贾奉雉

简介数列极限

前言

提到极限，人们会感到神秘莫测，这使我想起了《聊斋》里一文《贾凤雉》

一段故事。贾奉雉，是甘肃平凉人。他才名冠绝一时，但是科举考试却总是不

中。有一天，他遇见一位秀才，自称姓郎，风度很潇洒，两人成了朋友。不久

他在郎生帮助下考中了举人，但此时他却随郎生飘然离家出去，进了深山，到

了一处别有一番天地的洞府。在洞府消闲一段时间，郎生为他指明了回家的路，

贾奉雉疾奔了一里多路，已经到了家门口。只见房屋不是原来的老样子了；村

里的老人小孩，竟然没有一个认识的。贾奉雉问一个老翁道：“贾奉雉家在哪

儿？”老翁指着贾宅说：“这就是，相传这位贾公当时听说自己考中了举人就逃

走了；走的时侯，他的儿子才七八岁；屈指一算已经一百多年了。”贾奉雉听说

恍然犬悟，说：“老翁有所不知，贾奉雉就是我呀。”老翁大惊，急忙走去告诉

贾家的人。此时贾奉雉的长孙早死了；他的次孙贾祥也已经到了五十多岁了，

贾凤雉的妻子沉睡了100多年刚刚苏醒。贾凤雉感到的一会功夫却是经历100

年时间，原来，贾凤雉进的深山是另一个世界---仙界。神话中的仙界，是浩瀚

无限的时空；而人间千年，却是浩瀚时空的一瞬间，真是“天上方七日，世上

已千年”。

我们生活在有限的天地里，碰到的大多是有限的事物，用有限的、不变的数

来记载生活中的数量关系。然而，在数学领域，却还有类似仙境的、变量的、

无限的世界：

假如你站在道路上不动，对面一辆车向你开来，车与你的距离是1米，

2

1

米，

3

1

米，

4

1

米，

5

1

米，„„，

n

1

米，„„，永远没个完。此时你不必惊慌，因为按

这个规律，车子永远不会撞到你。这里车子与你的距离无限趋近0，但永远大于

0，0是当n趋向无穷大时，车子与你的距离的极限。

在我国，早在先秦时代，从《庄子²天下篇》中，就出现了“一尺之锤，日

取其半，万世不竭”的极限思想。从17世纪到19世纪末期，数学从常量数学

进入变量数学时期。在变量数学时期，辩证法进入了数学，极限开始出现在数

学领域。在高等数学中，极限知识是学习导数、微分和积分的基础。换句话说，

极限知识是初等数学走向高等数学、有限数学走向无限数学、数学形式逻辑思

维思维走向数学辩证思维的关键点。在《数学分析》中，极限含数列极限和函

数极限。但这里我主要介绍数列极限中的和小学数学相关的内容，不是系统学

习数列极限知识。目的是以帮助我们认识小学数学中和极限相关的知识的实质，

使我们能从更高的角度俯瞰小学数学。

本专题共谈三个小问题：

1.数列极限的概念；2.数列极限的四则运算；3.数列极限和小学数学及教学。

一、数列极限的概念

（一）.数列极限的描述性定义

我们看数列：

1

0

，

2

1

，

3

2

，

4

3

，

5

4

，

6

5

，

7

6

，„„，

n

n1

，„„

这个数列的项，随着项数（序号n）的逐步增大，越来越接近常数1，当自

变量n无限增大时，对应的第n项的值无限接近1，

n

n1

与1的差别无限小，要

小到什么程度就能小到什么程度，

n

n1

与1要多么近就有多么近。此时我们就

把这个常数1叫做该数列















n

n1

的极限。

定义1：设

xn

为一个数列，a为一个常数，如果当n无限增大时，x

n

的对应

值无限接近于常数a，则称数列

xn

有极限，极限值为a.记lim

n

x

n

=a.

这里“lim

n

”是对“极限”一词的符号表示，读作“离米特”音；“n”

读作“n趋向无穷大”，表示n无限大地变化下去。

练习（一）

猜想下面各数列的极限：

（1）1，

2

1

，

3

1

，

4

1

，

5

1

，„„，

n

1

，„„

（2）1＋

1

2

，1＋

2

3

，1＋

3

4

，„„，1＋

n

n1

，„„

答：（1）0；（2）2.

思考：在数列

1，

2

1

，

3

1

，

4

1

，

5

1

，„„，

n

1

，„„

中，它的极限是0，但第n项它永远不会等于0，这就蕴含了辩证关系。数

列极限是量变到质变的产物，对它的认识是思维的飞跃。

练习（二）

已知数列

1

2

，

2

3

，

3

4

，

4

5

，„„，

n

n1

,„„

（1）猜想极限；

（2）用直角坐标表示x

n

趋向极限情况；

（3）随着n的无限增大，x

n

与极限值差的绝对值如何变化？

解：（1）该数列极限是1.

（2）如图，纵坐标为x

n

，我们看纵轴，表示x

n

的点距离表示1的点越来越

近，看出x

n

无限趋近极限1的情况：

（3）x

n

与1的差的绝对值1xn

越来越趋近0.

思考：x

n

从正数方向趋近极限1，与极限1的差的绝对值就是与极限1的差。

1xn

刻画了x

n

向极限1逼近的状况。

练习（三）

已知数列：－

1

2

，－

2

3

，－

3

4

，－

4

5

，„„，－

n

n1

,„„

（1）猜想极限；

（2）用直角坐标表示x

n

趋向极限情况；

（3）随着n的无限增大，x

n

与极限值差的绝对值如何变化？

解：（1）－1；

（2）如图，看出x

n

无限趋近极限－1的情况：

（3）x

n

与－1的差的绝对值

)1(xn

越来越趋近0.

思考：x

n

从负数方向逼近极限－1，x

n

与极限－1的差是负数，取绝对值则

成为非负数，这才表示距离啊。)1(xn

刻画了x

n

向极限－1逼近的状况。

练习（四）

已知数列：－1，

2

1

，－

3

1

，

4

1

，„„，（－1）n³

n

1

，„„

（1）猜想极限；

（2）用直角坐标表示x

n

趋向极限情况；

（3）随着n的无限增大，x

n

与极限值差的绝对值如何变化？

（4）n＞10000时，x

n

表示哪些项？

（5）今给定一个正整数N=10000，当n＞N时，x

n

与极限值差的绝对值会小

于

10000

1

吗？

解：（1）0；

（2）如图，看出x

n

无限趋近极限0的情况：

（3）x

n

与0的差的绝对值0xn

越来越趋近0.

（4）n＞10000时，x

n

表示10000以后的任何一项。

（5）当n=N时，0xn

=

10000

1

；当n＞N时，0xn

＜

10000

1

。即第10000项

以后的所有项与0的差的绝对值都小于

10000

1

。

思考：x

n

从正负两个方向逼近极限0，x

n

与极限0的差有正有负，要分两个

情况分析向极限逼近程度，这很麻烦；而我们用0xn

，则避开了正与负的讨论，

就统一用一个尺度来刻画x

n

向极限0逼近情况了。

显然，若数列

xn

极限为a，我们可用

axn

的值来刻画n趋向无穷大时，xn

从各个方向趋近极限a的情况。

练习（五）

数列

1

2

，

2

3

，

3

4

，

4

5

，„„，

n

n1

,„„

的极限是1.

（1）想叫1xn

＜

1000

3

，xn应该是第几项以后的项？n应大于多少？

（2）想叫1xn

＜

10000

7

，xn应该是第几项以后的项？n应大于多少？

（3）对给定的任意小的一个固定的正数m,想使1xn

＜m,xn应该是第几项以后

的项？n应大于多少？

解：（1）想叫1xn

＜

1000

3

，则应

1

1





n

n

＜

1000

3

，解这个不等式：

1

1



nn

n

＜

1000

3

1

1

1

n

＜

1000

3

n

1

＜

1000

3

n

1

＜

1000

3

1000＜3n,

n＞

3

1000

.

n＞333

3

1

。

故xn应该是第334项及以后的项，第334项及以后所有的数与极限1的差

的绝对值都小于

1000

3

。

（2）想叫1xn

＜

10000

7

，则应1

1





n

n

＜

10000

7

，解这个不等式：

1

1



nn

n

＜

10000

7

n

1

＜

10000

7

n

1

＜

10000

7

10000＜7n,

n＞

7

10000

.

n＞1428

7

4

。

故xn应该是第1429项及以后的项，第1429项及以后所有的数与极限1的

差的绝对值都小于

10000

7

。

（3）想叫1xn

＜m，则应

1

1





n

n

＜m，解这个不等式：

1

1



nn

n

＜m

n

1

＜m

n

1

＜m

1＜mn,

n＞

m

1

.

取不大于

m

1

的最大整数N，故xn为第N项以后的项时，总有1xn

＜m。

（三）数列极限的精确定义

这是数列极限的定义1描述性定义。在描述性定义中，尽管直观且通俗易

懂,但有些词句，如“无限增大”、“无限接近”等都是比较笼统的，不够准确的，

不能精确地描述极限的过程；它仅是形象表述,是所谓的自然语言，不符合数学

的严密性,把它作为定义难以进行严格的数学推理。经过19世纪几位出色的数学

家的创造性工作，严谨的极限概念表述诞生了。基于法国数学家柯西提出的思

想，德国数学家威尔斯特拉斯给出极限的精确定义。下面我们在前面五个练习

的基础上，学习数列极限的精确的定义。

由前面的讨论我们已经知道，数列

1

2

，

2

3

，

3

4

，

4

5

，„„，

n

n1

,„„

的极限是1.

由于该数列极限为1，故随着n的无限增大，第n项x

n

会无限趋近1，1xn

会无限小下去，要多么小就有多么小。

就是说，若数列以1为极限，则对给定的任何一个十分小的正数m，我们总

能找到一个正整数N，使得第N项后面的所有的项x

n

，都能保证1xn

＜m。也就

是说，当n＞N时，1xn

＜m。

同样，若数列

xn

极限是a，那么n趋向无穷大时，axn

会随着无限小，数

列第n项x

n

会无限趋近极限a，axn

会小于任意小的正数。即对任意给定的一

个正数



，总能找到一个正整数N，使第N项后面所有的项x

n

与a的差的绝对值

都小于



，即当n＞N时，恒有

axn

＜



。

因此我们有数列极限的如下定义：

定义2：设有数列

xn

和常数a，如果对于任意给定的正数



，总存在正整数

N，当n＞N时，恒有

axn

＜



则称数列

xn

以a为极限，记为lim

n

x

n

=a.

说明：

（1）这里



不是固定的常数，而是任意小的正数。为何要求



是任意小的正

数?事实



任意小的意思是让



无限小下去，这样当axn

＜



时，才保证axn



随n的无限大而无限小，才说明xn无限靠近a.这就保证了a为极限。

（2）n越大，xn越靠近极限a，axn

就越靠近0，axn

＜



中，



越小，

则就要要求n越大，即要求N越大。这里N的值取决于



大小，在



无限小的一

瞬间，一旦给定



静止的值，则N的值也就确定了。

（3）语句“总存在正整数N”中，这里N有何用处？其实N是用来说明n的

取值界限的。比如，想叫0

1



n

＜

1000

1

，则先找到N=1000，n＞1000就可，“n

＞1000时

0

1



n

＜

1000

1

”表示数列第100项后的所有的任何一项都满足

0

1



n

＜

1000

1

。

例1：求证数列1，

2

1

，

3

1

，

4

1

，

5

1

，„„，

n

1

，„„极限是0.

分析法叙述证明过程：

想证明数列













n

1

极限为0，即要证明对给定的任意小正数



，总存在正整数N，

当n＞N时，恒有

0

1



n

＜



（这里



要多么小有多么小），

即

n

1

＜



即

n

1

＜



，

两边同乘以n，化为

1＜n



；

两边同除以



，化为

n＞



1

。

可见，n＞



1

时，就能保证0

1



n

＜



。逆推回去，则可证明该数列极限为0.

综合法叙述证明过程：

对给定的任意小正数



，取N为不大于



1

的最大的正整数（此时



1

不一定为

整数，当



1

为整数时，就取N=



1

），当n＞N时，恒有n＞



1

，即恒有n



＞1，即

恒有



＞

n

1

，即恒有

n

1

＜



，即恒有0

1



n

＜



，故该数列极限为0.

现在我用极限的定义解决杨磊老师上次读书活动中提出的问题。

杨老师在教学中，遇到这个实际问题：

学生提出问题：把直径为d的圆的外切正方形四角各切下一个小正方形，

再逐步将小正方形增多，这个锯齿长总会等于正方形的周长，锯齿无限增多时，

锯齿形状好像逐步接近圆，锯齿长是否会逼近圆周长？锯齿如果逼近圆，这个

锯齿的周长本应该是4d，而圆的周长是πd,，这不是矛盾吗？如何解释该问题？

问题解决：

我们先明确，正方形周长为4d，圆周长为πd，π＜4，正方形周长大于圆周长。

我们用平移法可知锯齿长永远大于圆周长。比如，我把第一图放大，AB=CD，

DB=AC，AM和DN本来就在周边上，左上角锯齿长等于CM＋CN，整个锯齿长

等于正方形周长4d。而圆周长为πd,，故锯齿长永远大于圆周长。

按极限定义，如果锯齿长无限逼近圆周长，那么当齿无限增多时，锯齿长

应该是个变量，这个变量随着齿的增多逐步接近圆周长。可是实际这个锯齿随

着齿的增多，它长度是不变的，永远等于4d，故锯齿长永远大于圆周长。

对学生可这样解释：从外观上，随着齿的增多，在外形上锯齿无限接近圆，

似乎锯齿长在无限接近圆周长，其实这是直观和经验产生的误解。锯齿的齿无

限增多时，虽然此时锯齿无限小了，但锯齿的个数也无限多了，其总长这个和

是不变的，总是大于圆周长的，此时的差别分散到各个小锯齿中了，只是我们

肉眼没观察到而已。

对于我们教师层面，除了我在群里给出的用极限四则运算方法外，我们还可

用极限定义证明：

第1个图中，设左上角的锯齿长为a1＋a2＋b1＋b2,全部锯齿长为S1，

S1=4（a1＋a2＋b1＋b2）；

第2个图中，左上角的锯齿长为a1＋a2＋a3＋a4＋b1＋b2,＋b3＋b4，全部锯齿

长为S2，

S2=4（a1＋a2＋a3＋a4＋b1＋b2,＋b3＋b4）；

„„„„

我们得到一个数列：

S1，S2，S3，S4，„„，Sk，„„

其中Sk=4d.（k=1,2,3,4,„„）

假如当n趋向无穷大时该数列以圆周长πd为极限，则对于给定任意小的正

数



，存在N，当n＞N时，应有

dsn

＜



，

即应sn－πd＜



,

即应4d－πd＜



。

但这是不可能的，因为4d－πd是个固定常数，不可能小于任意小的正数



，

符合条件的“N”我们找不到，故锯齿长不可能以πd为极限，故锯齿周长不能

趋近圆周长。

更正：上次我在一群里发的关于该问题的讨论，我中途忘打个4倍。

二、数列极限的四则运算

数列极限的四则运算在探讨小学数学极限问题解答中要用到。

这些法则主要由极限的定义或性质证明。时间关系，这里我仅仅证明法则1。

其余的靠直观理解。

法则1：若lim

n

x

n

=a，lim

n

y

n

=b，则lim

n

（x

n

±y

n

）也存在，且

lim

n

（x

n

±y

n

）=lim

n

x

n

±lim

n

y

n

=a±b。

比如，数列

1

2

，

2

3

，

3

4

，

4

5

，„„，

n

n1

,„„

的极限为1，即lim

n

n

n1

=1；

数列

1，

2

1

，

3

1

，

4

1

，

5

1

，„„，

n

1

，„„

的极限为0，即lim

n

n

1

=0；

将它们对应项相加，则得到这两个数列的和数列

1

2

＋1，

2

3

＋

2

1

，

3

4

＋

3

1

，

4

5

＋

4

1

，„„，

n

n1

＋

n

1

，„„

这个和数列的极限为1＋0，即：lim

n

（

n

n1

＋

n

1

）=lim

n

n

n1

＋lim

n

n

1

=1＋0=1。

证明：∵lim

n

x

n

=a，故对任意给定的正数



，总存在正整数N1，当n＞N1时，

恒有

axn

＜

2



；

∵lim

n

y

n

=b，故对任意给定的正数



，总存在正整数N2，当n＞N2时，恒有

by

n

＜

2



。

取N1、N2中的最大者N，则当n＞N时，有n＞N1，n＞N2，同时恒有axn

＜

2



，

by

n

＜

2



。

故此时恒有

)()(bayx

nn

=)()(bayx

nn

≤axn

＋by

n

＜

2



＋

2



=。

故lim

n

（x

n

＋y

n

）=a＋b=lim

n

xn＋lim

n

y

n

法则2：若lim

n

x

n

=a，lim

n

y

n

=b，则lim

n

（x

n

²y

n

）也存在，

且lim

n

（x

n

²y

n

）=lim

n

x

n

²lim

n

y

n

=a²b。

比如，上面两数列的积数列

1

2

³1，

2

3

³

2

1

，

3

4

³

3

1

，

4

5

³

4

1

，„„，

n

n1

³

n

1

，„„

的极限为,1³0，即lim

n

（

n

n1

²

n

1

）=lim

n

n

n1

²lim

n

n

1

=1³0=0。

推论1：若lim

n

x

n

存在，c为常数则

lim

n

(cx

n

)=clim

n

x

n

如数列：1³3，

2

1

³3，

3

1

³3，

4

1

³3，„„，

n

1

³3，„„

lim

n

（

n

1

³3）=lim

n

3²lim

n

n

1

=3³0=0

特别有：lim

n

c=c，即常量的极限是它本身。

如数列：2，2，2，2，2,2，„„极限就是2.

推论2：若lim

n

x

n

存在，则

lim

n

(x

n

)n=(lim

n

x

n

)n

法则3：若lim

n

x

n

=a，lim

n

y

n

=b，b≠0，则lim

ny

x

n

n也存在，

lim

ny

x

n

n=

y

x

n

n

n

nlim

lim



=

b

a

。

练习

1.求数列极限：

（1）3

5



n

；（2）

2

1

4

1





n

n

；（3）3（

6

73

2



nn

）.

数列极限知识我就谈到此了。在一元微分学中，极限知识含：数列极限、

函数极限、极限的性质、极限的四则运算、极限的判别法、两个重要极限、无

穷小量与无穷大量之间的关系，不定式的定值法等等，解题时要涉及一些数学

式子变型。这里我们谈的仅仅是入门知识，这些用于解答小学数学中的极限问

题一般就够了。有了这些的知识储备，我们可进行小学数学教学的探讨了。

四、用无限和极限思想探讨小学数学相关问题

（一）用辩证思维思考神奇的无限数学

1.跳出有限集合的圈子

初等数学是建立在有限集的基础上的，而对无限集的问题，则无能为力。比

如，问：自然数和偶数谁多？这是无限集合领域的数学问题。人们可能回答：

自然数多；可事实上你回答时，你的根据是有限集的理论，在有限集中，知道

集合里共有多少个元素，自然能比出谁多谁少。在无限集中，你连自然数和偶

数是多少个都不知道，如何比较谁多呢？我们以往学习的数学概念和结论是在

有限集合范畴，是不能简单运用到无限集合领域的。我们必须用全新的方式来

探讨无限集合下的数学。康托尔建立无限集理论后，人们才知道，自然数和偶

数一样多，这是多么神奇的、不可思议的结果。在神奇的无限数学中，会有神

奇的无限算数。德国数学家希尔伯特曾讲了一个神奇的算数故事：

一家旅店，内设无限个房间。所有房间都住满了客人。这时一新客人来临，

想订个房间。“没问题”！店老板自信地说。于是店老板将1号房间的旅客移到2

号房间，将2号房间的旅客移到3号房间，将3号房间的旅客移到4号房间，„„，

经过一番折腾后，1号房间终于被腾出来，新客被安排到1号房间里。这是无限

算数里的不可思议的违背常理的神奇的结果。

2.要用辩证思维的观念认识数列极限

在数学史上，十七世纪之前，是初等数学时期。在初等数学中，遵循的是形

式逻辑。形式逻辑是以“质”不变为前提的，不能违背形式逻辑四大基本规律

中的同一律。同一律要求在同一论证过程中，概念和判断必须保持同一性，A

是A，而且在证明过程A不能变为“非A”。

十七世纪产生了变量数学。在变量数学中的数列极限中，axn

是无穷小量。

牛顿在运用无穷小量时，既认为无穷小量不为0，有时又将无穷小量看做0。这

就违反了同一律。遭到一些人的非议。对无穷小量、极限以及微积分知识的非

议，由此引发了数学史上第二次危机。后来经过一个多世纪的研究，康托尔建

立无限集理论，在变量和无限数学领域创立了的一系列变量极限的系统的理论，

该知识则逐步被人们接受。笛卡尔、费马、罗伯瓦、卡瓦列利、牛顿、莱布尼

兹、达朗贝尔、柯西等人在极限和微积分理论论研究上做出了卓越的贡献。

变量数学和无限数学研究中，要用到辩证逻辑。辩证逻辑在认识事物的过程

中不但承认事物当前的、现在的“质”的不变性（A是A而不是别的），同时还

要认识到这种不变性是暂时的，A经过质的变化还可以等于非A。这就完全打

破了形式逻辑的观念。

比如，正n边形的周边是由线段构成，当边数无限增多时，它的面积的极限

是圆的面积。事实圆又不是正多边形，因为正多边形边数再多，四周也是由线

段构成，而圆周不是线段构成。但我们必须承认，当n趋向无穷大时正n边形

的面积的极限是圆的面积，正多边形周长的极限就是圆的周长。此时，量变导

致了质变；有的书干脆就将正多边形周长的极限就定义为圆的周长。

初等数学中的形式化推理，是建立在相对静止下的形式逻辑推理，而高等数

学则既有相对静止下的形式逻辑下推理，也有在质的变化下的辩证逻辑推理。

其实世界本来就是辩证规律下的世界，不承认这一点，就不能正确认识世界，

就不能全面认识数学的本质，就不能进入高等数学领域。

（二）小学数学中，蕴含无限算数和极限

由数学美的研究可知，无限是一种美。“无限”具有神秘的因素，无限美容

易引起学生对新异的遐想，从而激发学生步入探索情景。而极限则是在无限美

的前提下的辩证思考，体现了美的统一性。极限知识在小学数学里似乎看不到，

其实从小学生认识数开始，就有了无限的信息，而不久数学就蕴含了极限。

1.小学数学中的“无限”

小学学生从低年级开始，就接触了“无限”，而后则逐步和无限常打交道了。

直线是向两方无限延伸的，它可穿过宇宙，无限伸展下去，假如你脚踏着直

线走，那么你永远也走不到尽头。直线代表果断、刚劲，一往无前的毅力。想

看得更远吗？那就要学直线无限走下去，去遥望知识的海洋，欲穷千里目，更

上一层楼。

射线是向一方无限延伸的，它像探照灯的光，直向无穷无尽处射去„„

无数点生成直线，直线中的点，有的近在眼前，有的在天涯海角，有的在银

河系，有的在外星球，但它们都紧紧挨着站成一排„„

你能找到容纳无数个人的小屋吗？有，线段就是。1厘米长的线段，却容纳

无数个点„„

角的两边是无限延伸的，它像是两个手电筒的光，它又像从一点发出的两束

激光„„

自然数、奇数和偶数是无限多的，你数到多少年、多少代，都数不尽，从远

古到今天，历经沧海桑田，数到现在，有谁知道它们有多少呢，自然数像飘落

的雨点，千点万点无数点，飞入数轴看不见。然而，用有限的0----9这十个数字

却能将所有的自然数表示出。

在一个家庭的兄弟姐妹中，肯定只有一个是最小的；在自然数中，最小数是

0；然而在小数中，数无限小下去，却没有最小的数。

一只青蛙，能生有限个蝌蚪；一本书，含有限的页数，一只蜡笔，能画出有

限幅图画；可过一点可画出无数条直线。

平行线是永不相交的，然而，在高等几何中，平行线定义为交于无穷远点。

不可思议吧？其实也好理解。看下图，楼房的屋顶线AB和底线CD是平行的，

但在视觉上却交于无穷远点O：

1÷3得的是无限循环小数，

3

1

只是一个很小的数，可谁想到，它却生出无限

个自然数。如果你不慎将无限循环小数的数点丢掉，小数就变为无穷大，你可

就要犯“无穷大的错误”。数学学习是曲折的，有顺利、有成功也有艰难；成功

和曲折是循环的，学习如几何曲线，苦乐如小数循环。

将一条线段平移，可这样设想：设想在该线段上作出无数个点，而后作出这

些点平移后的点，这些点就合成平移后的线段，这虽然无法达到，但却符合逻

辑；

„„„„

这些在小学学生中，虽不知其中深刻的道理，但在大脑然已经形成表象、图

式或空间记忆。教学中要让学生进行丰富的想象，将学生带进数学美的神奇境

界。无限虽然不等同极限，然而，培养学生的无限观念是形成极限思想的基础，

数列极限是以n趋向无穷大为前提的，离开无限谈数列极限是没有任何意义的，

想认识极限，首先要认识无限。

2.小学数学教学中的“极限”思想

在小数中，最小数无限多，没有最小的数，但小数却无限趋近0；

无限循环小数的极限是分数，无限小数0.333333„„可化为

3

1

，无限的小数

0.333333„„居然能用有限的分数形式表示，简直是不可思议，但又一想，若无

有无限的0.333333„„，

3

1

又从何而来？这就是极限的辩证。

在探究规律中，对于1，

2

1

，

3

1

，

4

1

，

5

1

，„„

问学生第n个数是几？学生会回答：

n

1

，问学生第1000000个数是几，学生

也会回答出，可在回答中，学生心理已经有了“随n的无限增大，数无限小下

去”的极限思想的萌芽。此时我们会想起李白的诗句：孤帆远影碧空尽，唯见

长江天际流。一叶孤舟像无穷小量，随江水流去，最终消失在水天一际远方，

数学概念融在美的意境之中了。

著名特级教师张齐华，在教《圆的认识》时，就先讲正三边形，正四边形，

正五边形，正六边形，正十二边形，„„直至无穷无尽这个逼近的思想来引导

学生认识圆的。

在分数教学中，可用下图导引学生进行丰富的想象：

这既学习了分数知识，也提高了学生学习情趣。

„„„„

总之，在小学数学教学中，我们不能忽视学生极限思想的渗透。当然，极限

思想在小学学生中只是萌芽状态，比如，学生不会相信正多边形会变成圆。在

小学，极限思想教学达到何层面为止？我的观点是，学生不能完全达到理解和

运用极限知识解决问题的层面，但要达到学生能在极限思想导引下进行猜想的

层面。我们不可能用求极限的方法去教学生证明一些公式，但我们可用极限思

想引导学生去思考。比如，在圆面积教学中，我们可用极限的思想去引导学生，

使学生能猜想出圆面积公式，最后圆的面积公式是猜想出的，不是推导证明出

的。这里“猜想”是教学核心。极限思想引导下的猜想，蕴含了辩证思维的萌

芽，但还没达到辩证逻辑推理层面，符合儿童辩证思维认知水平。教学实践发

现，在极限引发下的猜想，能激发学生神奇的、丰富的想象，激发学生学习数

学的兴趣，领悟数学思想方法，更有利于发展学生智力，为学生后继到初高中

学习奠定感性认识基础。

1

16

1

8

1

4

1

2

（三）用极限知识解答小学数学问题举例

小学数学中，很多图形面积或体积是用极限得出的。我这里谈几个实际问题。

首先我们要清楚数列极限知识的脉络和逻辑关系：在数列极限知识中，由数

列极限的精确定义，得出极限的一些性质，同时得出一些简单数列的极限。面

对求复杂数列极限问题时，一般要先用极限运算法则或性质其分解为简单数列

极限问题，最后使问题得到解决。

1.将1.3



化为分数

分析：我们要在辩证思维下承认：

1.3



=3＋

10

1

＋

102

1

＋

103

1

＋„„＋

10

1

n

＋„„

=lim

n

（3＋

10

1

＋

102

1

＋

103

1

＋„„＋

10

1

n

），这个极限就是化成的分数。

解：

我们首先可用极限精确定义证明出lim

n10

1

n

=0（证明略）；而后用极限运算法

则求之：

1.3



=3＋

10

1

＋

102

1

＋

103

1

＋„„

=lim

n

（3＋

10

1

＋

102

1

＋

103

1

＋„„＋

10

1

n

）

=lim

n

3＋lim

n

（

10

1

＋

102

1

＋

103

1

＋„„＋

10

1

n

）

=lim

n

3＋lim

n

10

1

1

)

1

1(

10

1

10





n

=lim

n

3＋lim

n

10

9

)

1

1(

10

1

10n



=lim

n

3＋lim

n

9

1

1

10n



=lim

n

3＋

9

1

1

lim

10

limlim







n

n

nn

=3＋

9

01

=3

9

1

.

附录：解法2：设x=1.3

（这里1.3

有无限循环的含义，有极限的内涵）

则10x=1.31



10x－x=1.31



－1.3



9x=28（无限部分减掉，无限与无限的差，属于高等数学知识）

x=3

9

1

解答无限数列极限的问题，往往要走“之”字的路。先是面对无限数列之和

S，而后是将无限数列的和用有限的和S

N

展示，最后是取极限，由S

N

回到S。

2.解释圆的面积公式

我先给出数列极限的一个性质（夹挤性）：

若有一自然数K，当n＞K时，有x

n

≤y

n

≤z

n

，且lim

n

x

n

=lim

n

z

n

=a，则lim

n

y

n

=a.

如，

n

1

≤

n

n

2

1

≤

n

n

2

2

=

n

2

，即

n

1

≤

n

n

2

1

≤

n

2

，而我们知道lim

n

n

1

=lim

n

n

2

=0，故可

得出lim

nn

n

2

1

=0.

圆的面积的极限证明方法很多，但要用到一些辅助性结论，有时要用到一个

重要的极限结论，这些我们今天略去不谈，有想研究者可和我个别交流。

我今天用比较浅显的方法来谈这个问题。首先我们证明当正多边形边数n趋

向无穷大时，对应边心距r

n

的极限是圆半径R。

证明：如图，圆内接正n边形半径R，边长a

n

，边心距r

n

。边长a

n

和边心距

r

n

，随n的变化各自构成数列，由三角形两边之和大于第三边知，0＜R－r

n

＜

2

an，

∵lim

n

0=lim

n

2

an=0，

故由夹挤性知lim

n

（R－r

n

）=0，

即lim

n

R－lim

n

r

n

=0，

R－lim

n

r

n

=0，

即lim

n

r

n

=R。

其次我们说明当正n边形边数n趋向无穷大时，对应周长C

n

数列的极限是

圆周长C。

这里不是严格证明，而是直观解释。严格证明要用到一些结论，



语言或和式子

变形，或重要极限，这里略。

如图，圆半径R，周长C，内接正n边形边长a

n

，边心距r

n

，EC=d

n

，a

n

、

r

n

、C

n

和d

n

随n的变化各自构成数列。

d

n

=R－r

n

，而lim

n

（R－r

n

）=0，

故lim

n

d

n

=0.

故随着n趋向穷大，边长a

n

无限接近对应弧AB，故正n边形周长C

n

无限接

近圆周长C，即lim

n

C

n

=C.

最后我们推导圆的面积公式：

由于正n边形边数n趋向无穷大时，对应周长C

n

数列

的极限是圆周长C，取极限时，正n边形周边和圆周重合

了，故正n边形的极限就是圆，就是说，正n边形面积的

极限就是圆的面积。

故S圆=lim

n

（

2

1

an²rn²n）

=lim

n

（

2

1

rn²a

n

²n）

=lim

n

（

2

1

rn²C

n

）

a

n

r

n

R

O

A

B

C

d

n

a

n

r

n

R

O

A

B

C

E

=lim

n

2

1

²lim

n

rnlim

n

C

n

=

2

1

³R³2πR

=πr2。

3.用极限思想记忆图形面积

有时极限思想和特殊化思想融在一起。在形式逻辑中，梯形、平行四边形和

三角形是互不相容的概念.但在辩证逻辑中，我们可用极限的思想将其面积公式

融合在一起。事实当梯形上底无限接近下底长时，则逐步逼近成为平行四边形，

可将平行四边形看成上底等于下底时的梯形；当梯形上底无限趋近0时，则逐

步逼近成为三角形，可将三角形看成上底为0的梯形。此时我将这三类图形起

个新名：统称为“可渐变梯形”。这样三种图形面积就为统一的一个公式：

S=

2

)(bah

当a=b时，为平行四边形，S=

2

)(bbh

=

2

2hb

=hb.

当a=0时，为三角形，S=

2

)0(bh

=

2

hb

.

我曾经思考一个有趣的问题-----环形面积和可渐变梯形面积统一问题：

设环形内外圆半径为r和R，我们可将环形看成梯形上下底弯曲渐变而成。

看，让梯形的底逐渐弯曲下去，渐变到极限位置，使腰重合，则成为环形，梯

形底弯曲的极限为环形。

此

时的梯

形面积

=

h

b

a

2

)22(rRAB

=

2

)22)((rRrR－

=π（R－r）（R＋r）

=π【（R－r）²R＋（R－r）²r】（小学领域解答）

=π（R2－r2）

=πR2－πr2

=环形面积。

4.圆柱体积公式教学蕴含的极限原理

我们回到对学生进行教学的层面。

圆柱最初拼成是近似长方体,上底是近似平行四边形，人教版教材说是长方

形，但其实最初不是长方形。看下图：A、K、N、M、G在一直线上（如，K

点的三个角的和为180°度），∠KAB是67.5°，如何是长方形？当然，最后分

的份数越多，则等腰三角形底角越大，无限趋近长方形。

设圆柱底面圆半径为r，高h。近似平行四边形一边是r，一边为曲线，高是

m。首先，圆柱的体积=近似长方体体积，我们用AB²m近似替代长方体体积。

当分的份数越多时，每段弧越趋近线段，AG越接近各段弧之和，长方体上底的

平行四边形越趋近长方形，m越接近r，AB²m越接近近似近似长方体，就是越

接近圆柱体。可见，AB²m的极限就是圆柱体积。

于是V圆柱=V近似长方体=lim

n

AB²mh=圆半周长乘半径=πr²rh=πr2h.

我们也可用下法教学：

将底面的圆分割出n个长方形，设各个长方形面积为S

1

，S

2

，S

3

，S

4

，„„，

S

n

，以每个长方形为底做长方体，这些长方体构成复杂的棱柱，体积V=S

1

h＋S

2

h

＋S

3

h＋„„＋S

n

h=（S

1

＋S

2

＋S

3

＋„„＋S

n

）h，当n无限大时，底面趋近圆，

底面积就是圆的面积，这个棱柱趋近于圆柱。则V=πr2h.

结束句

以上我简单介绍了

数列极限的基本知识及在小学数学教学中的应用。在座各位教师，虽然一些人

只进行了文科学历的提高，没系统学习过高等数学，但由于你们谦虚好学，勤

于思考，取得了很多瞩目的教学成果。你们在小学数学教学中都是精英、骨干

和名师，在学校都是挑大梁的。你们是学校的一张牌子，有你们存在，你们的

学校就增添生命力。就凭这一点，我牺牲点个人时间，给大家讲解一下这点知

识，也值了。各位小学教师在第一线教学很苦，在苦中还要在群里探究教学，

可敬。人生伟业的建立，不仅在能知，更在能行。只有经历人生的种种磨难，

才能悟出人生的价值；宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。祝愿大家在艰苦的

拼搏中，取得更优异的教学成绩。我的这点小讲座结束了。

复习几个与极限知识相关的初等数学知识

1.数轴上两点间距离

如图，

AB=AO＋OB=1＋2=1－（-2）=1)2(=)2(1=A、B点对应的数的差的绝对值；

DC=3－2=32=23=C、D点对应的数的差的绝对值；

„„„„

在数轴上，设点A、B对应的数为a、b，则A与B的距离d=ba，d=ba

反映了a、b两个数接近的情况。

练习：如图，求A和B的距离，求C和A的距离。

解答：AB=22=4;AC=32=5.

2.当a≥0时，a=a；当a≤0时，a=－a。

若a≤m，则－m≤a≤m.

练习：

（1）化简：aa3（a＜3）；

解答：aa3=－（a－3）＋a=3.

（2）已知a≤5，a为整数，求a的值。

解答：－5≤a≤5，a的值为－5到5的整数。

3.数列及通项公式与求和公式

数列

1，3，5，7，9，„„，2n－1中，

每个数都是数列的一项；

第n项用x

n

表示，n表示x

n

着项所在的序号，叫项数；

x

1

=1，x

,2

=3，x

3

=5„„，x

n

=2n－1，x

n

代表数列的任何一项，“x

n

=2n－1”

该是数列的通项公式。

数列通项公式“x

n

=2n－1”其实是一个函数关系式，这里正整数n是自变量，

x

n

是自变量n的函数。因此，数列是定义在正整数集上的函数。

设等比数列x1，x2，x3，„„，xn,„„公比为q，则

x2=x1q，x3=x1q2，x4=x1q3,„„，xn=x1qn-1

xn=x1qn-1为通项公式。

设等比数列前n项的和为Sn，则

Sn=x1＋x1q＋x1q2＋x1q3＋„„＋x1qn-1①

两边同乘公比q，则

qSn=x1q＋x1q2＋x1q3＋x1q4＋„„＋x1qn②

①－②得

Sn（1—q）=x1—x1qn

对于q≠1，有

Sn=

q

q

xn





1

)(1

1.

我们一般用

xn

代表一个数列，xn

为该数列的第n项。

练习

求数列1,3,9,27，„„第8项和前100项的和。

解答：x8

=1³38－1=37.

S100=

31

)(131100





=

2

13100

4.一元一次不等式解法

练习

解不等式：2+

7

2x

＞x

答：x＜2。

5.不大于正数a的最大整数

如34.5，不大于34.5的最大整数为34。不大于正数a的最大整数用[a]表示。

显然在34.5中，当n＞【34.5】时，n最低取34.