汽车加水

1

4线段垂直平分线

专题一:线段垂直平分线定理与逆定理

1.定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

例1、如图所示，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，

△BCE的周长等于50，求BC的长.

例2、如图，在△ABC中，AB=AC，

120BAC

，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC

于点F，

连接AF，求

AFC

的角度.

2逆定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

求证定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

已知，如图在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P.

求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC.

2

练习：

1、已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的中垂线，垂足为D，交

BC于E，BE=5，求AE、AC的长以及∠AEC的度数.

2、如图（2），在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在

__________上.

3.如右图，P是∠AOB的平分线OM上任意一点，PE⊥CA于E，PF⊥OB于F，连结EF.

求证：OP垂直平分EF.

4、如下图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC

的周长是（）

A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm

5、如图，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，则∠C=_____.

3

6.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的

周长。

专题二：三角形的外心

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.这点叫做外心

（外接圆的圆心）

预习：

1、如左下图，点P为△ABC三边中垂线交点，则PA__________PB__________PC.

2、如右上图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠

1__________∠2，∠3__________∠4，∠5__________∠6，

∠2+∠3=__________度，∠1+∠4=__________度，∠5+∠6=__________度，∠

BOC=__________度.

探究提升如图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，求∠EAG的度

数.

4

线段的垂直平分线达标题

一、选择题

1.如图所示，在中，垂直平分，，，，，在同一

直线上，你推测与的关系是

A.B.C.D.不能确定

2.在中，，，的垂直平分线交于点，

连接，若，估算为

A.B.C.D.

3.如图所示，垂直平分，平分，经探究你认为下列结论不一定

成立的是

A.B.C.D.

4.如图所示，在中，，，把沿折叠，

使点与点重合，若，猜测的长为

A.B.C.D.

5.如图所示，于点，于点，你认为再添加下列条件，也不能

推出垂直平分的是

A.B.平分C.D.

5

6.如图，已知三角形，，，，是的垂直平分

线，交于，连接，等于

A.B.C.D.

7.如图所示，线段的垂直平分线交线段于点，，则

A.B.C.D.

二、填空题

8.已知线段，，，则直线是

线段的，理由：．

9.在中，，作边上的垂直平分线必经过顶点，

理由．

10.如图所示，在中，是的垂直平分线，，的周

长是，则的周长为．

6

11.如图所示，在等边三角形中，，猜

测是的垂直平分线．（填出一个即可）

12.在中，，的中垂线与所在直线相交所得锐角，

则底角．

13.如图所示，在中，，，是边上的垂直平

分线，，你认为应等于．

14.如图所示，在中，，的垂直平分线交于点，

的垂直平分线交于点，则．

15.如图所示，在中，，边上的垂直平分线交于点，

垂足为，连接，若，你猜想．

7

三、解答题

16在中，平分，垂直平分交的延长线于点，

猜想与有什么关系?并证明你的猜想．

17（1）在中，，的垂直平分线交于点，交的

延长线于点，，求的大小；

（2）如果将（1）中的度数改为，其余条件不变，再求的大小；

（3）你发现有什么规律性?试证明；

（4）将（1）中的改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改?

8

18.某汽车探险队要从城穿越沙漠去城，途中需要到河流边为汽车加水，汽

车在哪一点加水，才能使行驶的总路程最短?请你在图上画出这一点，并说说你的理

由．

线段垂直平分线提升

1．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，且BE＝DE，下列结论不一定成立的是

（）

A．AB＝ADB．AC＝BDC．CA平分∠BCDD．△BEC≌△DEC

2．如图，DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，如果BC＝8cm，AB＝10cm，则△EBC的

周长为（）

A．16cmB．18cmC．26cmD．28cm

3．已知如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，AC＝8cm，DE垂直平分

BC，则BE的长是（）

A．4cmB．8cmC．16cmD．32cm

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4．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画

弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若∠A＝25°，则∠CDB

＝（）

A．25°B．50°C．60°D．90°

5．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）

A．AB与CD互相垂直平分B．CD垂直平分AB

C．AB垂直平分CDD．CD平分∠ACB

6．若有三点A、B、C不在同一条直线上，点P满足PA＝PB＝PC，则平面内这样的点P有

（）A．1个B．2个C．1个或2个D．无法确定

7．到△ABC三个顶点的距离相等的点是△ABC（）

A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点

C．三条边的垂直平分线的交点D．三条高的交点

8．如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点

D，E，则直线DE是（）

A．∠A的平分线B．AC边的中线C．BC边的高线D．AB边的垂直平分线

9．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：

①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；

②作直线MN交AB于点D，连接CD．

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若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为（）

A．90°B．95°C．100°D．105°

10．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大于AB长为

半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D．若AD＝5，CD＝3，

则BC长是（）

A．7B．8C．12D．13

11．如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC＝20°，∠PCB＝30°，则∠PAB

的度数为．

12．如图，在△ABC中，AD垂直平分边BC，∠B＝60°，且△ABC的周长为24cm，则BD

＝cm．

13．如图，已知△ABC中BC＝10cm，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，△EAF周

长为cm．

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14．在△ABC中，∠C＝80°，∠A＝40°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为

半径作弧，两弧分别交于点E、F，作直线EF交AC于点D，则∠CBD的度数是．

15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A、C为圆心，大于AC的一半的长度为半

径画弧，四弧交于两点M、N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝32°，

则∠BAE的度数为度．

16．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D，

∠BDC＝60°，AC＝6，求AD的长度．