迷惑的生词（优弧和劣弧）

（承上）

（2）根据优弧，劣弧定义，

环节

2

实

践

活

动

，

探

索

新

知

（续

）

环节

2

实

践

活

动

，

探

索

新

知

（续

）

1．命题的含义

(1)命题的含义的引入

（师：现在你们知道优弧、劣弧的含义了吧？

那我们又可以继续交流了）

学生:……….

师：同学们在比较中出现了正确的，也出现了

不正确的结果，但都是对两条弧的长度作出了

判断

(2)命题的含义

引出命题的定义:

命题:对一件事情作出正确或不正确的判断的

句子叫做命题.

2.练习(辨一辨)

(1)

3．命题的结构及命题的改写（改写成如果。。。

那么。。。的形式）

（1）命题的结构

师：我们着重来分析上面第六句：

如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三

角形的对应角相等

问：同学们认为这个命题的条件和结论分别是

什么？

学生：……

师小结：

命题可看做由题设（条件）和结论两部分组成。

题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事

项。

（2）命题的改写

师：再来看这个命题：

全等三角形的对应角相等

师：现在你们认为这个命题的题设和结论又是

什么呢？

（让学生感受到在连结过程中出现了语句不通

顺，自然意识到适当增加语词的必要性）

（然后再幻灯出示：

如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三

角形的对应角相等

让学生在比较中感受到（1）改写成“如果。。。

那么。。。”形式的必要性；（2）怎样适当地补充

词语。

例题：请指出下列命题中的条件与结论，并改

写成“如果…那么…”的形式。

1．两直线平行，同位角相等。

2．同位角相等。

3．对顶角相等。

生用“如果…

那么….”的形

式连结

教师分析，学

生尝试

学生练习

教师提示又可以继续交流

了（然后接下环节让学生

比较如图的优弧，劣弧的

长度，引出正确和不正确

的判断，启下）

在学生比较中出现了正确

的，也出现了不正确的，

但都是对如图两种弧的长

度作出了判断，教师此时

引出命题的定义。

很好得起到承上启下的作

用!

练习让学生学会通过判别

一个句子是否是命题的关

键要领来识别一句句子是

否是命题，有些内容编排

贴近学生生活实际，有些

命题是下面改写如果那么

要用到的，让学生感受到

知识的系统化。

先出现如果。。。那么。。。

的形式的命题的目的：

(1)一般的上课思路是直

接让学生把一个命题改写

成“如果。。。那么。。。”形

式，学生只是机械接受，

没有意识到为什么要把一

个命题改写成“如果。。。

那么。。。”形式。

（2）先出现“如果。。。那

么。。。”形式，让学生感受

到在如果。。。那么。。。形

式下的命题找题设和结论

是非常容易的。而学习命

题就要学会找命题的题设

和结论，所以让学生领会

把一个命题改写成“如

果。。。那么。。。”形式的必

要性

（3）而且有些命题找出题

设和结论比较困难，那么

先以“如果。。。那么。。。”

形式呈现，让学生感受到

在此形式下找出题设和结

论的方便的同时，也自然

4．同一个三角形中等角对等边。

练一练：

1．两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形

全等;

2．直角三角形两个锐角互余.

过渡到非“如果。。。那

么。。。”的形式下的同一个

命题，让学生在对比的情

况下感受到此命题要适当

加上一些省略的词语！

此例的编排意图：

（1）两直线平行，同位角

相等的改写是最基础的，

让学生尝试成功的喜悦；

（2）在第一个命题的基础

上，改写第二个命题，让

学生感受到一个命题的结

论其实也是一个命题，而

且让学生明白错误的命题

其实也可以改写“如果…

那么…”的形式。在形式

上也为下一句对顶角相等

的命题的分析作好铺垫！

环节

3

操

作

演

练

，

内

化

方

法

(三)合作学习

小组争辉：先阅读,再回答:

观察下列各数:

6=1×2×3

24=2×3×4

60=3×4×5

120=4×5×6

……

我们把6,24,60,120这四个数都叫做“连绵数”

（1）请观察等式右边，给连绵数下个定义。

（2）探索连绵数的性质：

①“连绵数”一定是3的倍数．请把这个命题

改写成“如果…那么…”形式．

②对两个连续的连绵数进行“加、减、乘、除”

运算，会得到一些有趣的结论，根据你的猜想

说出一些命题．

（3）关于“连绵数”遐想

你能把“连绵数n(n+1）（n+2）”的三个因式n，

(n+1)，（n+2）和三角形的三边联系，说出一些

命题吗？

师小结：定义把名词的含义说清楚，不至于引

起歧义；可以从探究名词的属性和相互关系中

找到命题，创造命题。

小组合作讨

论,教师巡回

指导

小组合作环节意图：

让学生体会：

（1）给名词适当的下定

义；

（2）怎样找命题，造命题；

（从名词间的属性和名词

间的关系中找、造）

（3）在与他人的合作过程

中，培养学生敢于面对挑

战和勇于克服困难的意

志。

环节

4

收

获

与

感

悟

师生总结：

学生谈收获，

教师总结

在教师引导下，学生自主

进行归纳，能够使所学的

知识及时归纳如学生的认

知结构。

环节

5

课后

延伸

布置

作业

1．必做题：作业本，同步练习

2．选做题：书本作业题

３．课外思考：班级中小组进行合作，尽可能

多地发现生活和学习中的定义与命题，并把命

题改写为“如果…那么…”的形式

学生记录作业

内容

通过作业的布置对本节知

识复习和巩固，实现对知

识的应用的拓展。

设计说明：

1．谈谈我的引入：

本环节设计包含两层意思:

(1)已经有的有其明确含义的名词给我们的沟通交流带来的方便;

(2)含义不明确的名词给交流带来的不便,所以我们非常有必要清楚地规定一些名称和术语的意义(下

定义)，整个过程贯穿三句话：①名字，让素不相识的我们认识了!②名称，让刚刚认识的我们沟通了！

③生词，让正在沟通的我们中断了！

过程说明:

由叫同学们的名字,让同学们意识到取名字的必要性(为下面的名称和术语定义必要性作了铺垫)

四同学的活动让同学们认识到已有的名词和术语给我们的沟通带来的方便(为名称和定义的必要

性又做了铺垫)

正方体，三角形，平行线，无理数是学生熟悉的并知道其意义的数学名称，而优弧，劣弧一下子

又难倒了学生，这样前后一比较，让学生深刻体会到给名词定义的必要性！

在以上几个步骤层层铺垫的前提下,.让学生一步步感受对某些名词和定义的必要,自然引入到定

义的教学!

体现了引入新知识的一个重要原则------由自然到必然。

2.谈谈我对定义这部分教学的处理:

本环节设计意图包含三层意思:

(1)已经有的熟悉的名称和术语是怎样定义的,定义的句子的形式在一般情况下是怎样呈现的

(2)模仿熟悉的名称和术语的定义给学过的名词下定义

（3）在一段叙述中要会找出名称和术语的定义

(特殊一般)

3．谈谈我对从“定义”到“命题”的过渡的处理：

本环节的设计意图：学生下定义，让学生明白其实在平时的学习中，我们还要学会找出某些名称和术

语的定义，教师趁热打铁让学生阅读一段关于优弧、劣弧的定义的叙述，目的让学生学会如何在一段

叙述中找出定义，而这两个词正是情境创设里学生遇到的生词，也是急切想知道其含义的，出现在这

里，一是让学生感受到是优弧、劣弧的定义让他们理解了其含义，更体现了定义的必要性；二是教师

可从这个环节过渡到让学生根据优弧、劣弧的定义比较如图所示的优弧、劣弧的长，从学生正确的和

不正确的判断中引入“命题”的教学。

4．谈谈我对难点的处理：

本堂课的难点:对条件和结论不十分明显的命题,改写成“如果…那么…”的形式时,学生会感到

困难,是本节课的难点.

我的做法是:先出现一个“如果。。。那么。。。”形式的命题(如果两个三角形是全等三角形，那么

这两个三角形的对应角相等),让学生找题设和结论,然后再把此命题以(全等三角形的对应角相等)形

式呈现,再让学生找题设和结论,让学生在找的过程中,感受以下几点:

(1)一般的上课思路是直接让学生把一个命题改写成“如果。。。那么。。。”形式，学生只是机械接受，

没有意识到为什么要把一个命题改写成“如果。。。那么。。。”形式。

（2）先出现“如果。。。那么。。。”形式，让学生感受到在如果。。。那么。。。形式下的命题找题设和

结论是非常容易的。而学习命题就要学会找命题的题设和结论，所以让学生领会把一个命题改写成“如

果。。。那么。。。”形式的必要性

（3）而且有些命题找出题设和结论比较困难，那么先以“如果。。。那么。。。”形式呈现，让学生感

受到在此形式下找出题设和结论的方便的同时，也自然过渡到不是“如果。。。那么。。。”的形式下的

同一个命题，让学生在对比的情况下感受到此命题要适当加上和怎样加上一些省略的词语！

5．谈谈我对改写成”如果…那么…”命题的例题的处理：

1．两直线平行，同位角相等。

2．同位角相等。

3．对顶角相等。

4．同一个三角形中等角对等边。

（1）两直线平行，同位角相等的改写是最基础的，让学生尝试成功的喜悦；

（2）在第一个命题的基础上，改写第二个命题，让学生感受到一个命题的结论其实也是一个命题，

而且让学生明白错误的命题其实也可以改写“如果…那么…”的形式。在形式上也为下一句对顶角相

等的命题的分析作好铺垫！

6．谈谈我对学生情感的培养：

在教学设计中我注重学科间的渗透与情感目标的培养，练习里的许多题目都是来自桐乡本土的

一些命题，激发学生的“爱我家乡”的情感，在小组活动中培养学生团结协作的团队精神。

7．谈谈对整堂课的总的想法：

“数学教学是数学活动的教学”。数学学习是一个经历体验的过程，从整个案例来看，

通过教师引导在非常自然状态下获得新知，又让学生通过用已经学过的知识解决具体问题，用自己的

话来概括。让学生充分体验知识的产生过程，使学生在不断地参与、探究、动脑中获得新的知识，而

且很快将新的知识纳入旧知识体系，学生的能力培养与知识的形成结伴而行，真正做到了让学生体会

知识发生、发展、形成的全过程，体会到了学生才是学习的主人。

在创设情境、问题探究、巩固提高、课后作业中均可以使学生感受本节课知识的多样性，以及课

外知识的延续，留给学生更广阔的思考空间和想象空间。

4．1定义与命题（浙教版）

台州市临海外国语学校王志渊

一、教材分析

1、教材的地位和作用:

定义与命题的知识在贯穿于整个初中数学知识体系,但作为单独的章节进行学习,还是首次,在设计上体现了对

数学本原的思考,关注的是数学知识的产生和发展过程,目的就是为了通过本节课以及后续知识的学习,使学生感受整

个数学体系的建立和完善的过程,是由实验几何向推理几何过渡的重要章节.而作为本章节的第一课时,为学生在本章

节中更好的开展学习起着至关重要的作用.

2、学情分析:本节课针对的是八年级下学期的学生,他们在数学学习上已经有了一定的积累,但从数学知识的产生

和发展的角度来学习和理解数学中最基本的概念,对学生来说也是第一次,在教学设计上要考虑学生对知识的可接受程

度.另外,上课学校是一所知名学校,学生在学习上,应该具备一定的能力和水平,通过努力应该可以达到相应的教学要

求.

3、课时划分:共2课时

二、教学目标

1、知识技能目标:

了解定义的含义,了解命题的含义,掌握区分命题的条件和结论,会将一些命题改写为“如果…,那么…”的形式.

2、过程与方法目标:

学生通过本节课内容的学习,使学生经历定义的产生过程,感受定义的必要性.同时对命题的含义有初步的体验.

体验区分命题的条件和结论的重要性和必要性.

3、情感态度,价值观目标:

通过与学生的交流互动,营造愉快、和谐的课堂氛围,积极鼓励学生参与和活动,使学生感受到学习数学的快乐,

培养学生主动探索数学知识的积极态度.

三、教学重点、难点

1、教学重点:命题的概念.

2、教学难点:命题的结构认识和改写.

四、教法与教具选择

1、教学方法:启发式教学.

2、教具选择:多媒体、其他教具.

五、教学过程

教学

环节

教学程序师生互动设计意图

创设

情境

“硬广告”的问题引导学生参与课

堂交流.

使学生感受到为了进

行有效的交流必须引

入定义.

新课

定

义

1、定义的含义

一般地,能清楚地规定某一名称或术语的意

义的句子叫做该名称或术语的定义.

定义的核心功能是能清楚地规定名称和术语

的意义.

2、对定义的强化巩固

（1）、举出几个数学中的定义.

（2）、举出其他学科名称的定义.

3、如何定义

观察下列多项式的特征.给以名称,并作出定义:

x2–2x–12x2+3x+1

x2–2xy+2y24a2–4ab+b2

4、定义的价值

例题:校园中,并不令人在意的教室墙角,却让我

产生了兴趣.

问题1:按我们的生活经验,墙角的线AO与BO应

有什么位置关系？

问题2:如何判断（验证）垂直？

强调定义的

功能.

学生自由发言,组

织学生评价,捕捉

学生反馈的信息,

适时地引导学生

感受数学定义的

严密性和简洁性

等.

师生交流

老师引导

强调“次、项”

与学生交流

教师归纳

教给学生获取知识的

方法和途径,让学生

的学习可持续发展.

从定义出发来判断,

解决问题.既体现定

义的价值,有可作为

定义到命题的情境过

渡.

从定义出发思考问题

的解决.

命

题

引例:比较下列句子在表述形式上,哪些对事情作

了判断？哪些没有对事情作出判断？

（1）鸟是动物.

（2）若a2=4,求a的值.

（3）若a2=b2,则a=b.

（4）a,b两条直线平行吗？

（5）对顶角相等.

（6）画一个角等于已知角.

（7）邻补角是互补的.

1、命题含义

一般地,对某一件事情作出正确或不正确判

断的句子叫做命题.

练习:1、三条边对应相等的两个三角形全等.

2、在同一个三角形中，等角对等边.

3、对顶角相等.

2、命题的深入认识

学生自主完成.

归纳命题的核心

功能

导学生对命题的

结构进行分析

强调对命题条件

和结论的分析

强调大前提的书

写,如果不写,会

有什么问题出

现？

学生讨论,自主发

言

学生自主活动

突出语句的判断功能

针对学生在命题理解

上的误区,强化认识.

学生感受命题中条件

和结论的存在.使学

生心中的命题结构

化.为后面的题设、结

论的认识、区分,更为

命题的改写作铺垫.

准确的找到题设和结

论关键之处在于:找

准命题的已知条件和

结论.

体现定义的价值

强调引入“如果…那

么…”的原因和作

A

B

O

C

D

问题:命题为什么可以判断对错？

对命题的条件和结论分别置换，在分析和归纳:

1、语句中的判断不管正确或不正确,都有判

断功能,都是命题.

2、命题中的各个部位之间存在某种联系（逻

辑关系）,

3、命题的结构特征

例题:三条边对应相等的两个三角形全等.

从命题的逻辑关系来理解:是已知“三条边

对应相等”这个条件,得到“这两个三角形全等”

这个结论.

为了更好的研究命题,我们把命题的结构分

为“题设”和“结论”两个部分组成.题设是已知

事项,结论是由已知事项推出的事项.

练习:找出命题的题设和结论:在同一个三角形

中，等角对等边.

4、命题的改写

问题:写出命题“对顶角相等.”的题设和结论.

分析:

1、题设为:对顶角,结论为:相等.这样妥当

吗？

2、从题设和结论的定义入手思考:题设是已

知事项,结论是由已知事项推出的事项.

3、为了帮助大家更好的理解命题的结构,我

们在此基础上引入了“如果...,那么...”这个关

系连词来帮我们更好地确定命题的题设和结论.

得出:如果两个角是对顶角,那么这两个角相

等.

例题:把命题改写成“如果...那么...”的形式

1、三条边对应相等的两个三角形全等.

2、在同一个三角形中,等角对等边.

3、对顶角相等.

练习1:课内练习3

练习2:课内练习4.(你能写出2个数学中的命题,

并写成“如果…那么…”的形式.)

用.

强化认识

强化对改写的认识和

巩固.

数学

游戏

（小

结）

数学游戏:

三位数黑洞

学生自主探索感受数学知识的形成

过程。

板书设计：略

教学设计说明:

定义与命题的知识贯穿于整个初中数学知识体系,作为本章的第一节课,教材在设计上体现了对数学本原的思

考,关注的是数学知识的产生和发展过程,是实验几何向推理几何的过渡。目的就是为了通过本节课以及后续知识的学

习,使学生感受整个数学体系的建立和完善的过程.

根据大纲的要求和本节课的目标定位,以及知识的重难点分布,考虑到学生的可接受范围,本节课教学设想如下:

关键是处理好“四个关系”

一、定义与命题的关系

定义和命题之间存在一定的逻辑关系,考虑到学生的理解、接受能力,教学上我们进行了适当的处理.

从定义和命题所共有的判断功能,切入命题的教学,自然在命题的定义的生成过程中,让学生尝试自主定义,强化

命题的特征,体现了定义的价值.使定义和命题的学习相辅相成.

二、题设与结论的关系

在题设和结论的学习之前,教学上进行了铺垫,即对命题的相应位置进行置换,使学生初步感受到命题是有“固定

结构”的,形成命题是由“条件”“结论”两部分构成的“心理印象”.有了这样的铺垫,对于某些命题的改写,建议学生

从命题的结构特征方面来思考,能有效地帮助突破命题的改写难点.

三、学生和老师的关系

本节课是一节概念课,从内容分析,学生不易领悟.在课堂教学组织上,更多的注意到了老师和学生的心理距离问题

和情感基础问题.通过老师的情感投入、积极的鼓励、激情的调动.激励学生主动地参与,以期在学生为主体的讨论和学

习中,使学生能轻松学习,愉快交流.并在此情感基础上提高课堂教学的有效性.

四、定义、命题与数学知识体系的关系

定义是数学思维的细胞和思维的基本形式,从定义出发思考问题的解决是数学的基本方式.而命题作为数学推理

的基础,是最基本的思维形式.两者都是建立数学体系的基础.在教学中主要抓住定义的必要性、命题的形成过程以及它

们的推理价值,来突出和强化这种关系.

课以黑洞数的数学游戏为载体，使学生经历“实验操作----观察发现-----科学定义----大胆猜想----执着论证”

的过程，体验数学知识的发现过程、感受数学知识的研究方法,渗透数学的科学态度和科学精神.

课题：定义与命题（一）

授课教师：杭州外国语学校朱成敏教材：浙教版

教学目标：

知识技能目标：

1．让学生了解定义的含义并了解给一些名称下定义的常用方法；

2．让学生了解命题的含义；

3．让学生掌握命题的结构，能够区分命题的条件和结论，会把命题改写成“如果……，那么……”的形式；

4．让学生了解类比的思维方法；

过程性目标：

5．让学生经历术语定义产生的过程，在通过类比、完成填空的过程中培养自学的能力；

6．让学生经历“命题”这个名词的定义产生过程，进一步了解命题的含义。

教学重、难点：

1．了解命题的含义，能够区分“命题”与“正确的命题（真命题）”；

2．理解命题的结构，把命题改写成“如果……，那么……”的形式；

3．学生活动的组织.

教学方法与教学手段：

发现探究小组合作主体性讲解

教学过程：

一、组织活动、引入新课

创设“幸运52”的场景组织学生活动。

（第一关：幸运抢答）

在老师的描述中抢答出这是什么数学名词。

例如：

它是一种方程；

它是两边都是整式的方程；

它是只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都是整式的方程。

（答案：一元一次方程）

（引入定义）

（设计说明：用“幸运52”这种喜闻乐见的形式引入，让学生及早融入课堂，积极思考，也作为本节课的一个贯穿的

背景。更重要的是，希望学生初步经历给名词下定义时候逐步明确的过程，最终清楚的表述就是名词的定义。）

二、探究一些名词的定义产生过程

定义：一般地，能清楚地规定某一名称或术语意义的句子叫做该名称或术语的定义。

例如:

（1）“规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。”是“数轴”的定义；

（2）“能够完全重合的图形叫做全等图形”是“全等图形”的定义。

学生活动一：（小组活动）

如何给术语下定义：

学生单独学习一段材料，小组共同作答。

阅读材料：

1．选出下列图形中与众不同的一个。

（A）（B）（C）（D）

选C，原因如下：

共同点：都是三角形。

不同点：C选项没有直角，而其余三角形有一个内角是直角。

由此把A、B、D选项归为一类，叫做“直角三角形”。

定义为：“有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。”

填空作答：

2．选出下列式子中与众不同的一个。

（A）0122xx（B）532（C）aaa2223（D）tt53

选（），原因如下：

共同点：都是

不同点：

由此把选项归为一类，叫做“”。

定义为：的叫做。

3．请设计一个类似的问题，要求能够得到“平行四边形”的定义。

小结：请同学谈体会，如何给名词下定义。

（设计说明：通过这个活动，培养学生自学的能力，让学生经历给名词下定义的过程。为了真正做到有效的合作学习，

在活动中考虑了以下问题：a.把活动的设计成左右的对比模式，让学生有意识地根据学习材料进行类比的思考；b.让学

生在进行讨论之前先进行独立思考，有了自己的想法，然后再与别人交换意见，产生思维的碰撞，以真正达到讨论的

目的。）

三、了解命题的含义并学会判断句子是否是命题

定义作为判别标准，可以产生很多判断。

如：“1x是方程。”、“正方形四边相等。”等等

（设计说明：体会定义的必要性，也作为从定义到命题的过渡。）

（第二关：争分夺秒）

抢答：判断下列句子是否对事情进行了判断：

（1）对顶角相等。（2）画一个角等于已知角。

（3）两直线平行，同位角相等。（4）动物是鸟。

（5）ABC是等边三角形吗？（6）若42a，求a的值。

（7）若

22ba，则ba。

发现（2）（5）（6）没有对事情进行判断，我们把（1）（3）（4）（7）归为一类，叫做命题。

按照刚刚学习的下定义的方法，请给命题下一个定义。

命题：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

根据命题的定义判断一些错误的句子（刚刚给出的4、7）是否是命题。

小结：判断是不是命题在于是否作出判断，与正确与否无关。

例如：（7）虽然是错误的，但依然是命题。

（设计说明：根据刚刚学习的下定义方法，马上对“命题”这个名词加以使用，一方面，让学生觉得“学以致用”，

获得成就感的同时激发他们的学习兴趣与信心，另一方面，也进一步巩固了对定义的理解。）

四、探究命题的结构

两直线平行，同位角相等。

问题一：如果需要把这个命题划分为两部分，那么怎么划分？

问题二：划分的两部分各自的作用如何？

问题三：能不能给它们加上一组关联词语？

通常写成“如果……，那么……”的形式。以“如果”引导的部分是条件（题设）：已知事项，以“那么”引导的部分

是结论：由已知事项推出的事项。

我们给出一些命题，如何区分它的条件和结论？

学生活动二：

探索命题的结构

1．三边对应相等的两个三角形全等。

选择括号里面的内容填在条件和结论处

（△ABC≌△A′B′C′AB＝A′B′AC＝A′C′

BC＝B′C′）

条件：

结论：

因此，可以改写为如

果，那么。（用文字叙述）

2．同角的余角相等。

选择括号里面的内容填在条件和结论处

（∠1＝∠2∠2＋∠3＝90°∠1＋∠3＝

90°）

条件：

结论：

因此，可以改写为如果，那

么。（用文字叙述）

（设计说明：这个活动意在让学生体会命题的条件结论之间的关

系，符号语言上对应“∴、∵”，文字语言上对应“如果、那么”，体会到条件和结论中存在的因果以及假设关系，也

领略到符号语言在数学中体现的强大作用。）

（第三关：幸运考场）

朗读命题并有意识停顿，再把命题改写成“如果……，那么……”的形式。

1．正数大于零。

2．同旁内角互补，两直线平行。

3．线段中垂线上的点到线段两端点距离相等。

4．一次函数的图象是一条直线。

5．有两个内角互余的三角形是直角三角形。

6．在同一个三角形中，等边对等角。

学生活动三：

准备八张卡片，分别写好

（1）三边相等（2）三边对应相等

（3）两数相等（4）两角相等

（5）等边三角形（6）全等三角形

（7）对顶角（8）两数的平方相等

请用这八张卡片作为命题的条件和结论，组成四个正确的命题。

（设计说明：这个活动可以让学生体会到条件和结论有时互换是正确的，有时互换却是不正确的，当条件和结论互换

后就变成了另一个命题。更重要的是，在其中让学生进行开放的数学思考，体现这节课的“数学味”。）

归纳小结：

比较以下几个句子。

（1）1x是方程；

（2）方程是1x；

（3）方程是含有未知数的等式；

（4）含有未知数的等式是方程。

问题一：请找出哪句是在下定义？

问题二：请找出哪些是命题？

A

B

C

A'

B'

C'

3

2

1

问题三：请找出哪些句子的表述是正确的？

问题四：比较其中两个或者几个句子，结合今天的课程，谈谈你的收获。

（设计说明：呼应本节课的课题“定义与命题”，在小结本节课知识的时候，设计了对比思考的模式，引导学生回答

定义与命题的关系，如：“定义都是正确的命题，命题不一定是正确的，命题也不一定是定义，定义有充分必要性”

等等，允许不同层次的学生有不同的理解。通过这个活动小结本课，学生能进一步理解定义与命题以及它们的区别与

联系，完成知识内化和升华。）

布置作业

必做题P72作业题A组

选做题P72作业题B组

《4.1定义与命题》(第2课时)的教学设计

授课教师：桐乡市求是实验中学邵玉良

教材：浙教版初中数学八年级下册

一、教学目标:

知识技能目标：

1．了解真命题和假命题的概念。

2．会在简单的情况下判别一个命题的真假。

3．了解公理和定理的含义。

过程性目标：

1．从生活命题引入数学命题，并通过小组活动，让学生在自己提出问题、自己解决问题的过程中经历知识的产生过

程,并在这个过程中了解类比、归纳、分类等思维方法。

2．在学生总结命题、真命题、定理和公理之间的关系中，感受数学知识间的内在联系。

3．通过对真假命题的判断，初步体验举反例、推理说明等数学方法。

二、教学重点和难点：

本节教学的重点是命题的真假的概念和判别。

判别命题的真假其实已涉及证明，无论在方法上，还是在表述上，学生都会有一定的困难，这就是本节教学的难点。

三、教学方法和教学手段：

本节课从学生的已有认知水平出发，采用情境引入——探究新知——巩固新知——学以致用——畅所欲言的模式

展开，教师在教学中引导学生自主探索，组织学生两两合作，小组讨论，合作学习的学习方式而进行，充分让学生动

口、动手、动脑，并采用多媒体辅助教学。

四、教学过程：

教学设计教师活动学生活动设计意图

一、情境引入

以生活情境引入，让学生感受生活中的命

题有正确和不正确之分。

教师组织播放课

件并提出问题。

学生独立思考并回

答问题

用学生熟悉、关

注的问题入手，

让学生感受生活

中的命题有正确

与不正确之分，

激发学生学习数

学的兴趣和热爱

家乡的情感。

二、探究新知：

1．试一试：

教师组织每一位同学先写出一个数学命

题，然后请他的好朋友判断命题是否正确，

并说明理由。

教师出示学生的部分命题。学生所写的命

题中可能有正确，也可能有不正确（如果

没有上面的情况，则由教师补充）。

在学生判断命题是否正确的过程中，引入

假命题、真命题的概念，并巩固对真命题、

假命题的判断。

所写的命题中可能有定理、公理，从而引

入定理和公理的概念并例举公理（如果没

有上面的情况，则由教师补充）。

教师出示问题，组

织学生活动。

引入定理和公理

的概念并例举公

理。

教师组织学生讨

论。

学生相互出题，回

答，交流，互动，并

总结判断真命题、假

命题的方法。

学生回答并相互补

充

学生分小组讨论，总

结出四者之间的关

系。

把课堂交给学

生，让学生自己

提出问题，自己

解决问题，并在

互动中引出新

知，让学生自己

感受知识的发生

发展过程，培养

学生的概括能力

和语言表达能

力；并在这个过

程中了解类比、

归纳、分类等思

维方法．

所写的命题可能出现不作为公理、定理的

真命题（如果没有，则由教师补充）。

通过学生判断真命题和假命题的过程，引

导学生归纳出判断真命题和假命题的方

法。

2．理一理：

由学生小组讨论：命题、真命题、定理和

公理之间的关系，并在学生的回答中相互

补充。

采用合作交流的

形式，培养学生

的协作能力，让

学生感受数学知

识间的内在联

系。

三、巩固新知：

教师组织学生活动：游乌镇，展风采。分

小组竞赛，抢答。

1．判一判：

所有的定理是真命题。（）

所有的真命题都是公理。（）

2．选一选：

下列命题中真命题的是()

（A）从“1、2、3、4、5、6”六个数中任

意选一个数，是偶数的概率是0．4

（B）若a与b互为相反数,则

a+b=0

（C）绝对值等于它本身的数是正数

（D）任何一个角都比它的补角小

3．辩一辩：

有甲乙两位同学在讨论数学问题时，

甲说：若有

2a

＞

2b

，则一定有

a

＞

b

，乙说：若有

a

＞

b

，则一定有

2a

＞

2b

.

请判断哪位同学说得对？为什么？

4．填一填:

补全下列命题的条件和结论，使命题成为

真命题。

，那么两直线平行.

5．推一推

如图，若∠1=∠2，则∠3=∠4.请用推理

的方法说明它是真命题。

教师出示问题，组

织学生活动。

学生分小组竞赛，抢

答。

学生回答

学生回答

学生回答

学生回答

学生回答

及时巩固学生对

真命题、定理、

公理的认识。

巩固对真假命题

的判断

巩固对假命题的

判断

巩固对真命题的

判断，培养学生

的发散性思维。

巩固对真命题的

判断，培养学生

思维的严密性和

初步的推理能

力。

教学设

计说明：

1.本节

课的设

计分为

六个环

节：情景

引入

－――

探究新

知――

―巩固

新

知――

―学已

致

用――

―畅所

欲

言――

―作业

布置．

2．通过

情景对话让学生感受生活中的命题有正确与不正确之分，激发学生学习数学的兴趣和热爱家乡的情感。

3．组织学生写命题，互相判断命题是否正确的过程，引入真命题、假命题的概念，再通过对真命题和假命题的判断过

程，引出公理和定理，并由学生归纳出判断命题真假的方法，再由小组讨论得到命题、真命题、假命题、公理、定理

之间的关系，让学生感受数学知识间的内在联系。这一设计不但激发学生的学习热情，而且引导学生互相合作、互相

学习、互相促进。同时，学生在互相检测的过程中自己发现问题，提出问题，解决问题。

4．采用分层教学，整堂课的设计既有基础训练，又有能力提高，让不同层次的学生得到不同的发展。

5．重视学生合作能力的培养。课堂教学中有学生与学生之间，师生之间，小组之间的合作，通过合作交流的学习形式，

培养学生的协作能力。

6．教学过程中，充分应用多媒体辅助教学，加强直观教学，加大思维密度，有力突出重点和难点，提高课堂教学效果。

7．本节课体现以学生为主体的新课程理念，让学生去说、写、想、动，教师作为课堂的组织者、参与者、引导者融入

到学生的学习中，为学生的表现提供广阔的舞台！

教材：浙教版八(下)第四章课题：定义与命题(2)

授课教师：湖州市安吉县实验初中尉国河

教学目标:

知识与技能

1、了解真命题和假命题的概念;

2、会在简单的情况下判别一个命题的真假;

3、了解公理和定理的含义.

过程与方法

让学生在命题的判断；真假命题判别；公理定理的认识过程中了解类比、归纳、分类等思维方法；

情感态度与价值观

让学生经历观察、实验、推理等活动，类比、归纳得到真假命题的判别方法，并且在这一过程中获得一些探索数

四、学以致用：

如图，AB、CD相交于点O，给出下列

五个论断：

①∠A=∠D②AC=BD③OC=OB④

OA=OD以其中两个论断为条件，一个论断为

结论，写出一个真命题和假命题，并说明

理由。

教师出示问题学生分小组讨论，各

小组间交流发言。

培养学生的合作

意识，提高学生

的合作交流能

力，培养学生的

发散性思维，在

合作中体验成功

的喜悦。

五、畅所欲言：

通过本堂课的探索，你有什么收获和体

会？

学生畅所欲言，表达心声。

教师引导学生总

结。

学生畅谈自己的体

会与收获，以及还存

在的问题。

培养学生学习后

自我反思的良好

习惯。

六、作业布置：

必做题：作业本（2）18页

选做题：课本74页第（6）题

教师布置作业作业分层布置

A

B

C

D

O

学知识的初步经验,形成基本的数学素养.从而提高对数学学习的积极性.

教学重点：命题的真假的概念和判别.

教学难点：判别命题的真假所涉及推理的方法和表述.

教学过程：

一、创设情景

1、通过学生说身边的广告语入手，并判断下面三条广告语是不是命题.

农夫山泉：“农夫山泉有点甜.”

温迪汉堡包：“牛肉在哪儿？”

滚石乐队：“感觉是真实的.”

从判断广告语是不是命题过渡到数学命题的判断

2、判断下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？

（1）在直线AB上任取一点C.

（2）相等的角是对顶角.

（3）不相交的两条直线叫做平行线.

把判断出来的命题改写成“如果……那么……”的形式，并且讲出它们的条件和结论.

让学生从实践中复习上节课命题和定义的概念，归纳是不是命题判断的方法，以及把命题改写成“如果……那

么……”的形式.（板书命题）

二、新课引入

思考下列命题的题设(条件)是什么?结论是什么?并判断是否正确?你的理由是什么?

（1）边长为a(a＞0)的等边三角形的面积为;

（2）两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

（3）对于任何实数x,x2＜0.

在上述命题中，学生通过判断哪些命题是正确的？哪些是不正确的？说说你的理由.

从而自然的获取了真命题和假命题的概念.

真命题：正确的命题叫做真命题.

假命题：不正确的命题叫做假命题.（板书真命题，假命题及课题4.1定义与命题（2））

三、巩固新知

下列哪些命题是真命题，哪些是假命题？说说你的理由？

1、如果两个角相等，那么它们是对顶角；

2、如果a＞b,b＞c,那么a=c；

3、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；

4、全等三角形的面积相等.

5、已知∠1和∠2如图所示,则∠1＞∠2;

6、三角形的两边之和大于第三边;

7、会飞的动物是鸟.

8、一条直线截另外两条直线所得到的同位角相等.

在上述真命题的判断和说理的过程中引出什么样的真命题是公理，什么样的真命题是定理呢？并引导学生归纳真

假命题判别的方法.

公理：这些公认为正确的命题叫做公理.

定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.(板书定理,公理)

公理举例：

1、两点间线段最短.

2、两点就可以确定一条直线.

3、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

4、同位角相等，两直线平行.

2a

4

3

12

5、两直线平行，同位角相等.

6、全等三角形的对应角相等，对应边相等.

7、三角形的全等的方法：SASASASSS.

以前书本上学过的用推理的方法得到的用黑体表述的性质都为定理.

针对公理，定理和真命题之间的关系

判断：所有的真命题都是定理.

所有的命题都是公理.

所有的定理是真命题.

所有的公理是真命题.

由学生再一次总结判断命题真假的方法.

四、探究提高：

如图，AB、CD相交于点O。给出下列五个论断：

①∠A=∠D；②∠C=∠B；③AC=BD；④OC=OB；⑤OA=OD.

以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个命题.

请分别写出一个这样的真命题和假命题.

让学生感知真命题的推理过程,为下节课埋下伏笔.

五．课堂小结：本节课，你获取了什么数学知识与方法？

六．布置作业：书本后的作业题2、4、5、6及作业本.

板书设计：

4.1定义与命题（2）

定义

公理（公认）学生自由活动区

真命题定理（推理）

命题……

假命题（举反例）

教学设计说明：

1、基本结构:

判断命题类比真假命题的概念类比定理,公理的概念熟悉命题

基本知识的内化

分析命题归纳真假命题的判断归纳定理,公理的判断及简单的推理

2、以落实课程标准为终极目标；以学生知识技能的形成、数学思维的完善和情感态度的发展为出发点；以多媒体

课件为辅助教学手段；以教师的组织、引导、参与为依托；以学生的积极动脑、动口为主线来构建本课时的教学模式，

促进学生的有效学习活动.突出新知识必须在学生自主探索，交流合作的基础上让学生自己去发现和归纳,达成对概念

的理解与初步的应用.

3、本节课的各个环节的设计都以学生为主体，尊重学生的原始的思维.让学生来发现问题，允许不同的学生在同一

个问题上有不同的见解，让学生表达出对问题的直观感觉，对所学知识用自己的思维去感悟.

4、本节课的教学以知识的形成为主线.让学生从生活实际情景中寻找命题入手，允许不同的学生在命题的各种判断

上有真实的认识,通过师生、生生的互动交流及教师的恰当引导，促进学生认知水平的提升,知识与技能,方法与应用的

熟练.为学生的几何学习从合理推理顺利地过渡到步步有据的推理论证做铺垫.

4．1定义与命题（二）

授课教师：浙江省金华市外国语学校胡志奎

浙教版数学八年级下册

一、教学目标

1）知识目标

1．了解真命题、假命题的概念。

2．会判别一个命题的真假。

3．了解公理和定理的含义。

2）能力目标：

通过判断一个命题的真假，提高学生的推理能力、逻辑思维能力和表达能力。

3）情感目标

通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法。

二、教学重点、难点

重点：命题真假的概念和判断。

难点：判别命题的真假过程中所涉及的证明方法和表述。

三、教学方法与教学手段

1．针对八年级学生的认识特点，体现“以学生发展为本”的教育理念，发展学生的个性特长，让学生学会学习。本堂

课采用自主、合作、探究、体验式教学法。

2．用多媒体辅助教学，增强课堂的学习效率和趣味性，提高学生的学习积极性。

四、教学过程

一、创设情境引入新课

以生活实际为背景，从日常生活中的具体问题创设问题情况，有利于增强数学课堂氛围，激发学生的学习兴趣。

二、合作交流探究新知

出示题目

下列命题哪些是正确的命题，哪些是不正确的命题：

（1）对于任何实数x，x2﹤0；

（2）两点之间线段最短；

（3）有一个角是直角的三角形是直角三角形；

（4）第29届奥运会举办国是中国；

（5）如图，若∠1+∠2=1800，则直线a∥b。

生：正确（2）（3）（4）（5）不正确（1）。

师：由此可知有些命题是正确的，有些命题是不正确的。

师：你是怎么判断这个命题是不正确的呢？

生：命题（1），取x=-1时，x2＞0，所以该命题不正确。像这样不正确的命题称为假命题，反之正确的命题称为真命

题。

师：你能说说真命题和假命题的区别吗？

生：

真命题条件成立，结论一定成立

假命题条件成立：结论不一定成立

公理、定理概念教学

师：接下来我们来思考一下，这几个真命题是如何判断的。

生：命题（2）是不需要证明的是公理，是人类经过长期实践后公认为正确的命题。

生：这些公认为正确的命题叫做公理。

师：很好，公理是不需要证明的，公理可以作为判断其他命题的依据。

师：你能举出我们已经学过的公理吗？

1

3

2

生：两点确定一条直线、两直线平行、同位角相等。

师：那么命题（3）呢？

生：定义

师：命题（4）呢？

生：事实（规定）

师：命题（5）呢？

生：依据

∵∠1+∠2=1800（已知）

∠2+∠3=1800（补角的意义）

∴∠1=∠3（同角的补角相等）

∴a∥b（同位角相等，两直线平等）

生：这种用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

师：定理也可以作为判断其命题真假的依据。前面我们已经学过的，用推理的方法得到的那些用黑体字表述的图形的

性质都可以作为定理。

师：公理与定理有何区别呢？

生：公理的正确性不需要证明，而定理需要证明。

师：真命题有哪几种类型？

生：公理、定理、定义，一般是真命题。

让学生了解“公理”是不必经过证明的真命题，它是几何理论体系的基础，是作为判断其他命题真假的原始依据。

定理要经过证明，定理的作用不仅在于它提示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的

根据。

三、操作演练及时内化

（一）判一判

下列命题真命题的打“√”

（1）两锐角之和一定是钝角（）

（2）三角形两边之和大于第三边（）

（3）x=3是方程0

3

3

2







x

x

的解（）

（4）会飞的动物是鸟（）

总结：判断一个命题是真命题，必经经过严格的推理，公理、定理都是真命题，说明一个命题是假命题，只要举一反

例。

（二）选一选

下列说法错误的是（）

A、公理是真命题B、定理是真命题

C、真命题是公理D、定理是需要经过推理的真命题

总结：公理、定理都是真命题，但有的真命题即不是公理也不是定理。

（三）填一填

使下列句子成为真命题

（1）如果∠1=∠2∠2=∠3，那么

（2）若两直线平行，则

总结：有时答案不唯一。

（四）、试一试

如图，AC交BD于点O，请你从下面三项中选出两个作为条件，另一个为结论，写出一个真命题，并加以说明：

①OA=OC②OB=OD③AB∥DC

A

B

O

总结：用推理的方法判断结论的正确性，要有根有据的公理、定理都可以作为判断其他命题正确与否的依据。

四、收获与感悟

本节课主要学习了真假命题的概念及公理、定理的定义

五、布置作业、巩固知识

【教学设计说明】

本节课的设计与课本的呈现方式略有不同。教材只是教师教学的蓝本，教师应在自己理解的基础上，发挥主观能

动作用，对教材的资料进行再加工和创造，使教学更利于学生的认知规律。

新教材强调了数学知识与实践结合，贴近生活，真正实现了人人学习有价值的数学。本堂课一开始直接从生活命

题中提出问题，由问题引入数学新知识，自然地得出真命题与假命题的定义。接着，在一系列练习中又提出问题，如

何判别一个命题是真命题还是假命题，在判别一个命题是真命题的方法中引出公理与定理。

本节教学过程主要由创设情境，引入新知——师生互动，探索新知——练习反馈，巩固新知——梳理知识，归纳

小结——知识的应用和拓展——分层作业，巩固应用等环节构成，环环相扣，紧密联系。在教学过程中注重

“看”“想”“议”“做”，把“动脑”“动口”“动手”有机结合；注重学生的自主探索，教师起“导”的作用，

以问题来引导学生进行探索，学生在学习过程中体验由抽象——具体——抽象概括的分析过程。

同时借助多媒体，可以节省时间，增强效率。把游戏引进课堂，加深对知识的理解和巩固，提高学生学习积极性。

通过合理科学的作业，减轻学生的课业负担，让学生真正感受学习快乐的，是一种享受。学生经历自主思考、相互交

流，从而提升能力，培养协作精神，对学生的人生观有了很好的熏陶。

课题：4．1二元一次方程

授课教师：潘晓华（萧山回澜初中），教材：浙教版七年级下册

【教学目标】

知识与技能目标

1、通过与一元一次方程的比较，能说出二元一次方程的概念，并会辨别一个方程是不是二元一次方程；

2、通过探索交流，会辨别一个解是不是二元一次方程的解，能写出给定的二元一次方程的解，了解方程解的不唯一

性；

3、会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。

过程与方法目标

经历观察、比较、猜想、验证等数学学习活动，培养分析问题的能力和数学说理能力；

情感与态度目标

1、通过与一元一次方程的类比，探究二元一次方程及其解的概念，进一步培养运用类比转化的思想解决问题的能

力；

2、通过对实际问题的分析，培养关注生活，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养良好的数学应

用意识。

【重点、难点】

重点：二元一次方程的概念及二元一次方程的解的概念。

难点1、了解二元一次方程的解的不唯一性和相关性。即了解二元一次方程的解有无数个，但不是任意的两个数是它

的解。

2、把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，其实质是解一个含有

字母系数的方程。

【教学方法与教学手段】

1、通过创设问题情境，让学生在寻求问题解决的过程中认识二元一次方程，了解二元一次方程的特点，体会到二元

一次方程的引入是解决实际问题的需要。

2、通过观察、思考、交流等活动，激发学习情绪，营造学习气氛，给学生一定的时间和空间，自主探讨，了解二元

一次方程的解的不唯一性和相关性。

3、通过学练结合，以游戏的形式让学生及时巩固所学知识。

【教学过程】

一、创设情境导入新课

1、一个数的3倍比这个数大6，这个数是多少？

2、写有数字5的黄卡和写有数字2的蓝卡若干张，问黄卡和蓝卡各取几张，才能使取到的卡片上的数字之和为22？

思考：这个问题中，有几个未知数？能列一元一次方程求解吗？

如果设黄卡取x张，蓝卡取y张，你能列出方程吗？

3、在高速公路上，一辆轿车行驶2时的路程比一辆卡车行驶3时的路程还多20千米。如果设轿车的速度是a千米/

时，卡车的速度是b千米/时，你能列出怎样的方程？

二、师生互动探索新知

1、推陈出新发现新知

引导学生观察所列的方程：2225yx，2032ba，这两个方程有哪些共同特征？这些特征与一元

一次方程比较，哪些是相同的，哪些是不同的？你能给它们取个名字吗？

（板书：二元一次方程）

根据它们的共同特征，你认为怎样的方程叫做二元一次方程？（二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有

未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。）

2、小试牛刀巩固新知

判断下列各式是不是二元一次方程

（1）02yx（2）02

3





b

ba

（3）xy

2

1

（4）1

2



y

x

3、师生互动再探新知

（1）什么是方程的解？（使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。）

（2）你能给二元一次方程的解下一个定义吗？（使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程

的一个解。）

若未知数设为yx,，记做，若未知数设为ba,，记做

4、再试牛刀检验新知

(1)检验下列各组数是不是方程2032ba的解：(学生感悟二元一次方程解的不唯一性)

(2)你能写出方程x-y=1的一个解吗?（再一次让学生感悟二元一次方程的解的不唯一性）

5、自我挑战三探新知

有3张写有相同数字的蓝卡和2张写有相同数字的黄卡，这五张卡片上的数字之和为10。设蓝卡上的数字为x，

黄卡上的数字为y，根据题意列方程。1023yx

请找出这个方程的一个解，并写出你得到这个解的过程。

学生在解二元一次方程的过程中体验和了解二元一次方程解的不唯一性。

6、动动笔头巩固新知

独立完成课本第81页课内练习2

三、你说我说清点收获

比较一元一次方程和二元一次方程的相同点和不同点

相同点：方程两边都是整式

含有未知数的项的次数都是一次

不同点

一元一次方程二元一次方程

概念含有一个未知数含有两个未知数

方程

的解

一个未知数的值

一对未知数的值，记做

只有一个解有无数多个解

如何求一个二元一次方程的解

四、知识巩固

1、必答题

（1）填空题:若7391nyxmxy是关于yx,的二元一次方程,则nm.

（2）多选题：方程52

2

y

x

变形正确的有

①yx45②yx410③

4

10x

y



④

4

10



x

y

（3）判断题：是方程152yx的解。（）

（4）判断题：方程152yx的解是。（）

2、抢答题

（1）已知是方程532yx的一个解，求a的值。

（2）写出一个解为的二元一次方程。

3、个人魅力题

写有数字5的黄卡和写有数字2的蓝卡若干张，问黄卡和蓝卡各取几张，才能使取到的卡片上的数字之和为22？

设黄卡取x张，蓝卡取y张，根据题意列方程:2225yx你能完成这道题目吗？

五、布置作业

必做题：阅读课本80～81页

课本作业题第1234题

作业本第123456题

选做题：课本作业题第6题

作业本第7题

【教学设计说明】

1、引入是一个课时教学设计的重要组成部分，引入是否科学、恰当，直接关系着教学能否成功，课堂气氛

是否活跃。这节课采用创设问题情境，第一个问题猜数，比一比谁的速度快，提高学生学习情绪，第二个问题

学生用已经学过的知识无法解决，一方面提高学生学习兴趣，另一方面也让学生体会学习二元一次方程的必要

性。

2、了解二元一次方程的解，是本节课学习的重点和难点。由浅入深、由易到难，通过辨析是不是方程的解，

到由观察直接写出简单二元一次方程的一些解，让学生先感悟二元一次方程解的不唯一性，再到如何求二元一次

方程的部分解，在寻求解的过程中了解和体会二元一次方程的解的不唯一性，也知道了两个未知数之间不是独立

的而是对应的，适合学生的认知规律。

3、在教学中努力处理如下两方面的关系：一方面初步体现二元一次方程和一元一次方程的类比思想和转化

思想。通过与学生熟悉的一元一次方程的类比，让学生找出这两者之间的区别与联系，抓住它们的根本区别在于

未知数的个数不同，而引起解的写法和解的个数的不同，有利于学生更快更容易接受二元一次方程；另一方面，

由实际问题的解决，体现学习二元一次方程的价值，从而激发学生的求知欲望和学习兴趣。

4、在教学中努力抓住能培养和提高学生思维能力的契机，让学生进行自主探究，让学生回忆旧知识，进行

知识迁移，适时的提问激起学生的思维涟漪，将学生带入深入探究的境界。