高中知识点

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高中数学复习知识点

(1)先看“充分条件和必要条件”

当命题“若p则q”为真时，可表示为p=>q，则我们称p为q的充分条件，q

是p的必要条件。这里由p=>q，得出p为q的充分条件是容易理解的。

但为什么说q是p的必要条件呢?

事实上，与“p=>q”等价的逆否命题是“非q=>非p”。它的意思是：若q不

成立，则p一定不成立。这就是说，q对于p是必不可少的，因而是必要的。

(2)再看“充要条件”

若有p=>q，同时q=>p,则p既是q的充分条件，又是必要条件。简称为p是

q的充要条件。记作pq

回忆一下初中学过的“等价于”这一概念;如果从命题A成立可以推出命题B

成立，反过来，从命题B成立也可以推出命题A成立，那么称A等价于B，记作

AB。“充要条件”的含义，实际上与“等价于”的含义完全相同。也就是说，如果

命题A等价于命题B，那么我们说命题A成立的充要条件是命题B成立;同时有命

题B成立的充要条件是命题A成立。

(3)定义与充要条件

数学中，只有A是B的充要条件时，才用A去定义B，因此每个定义中都包

含一个充要条件。如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义就

是说，一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。

显然，一个定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一个含

有充要条件的语句来表示。

“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”。

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“仅当”表示“必要”。

(4)一般地，定义中的条件都是充要条件，判定定理中的条件都是充分条件，

性质定理中的“结论”都可作为必要条件。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤

⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;

⒉写出点M的集合;

⒊列出方程=0;

⒋化简方程为最简形式;

⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直

译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种

求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲

线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入

点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种

求轨迹方程的方法叫做相关点法。

⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y

与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这

种求轨迹方程的方法叫做参数法。

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⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动

曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

-直译法：求动点轨迹方程的一般步骤

①建系——建立适当的坐标系;

②设点——设轨迹上的任一点P(x，y);

③列式——列出动点p所满足的关系式;

④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y

的方程式，并化简;

⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘

记了借助数轴和文氏图进行求解.

2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况

3.你会用补集的思想解决有关问题吗?

4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判

断充分与必要条件?

5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.

6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.

7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.

8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域.

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9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递

增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调

10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和

导数法

11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;

单调区间不能用集合或不等式表示.

12.求函数的值域必须先求函数的定义域。

13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函

数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗?

14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?

(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论

15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最

值?

16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。

17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程

有解”不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你

是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?

18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”.

19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?

20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意

事项是什么?

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21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨

论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”.

22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;

不能用不等式表示.

23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时

要注意“同号可倒”即a>b>0，a<0.

24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论

了吗?

25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验

证，有些题目通项是分段函数。

26.你知道存在的条件吗?(你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗?你知

道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比数列的所有项的

和必定存在?

27.数列单调性问题能否等同于对应函数的`单调性问题?(数列是特殊函数，

但其定义域中的值不是连续的。)

28.应用数学归纳法一要注意步骤齐全，二要注意从到过程中，先假设时成立，

再结合一些数学方法用来证明时也成立。

29.正角、负角、零角、象限角的概念你清楚吗?，若角的终边在坐标轴上，

那它归哪个象限呢?你知道锐角与第一象限的角;终边相同的角和相等的角的区别

吗?

30.三角函数的定义及单位圆内的三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的定

义你知道吗?

31.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你注意到

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正弦函数、余弦函数的有界性了吗?

32.你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化

出现特殊角.异角化同角，异名化同名，高次化低次)

33.反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是

34.你还记得某些特殊角的三角函数值吗?

35.掌握正弦函数、余弦函数及正切函数的图象和性质.你会写三角函数的单

调区间吗?会写简单的三角不等式的解集吗?(要注意数形结合与书写规范,可别忘

了)，你是否清楚函数的图象可以由函数经过怎样的变换得到吗?

36.函数的图象的平移，方程的平移以及点的平移公式易混：

(1)函数的图象的平移为“左+右-，上+下-”;如函数的图象左移2个单位且

下移3个单位得到的图象的解析式为y=2(x+2)+4-3，即y=2x+5.

(2)方程表示的图形的平移为“左+右-，上-下+”;如直线左移2个个单位且

下移3个单位得到的图象的解析式为2(x+2)-(y+3)+4=0，即y=2x+5.

(3)点的平移公式：点P(x,y)按向量平移到点P(x,y)，则x=x+hy=y+k.

37.在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面了吗?(先求出某一个三角函数

值，再判定角的范围)

38.形如的周期都是，但的周期为。

39.正弦定理时易忘比值还等于2R。

【高中数学复习知识点】