圆锥曲线方程

1/3

（一）92.椭圆22

22

1(0)

xy

ab

ab

的参数方程是

cos

sin

xa

yb















.

93.椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

焦半径公式

)(

2

1c

a

xePF，)(

2

2

x

c

a

ePF.

94．椭圆的的内外部

（1）点

00

(,)Pxy在椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的内部

22

00

22

1

xy

ab

.

（2）点

00

(,)Pxy在椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的外部

22

00

22

1

xy

ab

.

95.椭圆的切线方程

(1)椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

上一点

00

(,)Pxy处的切线方程是00

22

1

xxyy

ab

.

（2）过椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

外一点

00

(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是

00

22

1

xxyy

ab

.

（3）椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

与直线0AxByC相切的条件是22222AaBbc.

96.双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

的焦半径公式

2

1

|()|

a

PFex

c

，

2

2

|()|

a

PFex

c

.

97.双曲线的内外部

(1)点

00

(,)Pxy在双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

的内部

22

00

22

1

xy

ab

.

(2)点

00

(,)Pxy在双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

的外部

22

00

22

1

xy

ab

.

98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为1

2

2

2

2



b

y

a

x

渐近线方程：

22

22

0

xy

ab



x

a

b

y.

(2)若渐近线方程为x

a

b

y

0

b

y

a

x

双曲线可设为

2

2

2

2

b

y

a

x

.

(3)若双曲线与1

2

2

2

2



b

y

a

x

有公共渐近线，可设为

2

2

2

2

b

y

a

x

（0，焦点在x轴上，0，焦点在

y轴上）.

99.双曲线的切线方程

(1)双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

上一点

00

(,)Pxy

处的切线方程是00

22

1

xxyy

ab

.

（2）过双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

外一点

00

(,)Pxy

所引两条切线的切点弦方程是

2/3

00

22

1

xxyy

ab

.

（3）双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

与直线0AxByC相切的条件是22222AaBbc.

100.抛物线pxy22的焦半径公式

抛物线22(0)ypxp焦半径

02

p

CFx.

过焦点弦长pxx

p

x

p

xCD

212122

.

101.抛物线pxy22上的动点可设为P),

2

(

2



y

p

y

或或)2,2(2ptptPP(,)xy，其中22ypx

.

102.二次函数

2

22

4

()

24

bacb

yaxbxcax

aa





(0)a的图象是抛物线：（1）顶点坐标为

24

(,)

24

bacb

aa



；（2）焦点的坐标为

241

(,)

24

bacb

aa



；（3）准线方程是

241

4

acb

y

a



.

103.抛物线的内外部

(1)点

00

(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp的内部22(0)ypxp.

点

00

(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp的外部22(0)ypxp.

(2)点

00

(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp的内部22(0)ypxp.

点

00

(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp的外部22(0)ypxp.

(3)点

00

(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp的内部22(0)xpyp.

点

00

(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp的外部22(0)xpyp.

(4)点

00

(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp的内部22(0)xpyp.

点

00

(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp的外部22(0)xpyp.

104.抛物线的切线方程

(1)抛物线pxy22上一点

00

(,)Pxy处的切线方程是

00

()yypxx.

（2）过抛物线pxy22外一点

00

(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是

00

()yypxx.

（3）抛物线22(0)ypxp与直线0AxByC相切的条件是22pBAC.

105.两个常见的曲线系方程

(1)过曲线

1

(,)0fxy,

2

(,)0fxy的交点的曲线系方程是

12

(,)(,)0fxyfxy(为参数).

(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程

22

22

1

xy

akbk





,其中22max{,}kab.当22min{,}kab时,表示

椭圆;当2222min{,}max{,}abkab时,表示双曲线.

106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式22

1212

()()ABxxyy或

2222

211212

(1)()||1tan||1tABkxxxxyyco（弦端点

A),(),,(

2211

yxByx，由方程











0)y,x(F

bkxy

消去y得到02cbxax，0,为直线AB的倾斜角，k

为直线的斜率）.

107.圆锥曲线的两类对称问题

3/3

（1）曲线(,)0Fxy关于点

00

(,)Pxy成中心对称的曲线是

00

(2-,2)0Fxxyy.

（2）曲线(,)0Fxy关于直线0AxByC成轴对称的曲线是

2222

2()2()

(,)0

AAxByCBAxByC

Fxy

ABAB







.

108.“四线”一方程

对于一般的二次曲线220AxBxyCyDxEyF，用

0

xx代2x，用

0

yy代2y，

用00

2

xyxy

代

xy

，用0

2

xx

代x，用0

2

yy

代y即得方程

0000

00

0

222

xyxyxxyy

AxxBCyyDEF



，曲线的切线，切点弦，中点弦，

弦中点方程均是此方程得到.