弧线球

考虑空气阻力的足球弧线球运动轨迹

郝成红;黄耀清;刘聚坤

【摘要】当球体在空气中旋转运动时,马格努斯效应对球的运动轨迹有很大影响.从

动力学方程出发,考虑空气对质心运动的阻力作用,研究了足球弧线运动的动力学方

程,得到了方程的解析解,即弧线球的运动学方程.

【期刊名称】《大学物理》

【年(卷),期】2018(037)006

【总页数】3页(P19-21)

【关键词】弧线球;马格努斯效应;轨迹

【作者】郝成红;黄耀清;刘聚坤

【作者单位】上海应用技术大学理学院,上海201418;上海应用技术大学理学院,上

海201418;上海应用技术大学理学院,上海201418

【正文语种】中文

【中图分类】O313.1

当一个圆柱体绕自身轴线旋转并且有流体在垂直于该轴线方向流过时，它会受到一

个垂直于流动方向的横向力.力的方向总是从来流方向与圆柱面上线速度相反的那

一边指向相同的那一边，这种现象称为马格努斯效应[1].

当球体在空中运动时，一般情况下是两种运动叠加的结果：一种是球体质心的平运

动，另一种是绕过质心轴的转动.球体绕自身轴线旋转的结果直接影响到球体的运

动轨迹.足球比赛中的“香蕉球”和乒乓球技术中的弧圈球和削球等都有马格努斯

效应的明显作用.很多文献讨论了“香蕉球”现象[2-9]，但是大多局限于定性的讨

论，而缺少定量的研究.同时空气阻力也会影响球的运动轨迹.文献[10]研究了空竹

在空气中以某一出射角和初速度旋转抛出，并考虑空气对抛体运动的阻力作用，给

出了运动方程的严格解析解.本文则以足球为例，利用阻力与速度成正比关系，通

过求解微分方程，得到考虑空气阻力情况下足球在空气中的运动方程，并研究了足

球的运动轨迹.

1弧线球运动的轨迹

设足球质量为m，旋转角速度ω为常量.球体旋转时，由于马格努斯效应，除了受

到重力FG和空气阻力Ff作用之外，还要受到一个横向力F的作用[11,12]，如图

1所示.

图1球体受力图F=μ(ω×v)

(1)

其中μ是与流体(空气)性质及物体的几何形状、大小有关的常量，v是球体质心速

度.设ω的方向沿图1中的z轴正向，F的大小为F=μωv，vxy是质心速度在Oxy

平面上的分量，与ω相互垂直.

v=vxy+vz

(2)

F的方向垂直于ω和vxy所确定的平面，并满足矢量积的右手关系.在图1所示的

三维直角坐标系中，Oxy面即为球场平面(水平)，z轴垂直地面向上.设球体质心的

初速度v0与Oxy面之间的夹角为α，v0在Oxy面上的投影(大小为v0cosα)与x

轴的夹角为β.考虑空气对球体质心平动的阻力作用，设阻力Ff的方向与球体质心

速度v的方向相反，Ff的大小与v成正比，比例系数为k[13]，则

Ff=-kv

(3)

本文采用上式阻力公式，是因为文献[10]为不考虑空气阻力最简化的情况,而当球

体运动速度较快时，阻力最为精确.但运用此式会使得非线性动力学方程不能得到

解析解.这两种解算对我们不适合，故我们采用了Ff=-kv.此模型可以得到严格解析

解.此时，球体的动力学方程为：

(4)

(5)

(6)

这是一个交叉耦合的微分方程组.首先我们由式(4)给出

(7)

然后代入式(5)得到

(8)

其特征根方程为

(9)

特征根为

(10)

根据微分方程理论[14]，具有这种特征根的线性齐次常微分方程的通解为

vx=e-kt/m(C1cosμωt/m+C2sinμωt/m)

(11)

根据t=0时刻，vx=v0cosαcosβ.结合式(11)，可以计算得到C1：

C1=v0cosαcosβ

(12)

将式(11)代入式(7)，可以得到vy随时间的变化关系.根据t=0时刻，vy=v0cos

αsinβ，可以得到C2：

C2=-v0cosαsinβ

(13)

则得到速度的x分量：

vx=v0cosαe-kt/mcos(μωt/m+β)

(14)

将式(14)代入式(7)得到速度的y分量：

vy=v0cosαe-kt/msin(μωt/m+β)

(15)

再由式(6)得到速度的z分量：

vz=mg(e-kt/m-1)/k+v0sinαe-kt/m

(16)

令其中的ω1=k/m，ω0=μω/m，并由式(14)—式(16)对时间再积分得到运动学

方程：

e-ω1t[ω0sin(ω0t+β)-ω1cos(ω0t+β)]}

(17)

e-ω1t[ω0cos(ω0t+β)+ω1sin(ω0t+β)]}

(18)

(19)

2结果讨论

设m=0.42kg，h=2.44m，μ=0.01，v0=25m/s，α=π/10，k=0.02.图2的虚

线和点线表示3种情况足球的轨迹：点线是考虑空气阻力而不考虑马格努斯力；

虚线是考虑马格努斯力而不考虑空气阻力；实线是考虑马格努斯力同时也不考虑空

气阻力.图2是在ω=5πrad/s情况下足球的轨迹.图3和图4显示ω=20πrad/s，

图3是α不相同时足球的轨迹，图4是β不相同时足球轨迹.

图2足球的3种轨迹

图3α不相同时的轨迹

图4β不相同时的轨迹

3结论

本文考虑了空气的阻力作用，在三维直角坐标系下研究足球在空中的运动轨迹，得

到了数学上的严格解析解，即给出了三维坐标与时间变量的函数关系.

我们研究了考虑空气阻力和不考虑空气阻力时，足球在空中的运动轨迹.发现空气

阻力对足球轨迹影响很大.同时还研究了α和β不相同时，足球在空中的运动轨迹.

参考文献:

【相关文献】

[1]赵凯华,罗蔚茵.新概念物理教程·力学[M].北京：高等教育出版社，1995:243.

[2]叶新新.定位球空中运行过程中所受空气阻力的理论分析[J].沈阳体育学院学报,2005,24(1):62.

[3]葛隆祺.弧线球运动规律的探讨[J].大学物理,1991(7):26-28.

[4]王伟,刘欣.浅谈“香蕉球”的力学原理[J].体育文献科技通报,2008,16(3):43.

[5]赵金宝.球类运动中的流体力学问题[J].力学与实践,1988,10(6):33.

[6]周雨清,叶兆宁,吴宗汉.球类运动中空气阻力的计算和分析[J].物理与工程,2002,12(1):55.

[7]刘大为.球体飞行轨迹异常的探讨[J].大学物理,1987,6(1)1:43-45.

[8]葛隆祺,叶卫军.足球旋转球的运动规律[J].物理通报,1999,2:7-8.

[9]吴军伟,张社平,欧阳林,等.足球直接任意球运行轨迹的理论研究[J].天津体育学院学

报,2005,20(1):90-92.

[10]郝成红,黄耀清,王欢,等.考虑空气阻力时空竹的斜抛运动[J].大学物理,2016,35(3):15.

[11]潘慧炬.马格努斯效应的力学模型[J].浙江体育科学,1995,3:16-19.

[12]于凤军.马格努斯效应与空竹的下落运动[J].大学物理,2012,31(9):19-21.

[13]郝成红.考虑空气阻力的抛体射程[J].大学物理,2008,27(12):21-22.

[14]叶其孝,沈永欢.实用数学手册[M].2版.北京:科学出版社,2006:316.