数学数列

数学篇——-数列讲解

第五章数列

学习要求：

1.了解数列和其通项公式、前n项和的概念

2.理解等差数列、等差中项的概念，会用等

差数列的通项公式、前n项和公式解决有

关问题.

3.理解等比数列、等比中项的概念，会用

等比数列的通项公式、前n项和公式解决有

关问题.

一、数列的概念

1.定义

按照一定顺序排列的一列数，数列里的每

一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这

个数列的第一项，第二项，，第n项，，

第一项也叫首项.

一般地，常用

123n

aaaa，，，

来表示数列，其中

n

a是数列的第n项，又

叫做数列的通项.数列记为

n

a

例如,数列1,3,5,7,21,n

第1项是1，第2项是3，第3项是5，，

第n项是

21n

，数列记作21n

2.数列的通项公式

数列

n

a的第n项

n

a与项数n之间的关

系，如果可以用一个公式来表示，那么这个

公式就叫做这个数列的通项公式.

例如，数列1,3,5,7,21,n

通项公式是

21

n

an.

3.数列的前n项和

对于数列

123

,,,,

n

aaaa

称

123n

aaaa

为这个数列的前n项和，记作

n

S.

即

123nn

Saaaa

4.数列

n

a的

n

a与

n

S的关系

111

,(2)

nnn

aSaSSn





例1已知数列

n

a的前n项和

232

n

Snn，求数列

n

a的通项公式

n

a

解析:由232

n

Snn得

22

1

3(1)2(1)385

n

Snnnn





所以，当

2n

时

22

1

32(385)65

nnn

aSSnnnnn





当2

11

1,31211,naS

满足公式

65

n

an

所以数列的通项公式为

65

n

an

历年试题

（2014年试题）

2.已知数列

n

a的前n项和22

n

Snn，求

（I）

n

a的前三项；

（II）数列

n

a的通项公式

解析：

（I）

2

11

2

221

22

332

1211

222(1)1

323(222)3

aS

aSS

aSS







（II）当2,n

22

1

2[(1)2(1)]23

nnn

aSSnnnnn





当

1n

时

1

1,a满足23

n

an

所以数列的通项公式为

23

n

an

（2007年试题）

已知数列

n

a前n项和

(21)

n

Snn

（I）求该数列的通项公式；

（II）判断39是该数列的第几项.

解:（I）当2,n

22

1

22(1)(1)41

nnn

aSSnnnnn





当

1n

时

1

3,a

满足

41

n

an

所以数列的通项公式为

41

n

an

(II)设39是该数列的第n项，则

3941n

,

10n

，即39是该数列的第10

项

二、等差数列

1.等差数列的定义

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前

一项的差都等于一个常数，这个数列就叫等

差数列，这个常数叫做公差，记为

d

，即

1nn

daa





等差数列的一般形式为

1111

,,2,,(1),aadadand

2.等差数列的通项公式

设

n

a是首项为

1

a

，公差为

d

的等差数列，

则这个数列的通项公式为

1

(1)

n

aand

3.等差数列的前n项和公式

设

n

a是首项为

1

a，公差为

d

的等差数列，

n

S

为其前n项和，则

1

()

2

n

n

aa

Sn





或

1

1

(1)

2n

Snannd

4.等差中项

如果,,ABC称等差数列，B就称为A与

C

的

等差中项，则

2

AC

B





注：一般证明一个数列是等差数列时，经常

是按它们的定义证明

1nn

aad





为常量

5.等差数列的性质

（1）在等差数列中，间隔相同抽出的项来

按照原来的顺序组成新的数列仍是等差数

列.

对于等差数列

123

,,,,

n

aaaa

数列

13521

,,,,

n

aaaa



也是等差数列，数

列

2462

,,,,

n

aaaa也是等差数列

数列

15913

,,,aaaa也是等差数列

例2如在等差数列

n

a中，已知

27

4,9aa

，求

12

a

解析：

2712

,,aaa构成等差数列，因为

72

945aa

，所以

127

59514aa

（2）对等差数列

n

a，若,,,mnst均为正整

数，且mnst，则

mnst

aaaa

如

192837465

2aaaaaaaaa

例3在等差数列

n

a中，已知

28

10aa，

求

5

a

解析：因为

2855

aaaa

，即

528

2,aaa

所以，28

5

()

10

5

22

aa

a





例4设

n

a为等差数列,其中

515

9,39aa，则

10

a

（A）24（B）127（C）30（D）33

解析:解法一

由等差数列

n

a的通项公式

1

(1)

n

aand

知1

1

49

1439

ad

ad











1

101

3

924

3

a

aad

d













得所以

解法二



n

a为等差数列，所以

51015

,,aaa

也是等差数

列，所以，

10

a是

5

a与

15

a的等差中项，

515

10

939

24

22

aa

a







例5在等差数列

n

a中，如果

23

2,5aa，

则

10

S_________

解析：

32

523daa，由

21

,aad

得

12

231aad

101

1

1010(101)

2

1

10(1)10(101)3125

2

Sad



例6等差数列

n

a中，若

456

90aaa则

其前

9

项的和

9

S

（）

A.

300

B.

270

C.

540

D.

135

解析：

n

a是等差数列，所以

465

2aaa

，

由

456

90aaa

得

5

390a

，

5

30a

由1

()

2

n

n

aa

Sn



得，19

9

()

9

2

aa

S



，

又

195

2aaa，

所以

195

9

()2

99309270

22

aaa

S





，选B

历年试题

（2013年试题）

等差数列

{}

n

a中，若

13

2,6aa，则

2

a

A.3B.4C.8D.12

解析：13

2

26

4

22

aa

a







（2012年试题）

已知一个等差数列的首项为

1

，公差为

3

，那

么该数列的前

5

项和为（）

A.

35

B.

30

C.

20

D.

10

解析：由

1

1

(1)

2n

Snannd得

5

1

515(51)335

2

S

选A

（2011年试题）

已知等差数列

n

a的首项与公差相等，

n

a

的前n项的和记作

n

S，且

20

840S

.

（Ⅰ）求数列

n

a的首项

1

a及通项公式；

（Ⅱ）数列

n

a的前多少项的和等于

84

?

解析:（Ⅰ）已知等差数列

n

a的公差

1

da

又

20111

20(201)

2020190210

2

Sadada





即

1

210840a

，所以，

1

4a

又

1

da

，即

4d

，所以，

1

(1)4(1)44

n

aandnn

即数列

n

a的通项公式为

4

n

an

（Ⅱ）设

84

n

S，又

2

1

()

(44)

22

22

n

n

aa

n

Snnnn





，

即22284nn，解得6,7nn（舍去）

所以数列

n

a的前

6

项的和等于

84

.

（2009年试题）

面积为6的直角三角形三边的长由小到大成

等差数列，公差为

d

，

⑴求

d

的值;

⑵在以最短边的长为首项，公差为

d

的等差

数列中，102为第几项？

解析:（I）由已知条件可设直角三角形的

边长分别为

,,,adaad其中0,0,ad

则222()()adaad，得

4ad

三边长分别为3,4,5ddd

1

346,1

2

Sddd

故三角形三边长分别是3,4,5.公差

1d

(II)以3为首项，1为公差的等差数列通项

公式为

3(1),3(1)102,

100

n

ann

n





故第

100

项为

102

（2008年试题）

已知等差数列

n

a中,

138

9,

⑴求数列

n

a的通项公式;

⑵当n为何值时,数列

n

a的前n项和

n

S

取得最大值,并求该最大值.

解析:⑴设等差数列

n

a的公差为,d由已

知

38

0,aa得

1

又已知

1

9,a所以

2.d

数列

n

a的通项公式为

921,

n

an即

112.

n

an

⑵解法一：数列

n

a的前n项和

2

2911210525.

2n

n

Snnnn

当

5n

时，

n

S

取得最大值

25

.

解法二：由⑴知

112,

n

an

令

11

1120,

2n

ann所以数列前5项

的和最大，最大值为



51

5454

559225.

22

Sad





三、等比数列

1.等比数列的定义

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前

一项的比都等于一个常数，这个数列就叫等

比数列，这个常数叫做公比，记为q，即

1

n

n

a

q

a





等比数列的一般形式为

21

1111

,,,,,naaqaqaq

2.等比数列的通项公式

设

n

a是首项为

1

a，公比为q的等比数列，

则这个数列的通项公式为

1

1

n

n

aaq

3.等比数列的前n项和公式

设

n

a是首项为

1

a，公比为q的等比数列，

n

S

为其前n项和，则

1

(1)

(1)

1

n

n

aq

Sq

q







或1(1)

1

n

n

aaq

Sq

q







4.等比中项

如果,,ABC称等比数列，B就称为A与

C

的

等比中项，则2BAC或BAC

注：一般证明一个数列是等比数列时，经常

是按它们的定义证明1n

n

a

q

a

为常量

5.等比数列的性质

（1）在等比数列中，间隔相同抽出的项来

按照原来的顺序组成新的数列仍是等比数

列.

对于等比数列

123

,,,,

n

aaaa

数列

13521

,,,,

n

aaaa



也是等比数列，数

列

2462

,,,,

n

aaaa

也是等比数列

数列

15913

,,,aaaa

也是等比数列

例7如在等比数列

n

a中,

24

6,24,aa

则

6

a

（）

A.8B.24

C.96D.384

解析：

246

,,aaa

是等比数列，因为

6

4

42

24

4

6

a

a

aa

，

64

442496aa，选C

（2）对等比数列

n

a，若,,,mnst均为正整

数，且mnst，则

mnst

aaaa

如2

192837465

aaaaaaaaa

例如在等比数列

n

a中，已知

15

16aa，

求

3

a

解析：2

315

16aaa，即

3

164a

例8设等比数列

n

a的各项都为正数，若

35

1,9aa，则公比q=

（A）3（B）2（C）-2

（D）-3

解析:由等比数列

n

a的通项公式

1

1

n

n

aaq知

2

2

1

4

1

1

9

9

3

aq

q

aq

q















得又因列各都是正的，

所以

例9设等比数列

n

a的公比q=2，且

24

8aa则

17

aa

（A）8（B）16

（C）32（D）64

解析:由等比数列

n

a的通项公式

1

1

n

n

aaq知

324226

1111171

1

8,832

2

aqaqaqaaaaq

例10在等比数列

n

a中，若

3243

25,25aSaS

，则

n

a的公比

q__________

解析：

433232

25(25)2()aaSSSS

，又

323

SSa

，所以

433

2aaa

，

即4

43

3

3,3

a

aaq

a

，填3

例11已知等比数列

n

a中，

23

10,20aa，那么它的前5项和

5

S__________

解析：由

23

10,20aa，可求得公比

3

2

20

2

10

a

q

a

，从而2

1

10

5

2

a

a

q



所以

5

5

1

5

(1)

5(12)

155

112

aq

S

q









，填

155

例12已知等比数列

n

a的各项都为正数，

1

2,a

前3项的和为14

（I）求该数列的通项公式；

（II）设

2

log,

nn

ba

求数列

n

b的前20项

的和

解析:（I）设等比数列

n

a的公比为q,

则

22

12

2221460,2,3qqqqqq所以

(舍去)

所以数列的通项公式为2n

n

a

（II）

22

loglog2n

nn

ban则

2012320

(120)

1232020210

2

sbbbb





例13设

n

a为等差数列,且公差

d

为正数,

已知

234234

15,,1,aaaaaa又

成等比数

列

1

ad求和

解析:由

n

a为等差数列知

24

2433

2

24

22

10

15

25

(51)

3

2(8)

aa

aaaa

aa

aa













解得舍去

由此得

3212

523231daaaad

历年试题

（2015年试题）

若等比数列

n

a的公比为

3

,

4

9,a则

1

a

A.

1

9

B.

1

3

C.

3

D.

27

（2014年试题）

等比数列

n

a中,若

2

8a

,公比为

1

4

,则

5

a

____________

（2015年试题）

已知等差数列

n

a的公差

1

1

0,

2

da，且

125

,,aaa成等比数列

（I）求数列

n

a的通项公式

（II）若数列

n

a的前项和50

n

S，求n.

（2013年试题）

已知公比为q的等比数列

n

a中,

25

4,32aa

（I）求q；

（II）求

n

a的前

6

项和

6

S

解:（I）由已知得3

25

aqa，即3432q，

解得2q

（II）1

12

2aaq

6

6

2[1(2)]

42

1(2)

S







（2012年试题）

已知等比数列

n

a中,

123

27aaa

（I）求

2

a；

（II）若

n

a的公比1,q且

123

13aaa，求

n

a的前5项和

解析:（I）因为

n

a为等比数列，所以

2

132

aaa，又

123

27aaa，可得3

2

27a，

所以

2

3a

（II）由

123

13aaa，

2

3a得

13

10aa，

由

1232

27,3aaaa得

13

9aa，

解方程组13

13

10

9

aa

aa











，得

1

1a或

1

9a

由

2

3a，得1

1

3

a

q











或

1

9

1

3

a

q















（舍去）

所以

n

a的前

5

项和

5

5

1(13)

121

13

S







（2010年试题）

已知数列

n

a中，

11

1

2,

2nn

aaa





（1）求数列

n

a的通项公式

（2）求数列

n

a前5项的和

5

S

解析：（1）由已知得1

1

0,,

2

n

n

n

a

a

a

所以是

以2为首项，

1

2

为公比的等比数列，所以

11

2

2

n

n

a









，即

2

1

2n

n

a





（2）

5

5

1

21

2

31

1

8

1

2

S





















（2006年试题）

已知等比数列

n

a中,

3

1

16,

2

aq公比

（I）求该数列的通项公式；

（II）求该数列的前7项的和

解析:（I）

2

3111

1

1664

4

aaqaa因此该数

列的通项公式为1

1

64()

2

n

n

a

（II）该数列的前7项的和

7

7

1

64[1()]

2

127

1

1

2

s





