二次根式教案

二次根式教案

二次根式教案篇1

教学目标

1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次

根式的式子；

2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．

教学重点和难点

重点：含二次根式的式子的混合运算．

难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．

教学过程设计

一、复习

1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成

立的条件．

指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于

化简二次根式．

2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．

指出：二次根式的`乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式

相除，

计算结果要把分母有理化．

3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：

4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：

二、例题

例1x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：

分析：

(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；

(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；

(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次

根式有意义，同时使分母的值不等于零．

x-2且x0．

解因为n2-90，9-n20，且n-30，所以n2=9且n3，所以

例3

分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分

别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中

的隐含条件3-a0和1-a＞0．

解因为1-a＞0，3-a0，所以

a＜1，|a-2|＝2-a．

(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)0．

这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样

满足这些条件的．

问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方

式？

分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算．

注意：

所以在化简过程中，

例6

分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这

两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一

个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷．

a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，

三、课堂练习

1．选择题：

A．a2B．a2

C．a2D．a＜2

A．x+2B．-x-2

C．-x+2D．x-2

A．2xB．2a

C．-2xD．-2a

2．填空题：

4．计算：

四、小结

1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同

学们要深刻理解并牢固掌握．

2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根

式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中

的字母或式子的取值范围．

3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述

每一个性质中字母的取值范围的条件．

4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和

法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求

值等问题．

五、作业

1．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？

2．把下列各式化成最简二次根式：

二次根式教案篇2

教学目的

1．使学生掌握最简二次根式的定义，并会应用此定义判断一个根式是否为

最简二次根式；

2．会运用积和商的算术平方根的性质，把一个二次根式化为最简二次根式。

教学重点

最简二次根式的定义。

教学难点

一个二次根式化成最简二次根式的方法。

教学过程

一、复习引入

1．把下列各根式化简，并说出化简的根据：

2．引导学生观察考虑：

化简前后的根式，被开方数有什么不同？

化简前的被开方数有分数，分式；化简后的被开方数都是整数或整式，且被

开方数中开得尽方的因数或因式，被移到根号外。

3．启发学生回答：

二次根式，请同学们考虑一下被开方数符合什么条件的二次根式叫做最简二

次根式？

二、讲解新课

1．总结学生回答的内容后，给出最简二次根式定义：

满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：

(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；

(2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式。

最简二次根式定义中第(1)条说明被开方数不含有分母；分母是1的例外。

第(2)条说明被开方数中每个因式的指数小于2；特别注意被开方数应化为因式

连乘积的形式。

2．练习：

下列各根式是否为最简二次根式，不是最简二次根式的说明原因：

3．例题：

例1把下列各式化成最简二次根式：

例2把下列各式化成最简二次根式：

4．总结

把二次根式化成最简二次根式的根据是什么？应用了什么方法？

当被开方数为整数或整式时，把被开方数进行因数或因式分解，根据积的算

术平方根的性质，把开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替移到根号外面

去。

当被开方数是分数或分式时，根据分式的基本性质和商的算术平方根的性质

化去分母。

此方法是先根据分式的基本性质把被开方数的分母化成能开得尽方的因式，

然后分子、分母再分别化简。

三、巩固练习

1．把下列各式化成最简二次根式：

2．判断下列各根式，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？如果

不是，把它化成最简二次根式。

二次根式教案篇3

1.教学目标

(1)经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程;会进行

简单的二次根式的乘法运算;

(2)会用公式化简二次根式.

2.目标解析

(1)学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广，得出乘法法则的内

容;

(2)学生能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根

式.

教学问题诊断分析

本节课的学习中，学生在得出乘法法则和积的算术平方根的性质后，对于何

时该选用何公式简化运算感到困难.运算习惯的养成与符号意识的养成、运算能

力的形成紧密相关，由于该内容与以前学过的实数内容有较多的联系，例如，整

式中的乘法公式在二次根式的运算中也成立，在教学中，要多从联系性上下力

气.，培养学生良好的运算习惯.

在教学时，通过实例运算，对于将一个二次根式化为最简二次根式，一般有

两种情况：(1)如果被开方数是分数或分式(包括小数)，可以采用直接利用分式

的性质，结合二次根式的性质进行化简(例见教科书例6解法1)，也可以先写成

算术平方根的商的形式，再利用分式的性质处理分母的根号(例见教科书例6解

法2);(2)如果被开方数不含分母，可以先将它分解因数或分解因式，然后吧开

得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简.

本节课的教学难点为：二次根式的性质及乘法法则的正确应用和二次根式的

化简.

教学过程设计

1.复习引入，探究新知

我们前面已经学习了二次根式的概念和性质，本节课开始我们要学习二次根

式的乘除.本节课先学习二次根式的乘法.

问题1什么叫二次根式?二次根式有哪些性质?

师生活动学生回答。

【设计意图】乘法运算和二次根式的化简需要用到二次根式的性质.

问题2教材第6页“探究”栏目，计算结果如何?有何规律?

师生活动学生计算、思考并尝试归纳，引导学生用自己的语言描述乘法法则

的内容.

【设计意图】学生在自主探究的过程中发现规律，运用类比思想，由特殊到

一般地，采用不完全归纳的方法得出二次根式的乘法法则.要求学生用数学语言

和文字分别描述法则，以培养学生的符号意识.

2.观察比较，理解法则

问题3简单的根式运算.

师生活动学生动手操作，教师检验.

问题4二次根式的乘除成立的条件是什么?等式反过来有什么价值?

师生活动学生回答，给出正确答案后，教师给出积的算术平方根的性质.

【设计意图】让学生运用法则进行简单的二次根式的乘法运算，以检验法则

的掌握情况.乘法法则反过来就是积的算术平方根的性质，性质是为运算服务的，

积的算术平方根的性质将积的算术平方根分解成几个因数或因式的算术平方根

的积，利用整式的运算法则、乘法公式等可以简化二次根式，培养学生的运算能

力.

3.例题示范，学会应用

例1化简：(1)二次根式的乘除;(2)二次根式的乘除.

师生活动提问：你是怎么理解例(1)的?

如果学生回答不完善，再追问：这个问题中，就直接将结果算成二次根式的

乘除可以吗?你认为本题怎样才达到了化简的效果?

师生合作回答上述问题.对于根式运算的最后结果，一般被开方数中有开得

尽方的因数或因式，应依据二次根式的性质二次根式的乘除将其移出根号外.

再提问：你能仿照第(1)题的解答，能自己解决(2)吗?

【设计意图】通过运算，培养学生的运算能力，明确二次根式化简的方向.

积的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简.

例2计算：(1)二次根式的乘除;(2)二次根式的乘除;(3)二次根式的乘除

师生活动学生计算，教师检验.

(1)在被开方数相乘的时候，就可以考虑因数或因式分解，由二次根式的乘

除直接可得二次根式的乘除而不必先写成二次根式的乘除再分解;

(2)二次根式的乘法运算类似于整式的乘法运算，交换律、结合律都是适用

的.对于根号外有系数的根式在相乘时，可以将系数先相乘作为积的系数，再对

根式进行运算;

(3)例(3)的运算是选学内容.让学有余力的学生学到“根号下为字母的二次

根式”的运算.本题先利用积的算术平方根的性质，得到二次根式的乘除，然后

利用二次根式的乘法法则，变成二次根式的乘除，由于二次根式的乘除可以判断

二次根式的乘除，因此直接将x移出根号外.

【设计意图】引导学生及时总结，强调利用运算律进行运算，利用乘法公式

简化运算.让学生认识到，二次根式是一类特殊的实数，因此满足实数的运算律，

关于整式运算的公式和方法也适用.

教材中虽然指明，如未特别说明，__中所有的字母都表示正数，但仍应强调，

看到根号就要注意被开方数的符号.可以根据二次根式的概念对字母的符号进行

判断，在移出根号时正确处理符号问题.

4.巩固概念，学以致用

练习：教科书第7页练习第1题.第10页习题16.2第1题.

【设计意图】巩固性练习，同时检验乘法法则的掌握情况.

5.归纳小结，反思提高

师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：

(1)你能说明二次根式的乘法法则是如何得出的吗?

(2)你能说明乘法法则逆用的意义吗?

(3)化简二次根式的基本步骤是怎样?一般对最后结果有何要求?

6.布置作业：教科书第7页第2、3题.习题16.2第1，6题.

五、目标检测设计

1.下列各式中，一定能成立的是()

A.二次根式的乘除B.二次根式的乘除

C.二次根式的乘除D.二次根式的乘除

【设计意图】考查二次根式的概念和性质，这是进行二次根式的乘法运算的

基础.

2.化简二次根式的乘除______________________________。

【设计意图】二次根式是特殊的实数，实数的相关运算法则也适用于二次根

式.

3.已知二次根式的乘除，化简二次根式二次根式的乘除的结果是()

A.二次根式的乘除B.二次根式的乘除C.二次根式的乘除D.二次根式的乘

除

【设计意图】巩固二次根式的性质，利用积的算术平方根的性质正确化简二

次根式.