刹车距离

数学建模作业一：汽车刹车距离

I 

汽车刹车距离

一、问题描述

司机在遇到突发紧急情况时都会刹车，从司机决定刹车开始到汽车停止行驶的距离为

刹车距离，车速越快，刹车距离越长。那么刹车距离与车速之间具有什么样的关系呢？

二、问题分析

汽车的刹车距离有反应距离和刹车距离两部分组成，反应距离指的是司机看到需要刹

车的情况到汽车制动器开始起作用汽车行使的距离，刹车距离指的是制动器开始起作用到汽

车完全停止的距离。

反应距离有反应时间和车速决定，反应时间取决于司机个人状况（灵敏、机警等）和

制动系统的灵敏性，

制动系统的灵敏性，由于很难对反应时间进行区别，因此，通常认为反应时间为常数，

由于很难对反应时间进行区别，因此，通常认为反应时间为常数，

由于很难对反应时间进行区别，因此，通常认为反应时间为常数，而且而且

在这段时间内车速不变。

刹车距离与制动作用力、车重、车速以及路面状况等因素有关系。由能量守恒制动力

所做的功等于汽车动能的改变。设计制动器的一个合理原则是，最大制动力大体上与汽车的

质量成正比，汽车的减速度基本上是常数。路面状况可认为是固定的。

三、问题求解

1

、模型假设

根据上述分析，可作如下假设：

①刹车距离d等于反应距离1d

和制动距离2d

之和；

②反应距离1d

与车速v成正比，且比例系数为反应时间t；

③刹车时使用最大制动力F，F作的功等于汽车动能的改变，且F与车质量m成正比；

④人的反应时间t为一个常数；

⑤在反应时间内车速v不变；

⑥路面状况是固定的；

⑦汽车的减速度a基本上是一个常数。

2、模型建立

由上述假设，可得：

⑴

tvd

=2；

⑵2

22

1

mvFd

=,而

maF

=，则

2

22

1

v

a

d

=。所以

2

2

kvd

=。

综上，刹车距离的模型为

2

kvtvd

+=。

3

、参数估计

可用我国某机构提供的刹车距离实际观察数据来拟合未知参数

t

和

k

。

转化单位后得：

数学建模作业一：汽车刹车距离

数学建模作业一：汽车刹车距离

II 

车速（公里/小时）20140

实际刹车距离（米）6.517.833.657.183.4118.0153.5

用

Mathematica

进行拟合，代码如下：

进行拟合，代码如下：

Clear[x,v,d];

x={{20/3.6,6.5},{40/3.6,17.8},{60/3.6,33.6},{80/3.6,57.1},{100/3.6,83.4},{120/

3.6,118},{140/3.6,153.5}};

d=Fit[x,{v,v^2},v];

Print["d=",d];

Plot[d,{v,0,200/3.6}]

结果：

4、结果分析

将拟合结果与实际结果对比：

（代码）

（代码）

Clear[v,d];

d=0.65218*v/3.6+0.0852792*(v/3.6)^2;

For[v=20,v<=140,v=v+20,Print["速度为",v,"km/h时刹车距离为",d]]

结果：

数学建模作业一：汽车刹车距离

数学建模作业一：汽车刹车距离

III 

车速（公里/小时）20140

实际刹车距离（米）6.517.833.657.183.4118.0153.5

计算刹车距离（米）6.217.834.656.683.9116.5154.3

计算刹车距离与实际刹车距离基本相当。

计算刹车距离与实际刹车距离基本相当。

综上，反应时间t约等于0.6522秒，刹车时减速度约等于

2/62/1

smk

»。

刹车距离与车速的关系满足：

2

08528.06522.0d

vv

+=。