冰淇淋怎么折

Ken&Larry公司为其冰激凌经营店供应三种口味的冰激凌：巧克力、香草和香蕉。因为

天气炎热，对冰激凌的需求增大，而公司库存的原料已经不够了。这些原料分别为：牛奶、

糖和奶油。公司无法完成接收的订单，但是，为了在资源有限的条件下使利润最大化，公司

需要确定各种口味产品的最优组合。

巧克力、香草和香蕉三种口味的冰激凌的销售利润分别为每加仑1.00美元、0.90美元

和0.95美元。公司现有200加仑牛奶、150磅糖和60加仑奶油的存货。这一问题数学形式

的线性规划表示如下：

假设

C=巧克力冰激凌的产量（加仑）

V=香草冰激凌的产量（加仑）

B=香蕉冰激凌的产量（加仑）

最大化

利润=1.00C+0.90V+0.95B

约束条件

牛奶：0.45C+0.50V+0.40B≤200（加仑）

糖：0.50C+0.40V+0.40B≤150（磅）

奶油：0.10C+0.15V+0.20B≤60（加仑）

且

C≥0,V≥0,B≥0

使用ExcelSolver求解，求解后的电子表格和灵敏度报告如下图所示（注意，因为在（6）

中将会讨论牛奶约束，所以该部分在下面的讨论中省去了）。

不用ExcelSolver重置求解，尽可能详尽的回答下列问题，注意，各个部分是互不干扰、

相互独立的。

可变单元格

终递减目标式允许的允许的

单元格名字值成本系数增量减量

$B$9GallonsProducedChocolate010.03751E+30

$C$9GallonsProducedVanilla3000.90.050.0125

$D$9GallonsProducedBanana750.950.02140.05

约束

终阴影约束允许的允许的

单元格名字值价格限制值增量减量

$E$5MilkUd

$E$6SugarUd1501.8751501030

$E$7CreamUd60160153.75

（1）最优解和总利润是多少？

（2）假设香蕉冰激凌每加仑的利润变为1.00美元，最优解是否改变，对总利润又会产

生怎样的影响？

（3）假设香蕉冰激凌每加仑的利润变为92美分，最优解是否改变，总利润将会变动多

少？

（4）公司发现有3加仑的库存奶油已经变质，只能扔掉，最优解是否改变，总利润将

会变动多少？

（5）假设公司有机会购得15磅糖，总成本15美元，公司是否应该购买这批糖，为什

么？

（6）在灵敏度报告中加入牛奶约束的相关数据。

（7）在灵敏度报告中加入递减成本。

控制大气污染

N&L公司是一家全球著名的钢铁制造商，位于钢铁之城。该公司目前雇佣了50000名员

工，是当地的主要劳动力雇佣者，因此整个城市都是因为这家公司而繁荣发展起来的，这里

的人们也一直都认为凡是对公司有利的必然对整个城市有利。但是现在人们的观点发生了一

定的变化：公司锅炉中排放出的气体因未加治理，正在破坏着城市的风貌并且危及着城市居

民的身体健康。

最近的一次股东选举产生了一个较为英明的新董事会，其中的董事会成员正与城市官员

和居民讨论如何处理空气污染问题，他们一起制定出了很严格的大气排放质量标准。

所排放的污染气体中，三种主要成分是：大气微尘、氧化硫和碳氢化合物。新制定的排

放气体质量标准要求公司降低这些污染气体的排放量，具体要求如下表所示：

污染物要求每年排放减少量（百万英镑）

大气微尘

60

氧化硫

150

碳氢化合物

125

董事会已经指示公司的管理人员召集工程人员，用最经济的方法降低污染气体的排放

量。

公司的污染气体主要来自于两个方面，一是铸生铁的鼓风炉，一是炼钢的敞口式反射炉。

在这两方面，工程师都认为最有效的降低污染的方法是（1）增加烟囱的高度，（2）在烟囱

中加入过滤装置，（3）在烟囱中加入清洁的高级燃料。三种方法都有其技术限制（例如，烟

囱可以增加的高度是有限的），但可以考虑在各自的技术限制内，采取一定程度的措施。

下表显示了在技术允许的范围内，最大限度的使用各种方法可以降低两个炉子污染气体

的排放量。

运用各种降污方法最大限度可减少的每种污染气体的年排放量

污染气体增加烟囱高度加入过滤装置加入高级燃料

鼓风炉反射炉鼓风炉反射炉鼓风炉反射炉

大气微尘

12

35

37

9

42

53

25

18

28

20

31

24

17

56

29

13

49

20

氧化硫

碳氢化合物

为了方便分析，假设各种方法也可以在技术允许的范围内，采取一部分程度的实施，从

而达到一定程度的减少污染气体的效果。此外，各种方法在两个炉子上的实施比例可以不同，

且在效果上也是互不影响的。

在分析了上面的数据之后，可以发现，没有一种方法可以实现全部的降污要求，另一方

面，在两个炉子上都同时最大限度的使用各种方法的组合，会超额完成任务，但这样做的费

用是昂贵的，不利于公司的产品保持竞争力。因此，工程师认为，应该在考虑各种方法的成

本与效益的基础之上，合理的组合各种方法。此外，因为两个炉子的情况并不相同，所以针

对两个炉子的治理方法也将不同。

实施分析每种方法的一年总成本，该成本包括运营和维护费用，以及因为使用降污方法

而致使生产效率降低，进而减少了的收入。此外，最大的成本是安装设备的启动成本。为了

使一开始的启动成本与今后的年成本可以相互比较，必须考虑货币的时间价值，将年成本折

现。

这样可以生成下面的数据表，该表表示的是最大限度的使用各种方法估计的年成本，并

且，各种方法的使用成本与可获得的降污能力是成比例的，也就是说，要取得一定比例的降

污效果，所实施方法的成本在总成本中占相同的比例。

最大限度的使用各种方法估计的年成本（百万美元）

污染气体鼓风炉反射炉

大气微尘

氧化硫

碳氢化合物

8

7

11

10

6

9

现在，可以制定出降污规划的大致的框架了，即，这一规划必须确定在两个炉子上，使

用哪几种方法，每种方法的是实施程度。

假设，你被任命为管理科学部主任，管理层要求你以最小的成本实现降低各种污染气体

的年排放量要求。

（1）描述该线性规划问题的各个组成部分。

（2）在电子表格上建立模型。

（3）求得最优解并产生灵敏度报告。

现在，管理层希望能在你的帮助之下，进行一些what-if分析。因为管理层对这几种治

理方法都没有经验。所以各种方法的成本只是一个大致的估计，实际值可能在10%的范围内。

此外，第二个表格的数据也还存在一定的不确定性，尽管这些不确定性或许比第三个表格中

的要小一些。第一个表格中的数据是政策标准，但是，这些数据是在不知道成本的情况下确

定的一些暂时性的数值，公司与政府的官员都认为，应该在成本与收益的基础上来确定最终

的决策。政府官员估算出如果将每一张表中的政策标准增加10%，对整个城市的价值是$350

万。因此，政府决定，公司每提高10%的降污标准（表中的所有数据，直到50%），将可获

得$350的降税。

最后，对政策标准中各种污染气体的相对值还存在一点分歧，如表一所示，要求减少的

大气微尘的数量还不到其他两种的一半，因此，有些人提出，能否减少这一差距。而另一些

人认为应该增大差距，因为氧化硫和碳氢化合物的危害比大气微尘大得多。最后，人们同意

在获得最优的成本收益平衡解之后，再对这一点探讨一下，看看会有怎样的影响。

（4）判断线性规划模型中哪些系数是敏感系数，并说明哪些系数，如果可能的话，应

该做进一步精确的估计。

（5）分析第三张表中的成本参数如果不准确的话，会造成怎样的影响，如果实际值比

估计值少10%，是否会影响最优解？实际值比估计值多10%，又将如何？为进一步的参数估

计工作提出建议。

（6）对于每一种污染气体，求出所要求排放减少量的微小变动会引起的成本的变化量。

排放减少量在多大范围内变动，成本变化量会保持不变？

（7）在保持总成本不变的前提下，政策中大气微尘标准的每一单位变动，可能会引起

氧化硫排放标准多大的变动，又或者会引起碳氢化合物排放标准多大的变动？如果氧化硫和

碳氢化合物同时因此而变动，且两者变化的幅度相同，该变动的幅度又是多少？

（8）假设以θ表示每一张表中标准的增加百分比，θ=10，20，30，40，50，分别求出

该修正的线性规划问题的最优解。考虑税收上的优惠，管理者将会选择哪一个θ？

（9）根据上面计算出的θ，生成灵敏度报告，并重复（6）和（7）的分析，为污染标

准中三种气体的相对量作出最终的决策。