高中数列

..

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数列解题方法

一、基础知识：

数列：

1．数列、项的概念：按一定次序排列的一列数，叫做数列，其中的每一个数叫做数

列的项．

2．数列的项的性质：①有序性；②确定性；③可重复性．

3．数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，

因此数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，（…），简记作{an}．其中an是

该数列的第n项，列表法、图象法、符号法、列举法、解析法、公式法（通项

公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法．

4．数列的一般性质：①单调性；②周期性．

5．数列的分类：

①按项的数量分：有穷数列、无穷数列；

②按相邻项的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列、其他；

③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他；

④按项的变化范围分：有界数列、无界数列．

数列

数列的定义

数列的有关概念

数列的通项

数列与函数的关系

项

项数

通项

等差数列

等差数列的定义

等差数列的通项

等差数列的性质

等差数列的前n项

等比数列

等比数列的定义

等比数列的通项

等比数列的性质

等比数列的前n项

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6．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的函数关系可以用一个

公式a

n

=f（n）（n∈N+或其有限子集{1，2，3，…，n}）来表示，那么这个公式叫

做这个数列的通项公式．数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是

指数列中项的位置，是自变量的值．由通项公式可知数列的图象是散点图，点的横

坐标是项的序号值，纵坐标是各项的值．不是所有的数列都有通项公式，数列的

通项公式在形式上未必唯一．

7．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且任一项an与它的前一

项an-1（或前几项an-1，an-2，…）间关系可以用一个公式an=f（a

1n

）（n=2，3，…）

（或an=f（a

1n

,a

2n

）(n=3，4，5，…)，…）来表示，那么这个公式叫做这个数列

的递推公式．

8．数列的求和公式：设Sn表示数列{an}和前n项和，即Sn=

1

n

i

i

a



=a1+a2+…+an，如果Sn与

项数n之间的函数关系可以用一个公式Sn=f（n）（n=1，2，3，…）来表示，那么

这个公式叫做这个数列的求和公式．

9．通项公式与求和公式的关系：

通项公式an与求和公式Sn的关系可表示为：

1

1

(1)

(n2)n

nn

Sn

a

SS















等差数列与等比数列：

等差数列等比数列

文

字

定

义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与

它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列

就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项

与它的前一项的比是同一个常数，那么这个

数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的

公比。

符

号

定

义

1nn

aad



1(0)n

n

a

qq

a



分

类

递增数列：0d

递减数列：0d

常数数列：0d

递增数列：

11

01001aqaq，或，

递减数列：

11

01001aqaq，或，

摆动数列：0q

常数数列：1q

通

项

1

(1)()

nm

aandpnqanmd

其中

1

,pdqad

1

1

nnm

nm

aaqaq

..

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（

0q

）

前

n

项

和

2

1

1

()

(1)

22

n

n

naa

nnd

Snapnqn







其中

1

,

22

dd

pqa

1

1

(1)

(1)

1

(1)

n

n

aq

q

S

q

naq





















中

项

,,2abcbac成等差的充要条件:2,,abcbac成等比的必要不充分条件：

主

要

性

质

等和性：等差数列

n

a

若

mnpq

则

mnpq

aaaa

推论：若

2mnp

则

2

mnp

aaa

2

nknkn

aaa





12132nnn

aaaaaa





即：首尾颠倒相加，则和相等

等积性：等比数列

n

a

若mnpq则

mnpq

aaaa

推论：若

2mnp

则

2()

mnp

aaa

2()

nknkn

aaa





12132nnn

aaaaaa





即：首尾颠倒相乘，则积相等

其

它

1、等差数列中连续

m

项的和，组成的新数列

是等差数列。即：

232

,,,

mmmmm

sssss

等差，公差为

2md则有

32

3()

mmm

sss

2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列

是一个等差数列。

如：

14710

,,,,aaaa（下标成等差数列）

3、,

nn

ab等差，则

2n

a，

21n

a



，



n

kab，

nn

paqb也等差。

4、等差数列

n

a的通项公式是

n

的一次函

数，即：

n

adnc(0d)

等差数列

n

a的前

n

项和公式是一个没有常

数项的

n

的二次函数，

即：2

n

SAnBn(0d)

1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是

等比数列。即：

232

,,,

mmmmm

sssss等

比，公比为mq。

2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数

列是一个等比数列。

如：

14710

,,,,aaaa（下标成等差数列）

3、,

nn

ab等比，则

2n

a，

21n

a



，



n

ka

也等比。其中0k

4、等比数列的通项公式类似于

n

的指数函

数，

即：n

n

acq，其中1

a

c

q



等比数列的前

n

项和公式是一个平移加振

幅的

n

的指数函数，即：

(1)n

n

scqcq

5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数

..

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性

质

5、项数为奇数21n的等差数列有：

1

s

n

sn





奇

偶

n

ssaa

奇偶中

21

(21)

nn

sna





项数为偶数2n的等差数列有：

1

n

n

s

a

sa



奇

偶

，ssnd

偶奇

21

()

nnn

snaa





6、

,

nm

aman则0

mn

a





nm

ss则0()

mn

snm





,

nm

smsn则()

mn

smn





列是等比数列。

证

明

方

法

证明一个数列为等差数列的方法：

1、定义法：

1

()

nn

aad



常数

2、中项法：

11

2(2)

nnn

aaan





证明一个数列为等比数列的方法：

1、定义法：1()n

n

a

q

a

常数

2、中项法：

11

(2,0)

nnnn

aaana



2（）

设

元

技

巧

三数等差：,,adaad

四数等差：3,,,3adadadad

三数等比：2,,,,

a

aaqaaqaq

q

或

四数等比：23,,,aaqaqaq

联

系

1、若数列

n

a是等差数列，则数列n

aC是等比数列，公比为dC，其中C是常数，d是



n

a的公差。

2、若数列

n

a是等比数列，且0

n

a，则数列log

an

a是等差数列，公差为log

a

q，其中

a

是常数且0,1aa，q是

n

a的公比。

数列的项

n

a与前

n

项和

n

S的关系：1

1

(1)

(2)n

nn

sn

a

ssn















数列求和的常用方法：

1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。

2、错项相减法：适用于差比数列（如果

n

a等差，

n

b等比，那么

nn

ab叫做差比

数列）

..

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即把每一项都乘以

n

b的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，

转化为等比数列求和。

3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求

和。

适用于数列

1

1

nn

aa











和

1

1

nn

aa















（其中

n

a等差）

可裂项为：

11

1111

()

nnnn

aadaa







，

1

1

11

()

nn

nn

aa

d

aa







等差数列前

n

项和的最值问题：

1、若等差数列

n

a的首项

1

0a，公差0d，则前

n

项和

n

S有最大值。

（ⅰ）若已知通项

n

a，则

n

S最大

1

0

0

n

n

a

a













；

（ⅱ）若已知2

n

Spnqn，则当

n

取最靠近

2

q

p

的非零自然数时

n

S最大；

2、若等差数列

n

a的首项

1

0a，公差0d，则前

n

项和

n

S有最小值

（ⅰ）若已知通项

n

a，则

n

S最小

1

0

0

n

n

a

a













；

（ⅱ）若已知2

n

Spnqn，则当

n

取最靠近

2

q

p

的非零自然数时

n

S最小；

数列通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

⑵已知

n

S（即

12

()

n

aaafnL）求

n

a，用作差法：1

1

,(1)

,(2)n

nn

Sn

a

SSn









。

已知

12

()

n

aaafnggLg求

n

a，用作商法：

(1),(1)

()

,(2)

(1)

n

fn

fn

a

n

fn



















。

⑶已知条件中既有

n

S还有

n

a，有时先求

n

S，再求

n

a；有时也可直接求

n

a。

⑷若

1

()

nn

aafn



求

n

a用累加法：

11221

()()()

nnnnn

aaaaaaa



L

1

a(2)n。

..

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⑸已知1()n

n

a

fn

a

求

n

a，用累乘法：12

1

121

nn

n

nn

aaa

aa

aaa





L(2)n。

⑹已知递推关系求

n

a，用构造法（构造等差、等比数列）。

特别地，（1）形如

1nn

akab



、

1

n

nn

akab



（,kb为常数）的递推数列

都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求

n

a；形如

1

n

nn

akak





的递推数列都可以除以nk得到一个等差数列后，再求

n

a。

（2）形如1

1

n

n

n

a

a

kab









的递推数列都可以用倒数法求通项。

（3）形如

1

k

nn

aa



的递推数列都可以用对数法求通项。

（8）遇到

q

a

a

daa

n

n

nn









1

1

11

或

时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式

数列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。

（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并

在一起，再运用公式法求和。

（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相

关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前

n

和公

式的推导方法）.

（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘

构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前

n

和公式的推导方法）.

（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，

那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

①

111

(1)1nnnn





；②

1111

()

()nnkknnk





；

③

22

11111

()

1211kkkk





，

2

1111111

1(1)(1)1kkkkkkkkk





；

④

1111

[]

(1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn





；⑤

11

(1)!!(1)!

n

nnn





；

⑥

212

2(1)2(1)

11

nnnn

nnnnn





..

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二、解题方法：

求数列通项公式的常用方法：

1、公式法

2、

nn

aS求由

（时，，时，）naSnaSS

nnn





12

111

3、求差（商）法

如：满足……aaaan

n

n

n

1

2

1

2

1

2

251

1

2

2



解：naa1

1

2

21514

11

时，，∴

naaan

n

n







2

1

2

1

2

1

2

2152

1

2

2

1

1

时，……

12

1

2

2得：

n

n

a

∴a

n

n21

∴a

n

nn

n













141

221

()

()

［练习］

数列满足，，求aSSaaa

nnnnn



111

5

3

4

4、叠乘法

例如：数列中，，，求aa

a

a

n

n

a

n

n

n

n1

13

1







解：

a

a

a

a

a

a

n

n

a

an

n

n

n2

1

3

211

1

2

2

3

11

·……·……，∴









..

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又，∴aa

nn1

3

3



5、等差型递推公式

由，，求，用迭加法aafnaaa

nnn



110

()

naaf

aaf

aafn

nn























22

3

21

32

1

时，

…………

两边相加，得：

()

()

()

aafffn

n



1

23()()()……

∴……aafffn

n



0

23()()()

［练习］

数列，，，求aaaana

nn

n

nn1

1

1

132



6、等比型递推公式

acadcdccd

nn



1

010、为常数，，，

可转化为等比数列，设axcax

nn



1





acacx

nn1

1

令，∴()cxdx

d

c





1

1

∴是首项为，为公比的等比数列a

d

c

a

d

c

c

n



















111

∴·a

d

c

a

d

c

c

n

n



















111

1

∴aa

d

c

c

d

cn

n





















1

1

11

..

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［练习］

数列满足，，求aaaaa

nnnn11

934



7、倒数法

例如：，，求aa

a

a

a

n

n

n

n11

1

2

2





由已知得：

1

2

2

1

2

1

1

a

a

aa

n

n

nn







∴

111

2

1

aa

nn



















11

1

1

2

1

aa

n

为等差数列，，公差为



1

11

1

2

1

2

1

a

nn

n

·

∴a

nn





2

1

数列前n项和的常用方法：

1、公式法：等差、等比前n项和公式

2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

如：是公差为的等差数列，求ad

aan

kk

k

n1

1

1







解：

由

·

11111

0

1

1

aa

aaddaa

d

kk

kkkk

























∴

1111

1

1

1

1

aadaa

kk

k

n

kk

k

n























..

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







































































1111111

111

12231

11

daaaaaa

daa

nn

n

……

［练习］

求和：……

……

1

1

12

1

123

1

123











n

3、错位相减法：

若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项ababn

nnnn

和，可由求，其中为的公比。SqSSqb

nnnn



如：……Sxxxnx

n

n12341231

xSxxxxnxnx

n

nn·……234122341

121121：……xSxxxnx

n

nn





xS

x

x

nx

xn

n

n











1

1

1

12

时，



xSn

nn

n





1123

1

2

时，……

4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

Saaaa

Saaaa

nnn

nnn



















121

121

……

……

相加

2

1211

Saaaaaa

nnnn





…………

［练习］

已知，则fx

x

x

fffffff()()()()()















































2

21

12

1

2

3

1

3

4

1

4

..

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