三个点的符号

初中数学“图形与几何”内容

八年级上册

第十一章三角形

1、三角形中的主要线段

（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点

间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三

角形的高线（简称三角形的高）。

2、三角形的三边关系定理及推论

（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形

②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

3、三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大

角。

4、多边形知识要点梳理

1、n边形的内角和等于（n-2）×180°。

多边形的定理2、任意凸形多边形的外角和等于360°。

3、n边形的对角线条数等于2

)3(nn

（1）正多边形

各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正

方形、正五边形等。

正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形

要点诠释：

各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可.如四条

边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方

形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形。

（2）多边形的对角线

多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线

段，叫做多边形的对角线.如图2，BD为四边形ABCD的一

条对角线。

要点诠释：

①从n边形一个顶点可以引（n－3）条对角线，将多边形分成（n－2）

个三角形。

②n边形共有2

)3(nn

条对角线。

证明：过一个顶点有n－3条对角线(n≥3的正整数)，又∵共有n个顶点，

∴共有n(n-3)条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸n

边形，共有2

)3(nn

条对角线。

（3）多边形的内角和公式

①公式：边形的内角和为

..

（4）多边形的外角和：多边形的外角和等于360°

第十二章全等三角形

一、全等三角形

1、全等三角形的概念

（1）能够完全重合的两个图形叫做全等形。

（2）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（3）两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫

做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，

夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。

2、全等三角形的表示和性质

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三

角形ABC全等于三角形DEF”。

注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形的性质

（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。

（2）全等三角形的周长相等、面积相等。

（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。

F

E

D

A

B

C

4、全等三角形的判定方法：

（1）边边边：三边对应相等的两个三角形全等。（SSS）

（2）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS）

（3）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA）

（4）角角边：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）

几何语言：如图所示在△ABC和△DEF中，

AB=DE，

∵BC=EF，

AC=DF

∴△ABC≌△DEF（SSS）

几何语言：如图所示在△ABC和△DEF中，

∠A=∠D，

∵AB=DE，

∠B=∠E

∴△ABC≌△DEF（ASA）

几何语言：如图所示在△ABC和△DEF中，

AB=DE，

∵∠A=∠D，

AC=DF

∴△ABC≌△DEF（SAS）

几何语言：如图所示

∵△ABC≌△DEF

∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，

AB=DE，BC=EF，AC=DF

（5）斜边、直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（HL）

E

F

D

A

BC

5、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

6、角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相

等的点在角的平分线上。

7、三角形三个角的平分线相交于一点，这个点到三

角形三条边的距离相等

8、全等变换包括以下三种：

（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫

做旋转变换。

第十三章轴对称

一、轴对称图形

1、把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那

么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这

个图形关于这条直线（成轴）对称。

2、把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那

么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点

是对应点,叫做对称点

3、轴对称的性质

①关于某直线对称的两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线

几何语言：如图所示在△ABC和△DEF中，

∠A=∠D，

∵∠B=∠E

BC=EF

∴△ABC≌△DEF（AAS）

几何语言：如图所示在Rt△ABC和Rt△DEF中，

∵AB=DE，

BC=EF或AC=DF

∴Rt△ABC≌Rt△DEF

E

F

P

A

B

C

D

（性质）几何语言：如图所示

∵PF平分∠APB（或∠APF=∠BPF），EC

⊥PA于C，ED⊥PB于D

∴EC=ED

（判定）几何语言：如图所示

∵EC⊥PA于C，ED⊥PB于D，EC=ED

∴点E在∠APB的平分线上

段的垂直平分线。

③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于

这条直线对称。

二、线段的垂直平分线

1、概念：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直

平分线，也叫中垂线。

2、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的

距离相等。

3、线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点

距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

4、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个

点到三角形三个顶点的距离相等。

三、用坐标表示轴对称：

在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数。

关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.

1、点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)；

2、点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)。

四、等腰三角形

1、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

（简称：三线合一）

2、等腰三角形的判定定理：

（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对

（判定）几何语言：如图所示

∵CA=CB

∴点C在线段AB的垂直平分线MN上

N

M

A

B

C

D

（性质）几何语言：如图所示

∵MN是线段AB的垂直平分线（或MN

⊥AB于D，AD＝BD）

∴CA=CB

C

B

A

2

1

D

C

B

A几何语言：如图所示，在△ABC中

①∵AB＝AC，BD＝DC∴∠1＝∠2，AD⊥BC

②∵AB＝AC，∠1＝∠2∴AD⊥BC，BD＝DC

③∵AB＝AC，AD⊥BC∴∠1＝∠2，BD＝DC

几何语言：如图所示在△ABC，

∵AB＝AC

∴∠B＝∠C（等边对等角）

C

B

A

C

B

A

的边也相等。（等角对等边）

（2）两边相等的三角形是等腰三角形。

五、等边三角形

1、等边三角形的性质定理

（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

（2）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。

（3）等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都

三线合一，它们交于一点。

2、等边三角形的判定定理：

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

（3）三边相等的三角形是等边三角形。

3、直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它

所对的直角边等于斜边的一半。

C

B

A

几何语言：如图所示，

∵△ABC是等边三角形

∴∠A=∠B=∠C=60°

几何语言：如图所示，在△ABC中，

（1）∵∠A=∠B=∠C

∴△ABC是等边三角形

（2）∵∠A=∠B，∠A=60°

∴△ABC是等边三角形

（3）∵AB＝AC=BC

∴△ABC是等边三角形

B

A

C

几何语言：如图所示在△ABC，

∵∠B＝∠C

∴AB＝AC（等角对等边）

几何语言：如图所示在△ABC，

∵AB＝AC

∴△ABC是等腰三角形

几何语言：如图所示，

∵∵∠C＝90°，∠B＝30°，

∴AC＝

2

1

AB（或者AB＝2AC）