因式分解法

因式分解常用的六种方法详解

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初

等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性

强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学

生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中

主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一

讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

1．运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式

分解中常用的公式，例如：

(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再补充几个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；

(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；

(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符

号等正确恰当地选择公式．

例1分解因式：

(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；

(2)x3-8y3-z3-6xyz；

(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；

(4)a7-a5b2+a2b5-b7．

解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)

=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]

=-2xn-1yn(x2n-y2)2

=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．

(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)

=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．

(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2

＝(a-b)2+2c(a-b)+c2

=(a-b+c)2．

本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：

原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)

=(a-b+c)2

(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)

=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)

=(a2-b2)(a5+b5)

=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)

=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)

例2分解因式：a3+b3+c3-3abc．

本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．

分析我们已经知道公式

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

的正确性，现将此公式变形为

a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．

这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．

解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc

=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．

说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：

我们将公式(6)变形为

a3+b3+c3-3abc

显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，

即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．

如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有

等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．

例3分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．

分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递

减至0，由此想到应用公式an-bn来分解．

解因为

x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，

所以

说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技

巧在等式变形中很常用．

2．拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几

个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多

项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项

拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后

者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

例4分解因式：x3-9x+8．

分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一

下拆项、添项的目的与技巧．

解法1将常数项8拆成-1+9．

原式=x3-9x-1+9

=(x3-1)-9x+9

=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)

=(x-1)(x2+x-8)．

解法2将一次项-9x拆成-x-8x．

原式=x3-x-8x+8

=(x3-x)+(-8x+8)

=x(x+1)(x-1)-8(x-1)

=(x-1)(x2+x-8)．

解法3将三次项x3拆成9x3-8x3．

原式=9x3-8x3-9x+8

=(9x3-9x)+(-8x3+8)

=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)

=(x-1)(x2+x-8)．

解法4添加两项-x2+x2．

原式=x3-9x+8

=x3-x2+x2-9x+8

=x2(x-1)+(x-8)(x-1)

=(x-1)(x2+x-8)．

说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什

么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、

添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．

例5分解因式：

(1)x9+x6+x3-3；

(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；

(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；

(4)a3b-ab3+a2+b2+1．

解(1)将-3拆成-1-1-1．

原式=x9+x6+x3-1-1-1

=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)

=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)

=(x3-1)(x6+2x3+3)

=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．

(2)将4mn拆成2mn+2mn．

原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn

=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn

=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)

=(mn+1)2-(m-n)2

=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．

(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．

原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4

=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2

=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2

=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．

(4)添加两项+ab-ab．

原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab

=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)

=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)

=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)

=[a(a-b)+1](ab+b2+1)

=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．

说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到

添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与

第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，

同学们需多做练习，积累经验．

3．换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个

新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

例6分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．

分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x

看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式

分解问题了．

解设x2+x=y，则

原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10

=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)

=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．

说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样

的结果，有兴趣的同学不妨试一试．

例7分解因式：

(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．

分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．

解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90

=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90

=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．

令y=2x2+5x+2，则

原式=y(y+1)-90=y2+y-90

=(y+10)(y-9)

=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)

=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．

说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．

例8分解因式：

(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．

解设x2+4x+8=y，则

原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)

=(x2+6x+8)(x2+5x+8)

=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．

说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，

根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法

的本质是简化多项式．

例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．

解法1原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2

=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2

=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2

=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2

=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]

=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．

说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即

熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．

解法2

原式=x2[6(t2+2)+7t-36]

=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)

=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]

=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．

例10分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．

分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，

这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，

用换元法分解因式．

解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则

原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)

=u4-6u2v+9v2

=(u2-3v)2

=(x2+2xy+y2-3xy)2

=(x2-xy+y2)2．

练习一

1．分解因式：

(2)x10+x5-2；

(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．

2．分解因式：

(1)x3+3x2-4；

(2)x4-11x2y2+y2；

(3)x3+9x2+26x+24；

(4)x4-12x+323．

3．分解因式：

(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；

(2)x4+7x3+14x2+7x+1；

(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；

(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．

4．双十字相乘法

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式

(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．

例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当

作常数，于是上式可变形为

2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，

可以看作是关于x的二次三项式．

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

即

-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

所以

原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］

=(x+2y-3)(2x-11y+1)．

上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字

相乘图合并在一起，可得到下图：

它表示的是下面三个关系式：

(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；

(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；

(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．

这就是所谓的双十字相乘法．

用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；

(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字

交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式

中的dx．

例1分解因式：

(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；

(2)x2-y2+5x+3y+4；

(3)xy+y2+x-y-2；

(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．

解(1)

原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．

(2)

原式=(x+y+1)(x-y+4)．

(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．

原式=(y+1)(x+y-2)．

(4)

原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．

说明(4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．

5．求根法

我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多

项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如

f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，

当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)

f(1)=12-3×1+2=0；

f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．

若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．

定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式

f(x)有一个因式x-a．

根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的

根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)

的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理

根．

定理2

的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多

项式f(x)的整数根均为an的约数．

我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项

式进行因式分解．

例2分解因式：x3-4x2+6x-4．

分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检

验-4的约数：±1，±2，±4，只有

f(2)=23-4×22+6×2-4=0，

即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．

解法1用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．

原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)

=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)

=(x-2)(x2-2x+2)．

解法2用多项式除法，将原式除以(x-2)，

所以

原式=(x-2)(x2-2x+2)．

说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之

不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项

式进行验证．

例3分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．

分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±

为：

所以，原式有因式9x2-3x-2．

解9x4-3x3+7x2-3x-2

=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2

=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2

=(9x2-3x-2)(x2+1)

=(3x+1)(3x-2)(x2+1)

说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因

式，如上题中的因式

可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．

总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)

就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可

以继续对g(x)进行分解了．

6．待定系数法

待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因

式分解中的应用．

在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但

这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由

于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应

该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程

组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

例4分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．

分析由于

(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，

若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，

应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．

解设

x2+3xy+2y2+4x+5y+3

=(x+2y+m)(x+y+n)

=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，

比较两边对应项的系数，则有

解之得m=3，n=1．所以

原式=(x+2y+3)(x+y+1)．

说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．

例5分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．

分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有

理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在

有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)

的形式．

解设

原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)

=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，

所以有

由bd=7，先考虑b=1，d=7有

所以

原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．

说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如

果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方

程组，直到求出待定系数为止．

本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使

我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．

练习二

1．用双十字相乘法分解因式：

(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；

(2)x2-xy+2x+y-3；

(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．

2．用求根法分解因式：

(1)x3+x2-10x-6；

(2)x4+3x3-3x2-12x-4；

(3)4x4+4x3-9x2-x+2．

3．用待定系数法分解因式：

(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；

(2)x4+5x3+15x-9．