高中数学椭圆知识点

高考圈-助你轻松跨过高考

-1-

高二数学下学期椭圆知识点

1、椭圆的第一定义：平面内一个动点

P

到两个定点

1

F、

2

F的距离之和等于常数

)2(

2121

FFaPFPF

,这个动点

P

的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭

圆的焦距.

注意：若)(

2121

FFPFPF，则动点P的轨迹为线段

21

FF；若)(

2121

FFPFPF，则动点P的轨

迹无图形.

2、椭圆的标准方程

1）．当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：1

2

2

2

2



b

y

a

x

)0(ba，其中222bac；

2）．当焦点在

y

轴上时，椭圆的标准方程：1

2

2

2

2



b

x

a

y

)0(ba，其中222bac；

3、椭圆：1

2

2

2

2



b

y

a

x

)0(ba的简单几何性质

（1）对称性：对于椭圆标准方程1

2

2

2

2



b

y

a

x

)0(ba：是以x轴、

y

轴

为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对

称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线

ax

和by所围成的矩形内，

所以椭圆上点的坐标满足

ax

，

by

。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆

1

2

2

2

2



b

y

a

x

)0(ba与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(

1

aA，)0,(

2

aA，

),0(

1

bB，),0(

2

bB。③线段

21

AA，

21

BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，aAA2

21

,bBB2

21

。

a和

b

分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作

a

c

a

c

e

2

2

。②因为

)0(ca，所以e的取值范围是)10(e。e越接近1，则c就越接近a，从而22cab越小，

因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而

b

越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且

仅当

ba

时，

0c

，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为ayx22。

注意：椭圆1

2

2

2

2



b

y

a

x

的图像中线段的几何特征（如下图）：

)2(

21

aPFPF

e

PM

PF

PM

PF



2

2

1

1

；

)

2

(

2

21c

a

PMPM；

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2

4、椭圆的令一个定义：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。即上图中有

e

PM

PF

PM

PF



2

2

1

1

5：椭圆1

2

2

2

2



b

y

a

x

与1

2

2

2

2



b

x

a

y

)0(ba的区别和联系

一．

标准

方程

（焦点在x轴）

)0(1

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

（焦点在y轴）

)0(1

2

2

2

2

ba

b

x

a

y

定义

第一定义：平面内与两个定点

1

F，

2

F的距离的和等于定长（定长大于两定点

间的距离）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫焦点，两定点间距离焦距。

aMFMFM2

21



21

2FFa

第二定义：平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是

小于1的正常数时，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭

圆的准线。

范围xayb

xbya

顶点坐标)0,(a

(0,)b

),0(a

(,0)b

对称轴x轴，y轴；长轴长为a2，短轴长为b2

对称中心

原点(0,0)O

M

1

F

2

Fx

y

M

M

1

F

2

F

x

y

M

M

1

F

2

Fx

y

O

M

1

F

2

F

x

y

O

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3

焦点坐标

1

(,0)Fc

2

(,0)Fc

1

(0,)Fc

2

(0,)Fc

焦点在长轴上，

22cab；焦距：

12

2FFc

离心率a

c

e(01e),

a

ba

a

c

e

22

2

2

2



，

e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆。

准线方程

c

a

x

2



c

a

y

2



准线垂直于长轴，且在椭圆外；两准线间的距离：

c

a22

顶点到准

线的距离

顶点

1

A（

2

A）到准线

1

l（

2

l）的距离为a

c

a



2

顶点

1

A（

2

A）到准线

2

l（

1

l）的距离为a

c

a



2

焦点到准

线的距离

焦点

1

F（

2

F）到准线

1

l（

2

l）的距离为c

c

a



2

焦点

1

F（

2

F）到准线

2

l（

1

l）的距离为c

c

a



2

椭圆上到

焦点的最

大（小）距

离

最大距离为：ac

最小距离为：ac

相关应用题：远日距离ac

近日距离ac

直线和椭

圆的位置

椭圆1

2

2

2

2



b

y

a

x

与直线ykxb的位置关系：

利用

22

22

1

xy

ab

ykxb















转化为一元二次方程用判别式确定。

相交弦AB的弦长

22

1212

1()4ABkxxxx

通径：

21

AByy

过椭圆上

一点的切

线

1

2

0

2

0

b

yy

a

xx

利用导数

00

22

1

yyxx

ab

利用导数

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4

焦半径

01

exaPF，

02

exaPF01

eyaPF，

02

eyaPF

椭圆

1.点P处的切线PT平分△PF

1

F

2

在点P处的外角.

平分△PF

1

F

2

在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除

去长轴的两个端点.

3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.以焦点半径PF

1

为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5.若

000

(,)Pxy在椭圆

22

22

1

xy

ab

上，则过

0

P的椭圆的切线方程是00

22

1

xxyy

ab

.

6.若

000

(,)Pxy在椭圆

22

22

1

xy

ab

外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P

1

、P

2

，则切点弦P

1

P

2

的直

线方程是00

22

1

xxyy

ab

.

7.椭圆

22

22

1

xy

ab

(a＞b＞0)的左右焦点分别为F

1

，F

2

，点P为椭圆上任意一点

12

FPF，则椭圆

的焦点角形的面积为

12

2tan

2FPF

Sb





.

8.椭圆

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）的焦半径公式：

10

||MFaex,

20

||MFaex(

1

(,0)Fc,

2

(,0)Fc

00

(,)Mxy).

9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交

相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A

1

、A

2

为椭圆长轴上的顶点，A

1

P和A

2

Q交于点M，

A

2

P和A

1

Q交于点N，则MF⊥NF.

是椭圆

22

22

1

xy

ab

的不平行于对称轴的弦，M),(

00

yx为AB的中点，则

2

2

OMAB

b

kk

a

，

即

0

2

0

2

ya

xb

K

AB

。

12.若

000

(,)Pxy在椭圆

22

22

1

xy

ab

内，则被Po所平分的中点弦的方程是

22

0000

2222

xxyyxy

abab

.

13.若

000

(,)Pxy在椭圆

22

22

1

xy

ab

内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

22

00

2222

xxyy

xy

abab

.

推导

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5

1.椭圆

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞o）的两个顶点为

1

(,0)Aa,

2

(,0)Aa，与y轴平行的直线交椭圆于P

1、

P

2

时A

1

P

1

与A

2

P

2

交点的轨迹方程是

22

22

1

xy

ab

.

2.过椭圆

22

22

1

xy

ab

(a＞0,b＞0)上任一点

00

(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C

两点，则直线BC有定向且

2

0

2

0

BC

bx

k

ay

（常数）.

3.若P为椭圆

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F

1

,F

2

是焦点,

12

PFF,

21

PFF，则tant

22

ac

co

ac







.

4.设椭圆

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）的两个焦点为F

1

、F

2

,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在

△PF

1

F

2

中，记

12

FPF,

12

PFF,

12

FFP，则有

sin

sinsin

c

e

a









.

5.若椭圆

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F

1

、F

2

，左准线为L，则当0＜e≤21时，

可在椭圆上求一点P，使得PF

1

是P到对应准线距离d与PF

2

的比例中项.

6.P为椭圆

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）上任一点,F

1

,F

2

为二焦点，A为椭圆内一定点，则

211

2||||||2||aAFPAPFaAF,当且仅当

2

,,AFP三点共线时，等号成立.

7.椭圆

22

00

22

()()

1

xxyy

ab



与直线0AxByC有公共点的充要条件是

22222

00

()AaBbAxByC.

8.已知椭圆

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）

2222

1111

||||OPOQab

;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为

22

22

4ab

ab

;（3）

OPQ

S



的最小值是

22

22

ab

ab

.

9.过椭圆

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平

分线交x轴于P，则

||

||2

PFe

MN

.

10.已知椭圆

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相

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6

交于点

0

(,0)Px,则

2222

0

abab

x

aa



.

11.设P点是椭圆

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F

1

、F

2

为其焦点记

12

FPF，

则(1)

2

12

2

||||

1cos

b

PFPF







.(2)

12

2tan

2PFF

Sb





.

12.设A、B是椭圆

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，

PAB

,

PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)

2

222

2|cos|

||

s

ab

PA

acco









.(2)

2tantan1e.(3)

22

22

2

cot

PAB

ab

S

ba









.

13.已知椭圆

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）的右准线

l

与x轴相交于点

E

，过椭圆右焦点

F

的直线与椭

圆相交于A、B两点,点

C

在右准线

l

上，且

BCx

轴，则直线AC经过线段EF的中点.

14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必

与切线垂直.

15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂

直.

16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.