余弦定理教案

.

教学基本信息

课题1.1.2余弦定理

是否属于

地方课程或校本课程

否

学科数学学段：高中年级高一

相关

领域

平面向量

教材书名：普通高中课程标准实验教科书B版必修5，：人民教育出版日期：2014年6月

指导思想与理论依据

数学学习按知识分类有概念学习、规则学习和问题解决学习，相应的课堂教学有概念教学、规则教学

和问题解决学习。数学规则表现为一定的语言和符号，总是包含某种特定内容，呈现某种特定的形式。沈

良《略谈数学结构观下的阶梯与教学》指出：结构观下的教学应凸显结构的地位，使学生的学习、解题、

反思等活动都能适度地从结构的形式、特征与功能等角度出发思考。

余弦定理的发现、推导、证明和应用过程就是数学规则的学习，展现了利用了结构启发学生思维，引

导学生反思探究和提高学生的应用能力。为了体现向量的工具作用，让学生尝试运用平面向量知识解决三

角形的度量问题。

教学背景分析

内容分析：

本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学B版》必修5（人教版）第一章“解三角形”第二

节《余弦定理》。余弦定理承前的基础知识有勾股定理、向量基础知识、三角函数定义、诱导公式、和角

公式、正弦定理与三角形面积公式，这些都是建立余弦定理的知识储备，后续的知识有正余弦定理的应用。

同时余弦定理也为判断三角形的形状，证明三角形中的有关等式提供了重要依据。余弦定理是三角函数模

块在三角形中的具体应用，是解决生产、生活实际问题的重要工具，因此有广泛的应用价值。

学情分析：

本校是市远郊的一所普通高中校，学生的基础较差。学生已经适应了高中的学习，逐步形成良好的学习习

惯，高一上学期已经学习了平面向量的知识，但由于高一上学期的学习任务较重，课时较紧，留给学生消

化和练习的时间较少，再加上学生缺乏自主学习的能力，很多知识一知半解．利用平面向量解决问题的方

法不是很熟练，所以在推导过程需要在教师的引导下完成，鼓励学生大胆的探索，不求全责备。学生经历

过小组讨论的学习形式，对问题有一定的思考和探究能力，能很快地进行小组讨论，并能清楚地表述和展

示讨论成果．

教学方式：

.

《数学课程标准》要求“通过对任意三角形边长与角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”，所

以在教学中采用“探究性学习的问题解决模式”。在回顾旧知识的基础上提出新的研究问题，引导学生从

形象思维逐步过渡到抽象思维，突破教学难点．通过引导学生带着问题的主动思考、合作交流的探究过程，

力求使他们在掌握知识的同时，还能学会研究方法。

教学手段：多媒体辅助教学

技术准备：PPT

教学目标

知识与技能：

经历对三角形边角关系的探索，能证明余弦定理，了解从几何和向量的途径证明余弦定理，能初步运用余

弦定理解决简单的三角形问题。

过程与方法：

在发现余弦定理的过程中，感悟类比，特殊到一般，数形结合，转化的思想方法，并提高学生运用余弦定

理解决问题的能力。

情感态度价值观：

体验数学活动的过程，享受数学发现的快乐，让学生获得发现的成就感和快乐，激发学习兴趣。

教学重点：余弦定理的发现与推导

教学难点：余弦定理的建立

教学过程(表格描述)

教学

阶段

教师活动学生活动设置意图

复

习

引

入

教师提问

1、前面我们学习了正弦定理，请思考正弦定理能够帮助我

们解决三角形中的什么问题？

2、在“2角1边”中，边是对边还是邻边？

3、在“2边1角”问题中，角是对角还是夹角？

回答1：“2角1

边”和“2边1

角”问题。

回答2：对边和

邻边都可以。

回答3：若是对

角，比如知道

Aba和,，由正

弦定理可先求

复习旧知，有效的

帮助学生梳理解

三角形的几个问

题，又为引入新知

作好铺垫。

教师通过设问将

自身的主导作用

转变为学生学习

的引路人。

.

4、针对“2边1夹角”的问题，正弦定理无法解决，但已知

“2边1夹角”的三角形利用初中的知识是确定的吗？如果

是确定的，请同学们思考：在∆ABC中，已知边长Cba和,,

试求边长c。

B，再求C

和边长c。若是

夹角，如果知道

Cba和,，用

正弦定理似乎求

解不了。

回答4：确定，

因为根据初中知

识“边角边”可

以判定三角形全

等。

启发学生从原有

认知结构中找出

新知的生长点，利

用旧知获取新知。

．

探

究

新

知

问题一：若090C，边长c是否能求？能不能用向量方

法证明呢？

（教师引导：勾股定理是边的关系，可由向量的数量积转化

得到）

设ABCRt，090C，因为边的平方等于对应向量的

平方。由CBACAB

,得

学生回答问题

一:

若

090C

,

就是勾股定理。

学生在教师的引

导下完成证明。

通过问题的设置

引导学生逐步深

入的进行探讨．

通过分组讨论，

加强学生之间的

交流与合作，充分

发挥学生学习的

主动性．

.

22

22

2

）（）（

CBAC

CBCBACAC

CBACCBACABAB



•

••

即222bac

（教师板演）

问题二：若对于任意的三角形，上述的推导过程会发生怎样

的变化？结果会是什么形式？

（留给学生足够的思考时间，教师巡视）

因为090不一定是C

，所以向量CCBAC-的夹角与也

不定是090。因此

22

22

)cos(2

2

）（）（

CBCCBACAC

CBCBACAC

CBACCBACABAB

•

•

••



即Cabbaccos2—222

（教师顺应学生的探究思路给予适当的提示、点拨、启发）

勾股定理可以看做是上式的特殊情况。上式也可以看做是勾

股定理的推广。

问题三：回顾刚才解决的问题，我们很容易得到结论：在

∆ABC中，的对应边，,,是角,,CBAcba则有

成立。cos2—222Cabbac

还有其他类似形式的

等式吗？

总结还可以得出Abccbacos2—222

Baccabcos2—222

用语言文字表述为：三角形任何一边的平方等于其他两边的

平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

这个结论揭示了任意三角形三边与其中一角的余弦关系，我

们称它为“余弦定理”。（教师板演课题）

问题四：我们刚刚认识了余弦定理这个新朋友，我们看看它

学生分小组讨

论，并发表自己

的看法，小组内

选取代表进行展

示。

学生很容易根据

形式结构的特点

得出其他两个公

式

学生记忆公式

培养学生由特殊

到一般的解决问

题的方法，以与归

纳、抽象概括的能

力．

培养学生积极动

脑，认真思考，踊

跃发言的习惯，让

学生真正参与课

堂的教学，主动探

究新知的形成过

程，并能用简洁准

确的语言将自己

的想法表达出来。

引导学生观察、分

析公式的特征和

联系，加深对公式

的记忆。

学生观察，思考，

让学生感受到发

.

有什么特征？

1、从结构上看三个公式中轮换对称,,cba；

2、勾股定理可以看做是余弦定理的特例，余弦定理是勾股

定理的推广。

问题四：我们为什么要学习余弦定理，它可以解决什么问

题？

1、已知三角形的两边与夹角，可求出第三边

2、已知三角形的三边，可求角

进一步得出余弦定理公式的变形（教师板演）

bc

acb

A

2

cos

222



ac

bca

B

2

cos

222



ab

cba

C

2

cos

222



学生根据公式的

特点回答问题，

并记忆公式的变

形。

现的乐趣。

应

用

举

例

例1在∆ABC中，已知060,1,3Acb

，求边长a。

分析：已知两边与其夹角，故直接选取余弦定理解决。

例2在∆ABC中，已知

37,4,3cba

，求∆ABC

的最大内角。

分析：已知三边求角，故选取变形公式，而且明确大边对大

角，求

角C。

例3在∆ABC中，已知

060,24,8Bba

，求边长

c

。

分析：法一：已知两边与对角，可以选取正弦定理先求角A，

再由C=π−A−B,利用

a

sinA

=c

sinC

或者

b

sinB

=c

sinC

法二：利用

ac

bca

B

2

cos

222



求解。

学生认真阅读题

目，理解题意，

完成解答。学生

板演例1和例2

的过程。

因为是新课的学

习，难度设置较

低，旨在让学生初

步学会运用余弦

定理解决问题。3

个例题包含3种

情形，并让学生总

结思考“利用余弦

定理可以解决哪

些三角形问题；对

于例3要视具体

问题选择正弦或

余弦定理解决。

.

课

堂

练

习

1、在∆ABC中，已知0150,2,33Bca

，求边长

b。

2、在∆ABC中，若0—222cabba，则。求C

学生练习．

根据课上的时间

灵活安排，若时间

充裕让学生自主

完成，通过练习进

一步巩固所学的

知识．

归

纳

总

结

引导学生回顾本节课所学的知识与数学思想方法

知识上：余弦定理的推导方法与余弦定理应用

思想方法上：

1、类比思想方法

2、特殊到一般的研究方法

（教师适时地对学生的回答进行评价和肯定）

学生交流这节课

的收获．

通过小结使学生

加强对知识的记

忆，加深对数学思

想方法的理解，养

成总结的好习惯．

课

后

思

考

在例3中既可以用正弦定理也可以用余弦定理，那么正弦定

理和余弦定理是否存在着联系呢？你能用正弦定理证明余

弦定理，用余弦定理证明正弦定理吗？请同学们课后思考。

学生课后思考．

加深对正弦定理

和余弦定理的理

解

板书设计

1.1.2余弦定理

Abccbacos2—222

Baccabcos2—222

变形：

bc

acb

A

2

cos

222



ac

bca

B

2

cos

222



例1：

例2：

例3：

.

ab

cba

C

2

cos

222



学习效果评价设计

1、教师教学效果评价

评价教师在教学过程中角色把握，整个课堂环境的营造，技术运用

2、学生学习效果评价

评价学生在课堂教学中的态度和表现，即评价学生的学习方式，学习水平，学习效果。

评价量规：

教师评价内容评价标准

ABC

角色把握

学生学习的指导者、合作者、参

与者、激励者

学生学习知识的传授者、活动

组织者

一味讲授，严厉监督

环境营造

营造宽松、XX、平等、互动的

学习化环境；关注学生

规范、有序专制、服从、沉默、压

抑

技术运用

能科学运用各种媒体提供丰富

的资源

呈现教材，讲清知识，组织练

习

手段单调，讲解模糊，

目标不明，过程紊乱

学生评价内容评价标准

ABC

学习方式

能自主学习，合作交流，探究发

现

听讲发现，被动回答问题唯师唯书，被动接受

学习水平

学习热情高，参与度高，见解独

特，深刻领会新知

学习热情一般，参与度一般，

少有独特见解，新知理解一般

学习没有热情，参与度

低，回答问题错误多

学习效果

掌握并能灵活运用知识技能的

同时提升了学习水平、增强了学

习兴趣

能掌握知识技能并运用，但学

习水平未有提高，学习兴趣一

般

完全依靠教师讲解勉

强掌握知识技能，学习

过程枯燥乏味

.

本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)

本节课较好地体现了新课标理念，在教学设计上主要有以下几个方面的特点：

1、注重公式定理形成的过程

公式是对一类事物的普遍规律的符号表达，所以一定要交待公式的产生背景，明确公式的条件和结论，

培养推理能力，同时也是加强公式记忆的过程。因此公式的推导应在教师的指导下由学生完成，教师在推

理难点或隐蔽条件等方面加强指导。这节课证明过程直接引导学生利用平面向量的知识解决，是因为考虑

到学生刚完成平面向量的学习，这样承前启后的安排也较自然。

2、尝试合作学习

学习需要老师的引导，学习也需要同伴的帮助，有时同伴的帮助显得更为重要。同伴间的互相启发、

互相评价、互相促进，其教学效果更为显著。

3、根据学生情况设计教学内容

教学内容的选取既要有利于教学目标的实现，也要考虑学生的知识基础和认知特点。在这个教学设计

中，考虑到学生的基础较差，学习主动性不强，采用了教师启发引导与学生自主探究相结合的方式，既发

挥了学生的主动性，又体现了教师的有效引导。这样的教学内容设计层次合理，有助于教学目标的落实。

4、公式、定理的学习不能回避记忆

公式、定理的学习是离不开记忆的，牢固准确的记忆是灵活运用公式、定理的前提和基础。但是，对

于公式、定理的学习而言，没有理解的记忆就是简单机械的记忆，是没有价值的。所以课上重视公式结构

的分析和记忆。