决胜中考

《中考压轴题全揭秘》三年经典中考压轴题

专题三6存台性问题

一、选择题

二、填空题

三、解答题

2

1.(2017山东省淄博巾，第24题，9分)如图1,经过原点。的抛物线yaxbx(aw0)与x轴交于另一点A(3,0),

在第一象限内与直线y=x交于点B(2,t).

2

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)在第四象限内的抛物线上有一点C,满足以B,O,C为顶点的三角形的面积为2,求点C的坐标；

(3)如图2,若点M在这条抛物线上，且/MBO=/ABO,在(2)的条件下，是否存在点P,使得△POCMOB?若存在，求出

点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2.(2017山东省潍坊市，第25题，13分)如图1,抛物线yax2bxc经过平行四边形ABCD的顶点

A(0,3)、B(-1,0)、D(2,3),抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积

相等两部分，与抛物线交于另一点F.点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；

(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.

2

3.(2017山东省烟台币，第25题，13分)如图1,抛物线yaxbx2与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4,

矩形OBDC的边CD=1,延长DC交抛物线于点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作PHXEO,垂足为H.

设PH的长为1,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系式(不必写出m的取值范围)，并求出1的最大值；

(3)如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M,使得以M,A,C,N为顶点的四边形

是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使点M在线段PG的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若

不存在，请说明理由.

如图，抛物线y曲x2空x3出与X轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,93

连接AC、BC.点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个

单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ,过点Q

回1图2

作QD^x轴，与抛物线交于点D,与BC交于点E.连接PD,与BC交于点F.设点P的运动时间为t秒(t0).

(1)求直线BC的函数表达式.

(2)①直接写出P、D两点的坐标(用含t的代数式表示，结果需化简).

②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值.

(3)试探究在点P、Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点.若存在，请直接写出此时t的值与

点F的坐标；若不存在，请说明理由.

6.(2017广东省，第25题，9分)如图，在平面直角坐标系中，。为原点，四边形ABCO是矩形，点A,C的坐标分别

是A(0,2)和C(2向，0),点D是对角线AC上一动点(不与A,C重合)，连结BD,作DE±DB,交x轴于点E,以线

段DE,DB为邻边作矩形BDEF.

(1)填空：点B的坐标为;

(2)是否存在这样的点D,使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理

由；

(3)①求证：DE=Y3；

DB3

②设AD=x,矩形BDEF的面积为v,求y关于x的函数关系式(可利用①的结论)，并求出y的最小值.

1........

7.(2017江苏省盐城市，第27题，14分)如图，在平面直角坐标系中，直线y=—xi2与x轴交于点A,2

1O....

与y轴父于点C,抛物线y=—xIbxic经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B.

2

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点；

①连接BC、CD,设直线BD交线段AC于点E,△CDE的面积为S1,△BCE的面积为S2,求包的最大值；S2

②过点D作DFLAC,垂足为点F,连接CD,是否存在点D,使得△CDF中的某个角恰好等于/BAC的2

倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由.

2

8.(2016四川省内江市)已知抛物线C:yx3xm,直线l：y=kx(k>0),当k=1时，抛物线C与直线l只有一个公

共点.

(1)求m的值；

(2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A,B,直线l与直线l1：y=-3x+b交于点P,且工——,

OAOBOP

求b的值；

(3)在(2)的条件下，设直线l1与y轴交于点Q,问：是否在实数k使S^APQ=SABPQ?若存在，求k的值,

若不存在，说明理由.

9.(2016四川省攀枝花市)如图，抛物线yx2bxC与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,

-3)

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形

ABPC的最大面积.

(3)直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q,是否存在直线m,使得

直线1、m与x轴围成的三角形和直线1、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请

说明理由.

10.(2016四川省泸州市)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线1与抛物线

ymx2nx相交于A(1,373),B(4,0)两点.

(1)求出抛物线的解析式；

(2)在坐标轴上是否存在点D,使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，

求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

(3)点P是线段AB上一动点，(点P不与点A、B重合)，过点P作PM//OA,交第一象

限内的抛物线于点M,过点M作MC，x轴于点C,交AB于点N,若△BCN、△PMN的面积SABCN、SAPMN满足SABCN=

2SAPMN,求出MN的值，并求出此时点M的坐标.

NC

2

11.(2016四川省甘孜州)如图，顶点为M的抛物线ya(x1)4分别与x轴相交于点A,B(点A在

点B的右侧)，与y轴相交于点C(0,-3).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由.

(3)抛物线上是否存在点N(点N与点M不重合)，使得以点A,B,C,N为顶点的四边形的面积与四边

形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

12.(2016四川省眉山市)已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，

且OA=1,OB=3,OC=4.

(1)求经过A、B、.C三点的抛物线的解析式；

(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P,使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，

请求出点P的坐标；•若不存在，请说明理由；

(3)若点M为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出当|PM-AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM-

AM|的最大值.

13.(2016山东省临沂市)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+10与x轴，y轴相交于A,B两点，

点C的坐标是(8,4),连接AC,BC.

(1)求过O,A,C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

(2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿

BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设

运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA?

(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M,使以A,B,M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出

点M的坐标；若不存在，请说明理由.

32

14.(2016山东省日照巾)如图1,抛物线y—[(x2)n]与x轴交于点A(m-2,0)和B(2m+3,0)(点A在点B的左

侧)，与y轴交于点C,连结BC.

(1)求m、n的值；

(2)如图2,点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN.求^NBC面积的最大值;

(3)如图3,点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC,是否存在这样的点P,使△PCM

为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

y廉y小Mt

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15.(2016山东省潍坊市)如图，已知抛物线y-xbxC经过△ABC的三个顶点，其中点A(0,1),3

点B(-9,10),AC//x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形AECP的面积最大时，求点

P的坐标；

(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q,使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC

相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

16.(2016山东省青岛市)已知：如图，在矩形ABCD中，Ab=6cm,BC=8cm,对角线AC,BD交于点0.点

P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为

1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接PO并延长，交BC于点E,过点Q作QF//AC,

交BD于点F.设运动时间为t(s)(0vtv6),解答下列问题：

(1)当t为何值时，△AOP是等腰三角形？

(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2),试确定S与t的函数关系式；

(3)在运动过程中，是否存在某一■时刻t,使S五边形S五边形OECQF:SAACD=9:16?若存在，求出t的值；

若不存在，请说明理由；

(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使OD平分/COP?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理

由.

2

17.(2016广东省梅州市)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yXbxC过A,B,C二点，点A

的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,-3),动点P在抛物线上.

备用图

(1)b=,c=，点B的坐标为;(直接填写结果)

(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐

标；若不存在，说明理由；

(3)过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短

时，求出点P的坐标.2

18.(2016广东省深圳市)如图，抛物线yax2x3与X轴交于A、B两点，且B(1,0)

(1)求抛物线的解析式和点A的坐标；

(2)如图1,点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分/APB时，求点P的坐标；

24.....................................................

(3)如图2,已知直线y-x一分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的39

一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D,点E在线段CD的延长线上，连接QE.问：以

QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

称轴是x=2.

(1)求抛物线的解析式;

(1)直接写出D点和E点的坐标;

SAHGF：S>ABGF=5：6?

19.(2015龙东，第23题，6分)如图,

抛物线y

x2bxc交x轴于点A(1,0),

交y轴于点B,对

(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点,

是否存在点P,使4PAB的周长最小？若存在,

求出点P的坐标;

20.(2015北海，第26题,12分)如图1所示，已知抛物线y

2

x4x5的顶点为

D,与x轴交于A、

B两点，与y轴交于C点,E为对称轴上的一点，连接

CE,将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90。后,

点C的对应点C’恰好落在y轴上.

(2)点F为直线C'E与已知抛物线的一个交点，点H是抛物线上C与F之间的一个动点，若过点H作

直线HG与y轴平行，且与直线C'E交于点G,设点

H的横坐标为m(0vmv4),那么当m为何值时,

若不存在，请说明理由.

(3)图2所示的抛物线是由yx24x5向右平移1个单位后得到的，点T(5,y)在抛物线上，点P

是抛物线上。与T之间的任意一点，在线段OT上是否存在一点Q,使4PQT是等腰直角三角形？若存在，求出点Q的

坐标；若不存在，请说明理由.

21.(2015崇左，第26题，12分)如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是(5,4),。M与y轴相切

于点C,与x轴相交于A、B两点.

(1)则点A、B、C的坐标分别是A(__,__),B(__,__),C(__,__);

12....._

(2)设经过A、B两点的抛物线解析式为y—(x5)k,它的顶点为F,求证：直线FA与。M相切;

4

(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P,且点P在x轴的上方，使^PBC是等腰三角形.如果存在，请

求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

22.(2015河池，第26题，12分)如图1,抛物线y2

x2x3与x轴交于A,B,与y轴交于C,抛

物线的顶点为D,直线l过C交x轴于E(4,0).

(1)写出D的坐标和直线l的解析式;

PF^x轴于F,设四边形OFPC的面积为S,求S

与x之间的函数关系式，并求S的最大值;

沿CN翻转，M的对应点为M'.在图2中探究：是否存在点Q,使得M’恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若

不存在，请说明理由.

2P(x,y)是线段BD上的动点(不与B,D重合)

(3)点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线,交直线l于M,交抛物线于N,连接CN,将^CMN

23.(2015百色，第26题，12分)抛物线yx2bxC经过A(0,2),B(3,2)两点，若两动点D、

E同时从原点。分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度.

(1)求抛物线与x轴的交点坐标；

(2)若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D,使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若

存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由;

(3)问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上?

点A作x轴的垂线1,点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与4OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合.

(1)写出点A的坐标；

(2)当点P在直线1上运动时，是否存在点P使得^OaB与4APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请

说明理由.

11

(3)若点M在直线1上，且/POM=90,记△OAP外接圆和^OAM外接圆的面积分别是§、S2,求一——

S1S2

的值.

24.(2015常州，第27题，10分)如图，一次函数x4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,过

ABCD中，AD=acm,AB=bcm(a>b>4),半径为2cm的

OO在矩形内且与AB、AD均相切，现有动点P从A点出发，在矩

形边上沿着A-B-C-D的方向匀速移

动，当点P到达D点时停止移动.OO在矩形内部沿AD向右匀速

平移，移动到与CD相切时立即沿原路

按原速返回，当。O回到出发时的位置(即再次与AB相切)时停

止移动，已知点P与。。同时开始移动,

同时停止移动(即同时到达各自的终止位置)

(1)如图①，点

P从A-B-C-D,

全程共移动了

(2)如图①，已知点P从A点出发，移动2s到达B点，继续移动3s,到达BC的中点，若点P与。。的

移动速度相等，求在这5s时间内圆心O移动的距离;

(3)如图②，已知a=20,b=10,是否存在如下情形：当。O到达。Oi的位置时(此时圆心Oi在矩形对角

线BD上)，DP与OOi恰好相切？请说明理由.

图①

26.(2015毕节，第27题，16分)如图，抛物线yx2bxC与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,

若直线AM'与此抛物线的另一个交点为C,求△CAB的面积;

是否存在过A,B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q,使得四边形APBQ为正方形？若

存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.

cm(用含a、b的代数式表示)；

图②

顶点

M关于x轴的对称点是M'.

(1)

求抛物线的解析式;

(2)

(3)

23c

27.(2015昆明，第23题，9分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax—xc(a0)与x轴

2

3

交于A、B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C,点A的坐标为(4,0),抛物线的对称轴是直线x—.

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG，x轴于点G,交AC于点H,当线段CM=CH

时，求点M的坐标;

(3)在(2)的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角e(00

MG与抛物线交于点N,在线段GA上是否存在点P,使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如

(1)求A、B、C三点的坐标.

(2)连接MO、MC,并把△MOC沿CO翻折，得到四边形MOM'C,那么是否存在点M,使四边形MO

M'C为菱形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由.

28.(2015鄂尔多斯，第24题,12分)如图，抛物线y

3……

，

-x2与x轴交于A、B两点(点A在

点B的左侧)，与y轴交于点C

M是直线BC下方的抛物线上一动点.

果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

(3)当点M运动到什么位置时，四边形ABMC的面积最大，并求出此时M点的坐标和四边形ABMC的最大面积.

29.(2015陕西省，第25题，12分)如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD//BC,CD，BC,/ABC=60°,AD=8,

BC=12.

(1)如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则^BMC的面积为;

(2)如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出^BNC周长的最小值；

(3)如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P,使得cos/BPC的值最小？若存在，求出此

时cos/BPC的值；若不存在，请说明理由.

4.(2017山东省青岛市，第24题，12分)已知：Rt^EFP和矩形ABCD如图①摆放(点P与点B重合)，点F,B(P),

C在同一直线上，AB=EF=6cm,BC=FP=8cm,/EFP=90°,如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运

动，速度为1cm/s,EP与AB交于点G;同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s.过点Q作

QMLBD,垂足为H,交AD于点M,连接AF,FQ,当点Q停止运动时，△EFQ也停止运动.设运动时间为t(s)(0vt<6),

解答下列问题：

(1)当t为何值时，PQ//BD?

(2)设五边形AFPQM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式；

(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使耳边形AFPQM:S矩形ABCD»8?若存在，求出t的值；若不存

在，请说明理由.

图①

图②

图③