分解方法

因式分解的9种方法

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因式分解的多种方法----知识延伸，向竞赛过度

1.提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握。常用的公式：完全平方公式、平方差公式

例一：0322xx

解：x(2x-3)=0，x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。

总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式,这对我们后面

的学习有帮助。

2.公式法

常用的公式：完全平方公式、平方差公式。注意：使用公式法前，部分题目先提取公因式。

例二：42x分解因式

分析：此题较为简单，可以看出4=22，适用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)2解：原式=(x+2)(x-2)

3.十字相乘法

是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意：它不难。

这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1a2，把常数项c分解成两个因数

c1,c2的积c1c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果

例三：把3722xx分解因式.

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十

字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.

分解二次项系数(只取正因数)：2＝1×2＝2×1；

分解常数项：3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.

解原式=(x-3)(2x-1).

总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a

2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：

a1c1

╳

a2c2

a1c2+a2c1

3

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系

数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即

ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).

这种方法要多实验，多做，多练。它可以包括前两者方法。

4.分组分解法

也是比较常规的方法。一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来，需要可持续性！

例四：2244yxx

可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式

解：原式=（x+2）^2-y^2=(x+2+y)(x+2-y)

总结：分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性。

5.换元法

整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上

例五：1)(2)(2yxyx分解因式

考虑到x+y是以整体出现，展开是十分繁琐的，用a代替x+y

那么原式=a^2-2a+1=(a-1)^2，回代原式=（x+y-1）^2

6.主元法

这种方法要难一些，多练即可。即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数

例六：因式分解24222)1(8)1(216yxyxyxy

分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y为主元会使原式极其烦琐，而以x为主

元的话，原式的难度就大大降低了。

原式=yyxyxyx168)1(2)1(22224...............................主元法

222

2

22

)1(28

2

8

)1(





yxyx

y

x

yx

=(x^2y^2-2x^2y+x^2+8y)(x^2+2)---------------------【十字相乘法】

可见，十字相乘十分重要。

7.双十字相乘法

难度较之前的方法要提升许多。是用来分解形如feydxcybxyax22的二次六项式

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在草稿纸上，

jkfpqcmna,,

如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1,2列和第2,3

列都满足十字相乘规则。则原式＝（mx＋py＋j）（nx＋qy＋k）

要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，

例七：ab＋2b＋a－b－2分解因式

解：原式＝0×1×a^2＋ab＋b^2＋a－b－2

＝（0×a＋b＋1）（a＋b－2）

＝（b＋1）（a＋b－2）

8.待定系数法

将式子看成方程，将方程的解代入，这时就要用到“1”中提到的知识点了

当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式

例八：22xx

该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法

我们可以把它当方程做，x^2+x-2=0

一眼看出，该方程有一根为x=1，那么必有一因式为(x-1)

结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2（因为乘-1要为-2）

一次项系数必为1（因为与1相乘要为1），所以另一因式为（x+2），分解为(x-1)(x+2)

9.列竖式

让人拍案叫绝的方法。原理和小学的除法差不多。要建立在待定系数法的方程法上，不足的项

要用0补

除的时候，一定要让第一项抵消

例九：25323xx分解因式

提示：x=-1可以使该式=0，有因式（x+1）

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那么该式分解为（x+1）(3x^2+2x-2)

因式分解有9种方法，这么多其实是不止的，还有很多很多。不过了解这些，初中的因式分解是不

会有问题了。

考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。

22)()(babab2222)(4)(axaxxa

3222223963cabcbacbaxy＋6－2x－3y

22)3(4)3)(3(4)3(babababa(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4)

212x

－29x＋15x(y＋2)－x－y－13244422yxyxyx

21120132234xxxx3355227222yxyxyx

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24m

+8mn+23n24n

+4n－152x+2x-8

2x+3x-10.2x+x-622x

+5x-3

2x+4x-22x-2x-35ax+5bx+3ay+3by

123xxxbaba2418321822