极限推理

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典型共点力作用下物体的平衡例题

[［例1]如图1所示，挡板AB和竖直墙之间夹有小球，球的质量为m，问当

挡板与竖直墙壁之间夹角缓慢增加时，AB板及墙对球压力如何变化。

极限法

[例2]如图1所示，细绳CO与竖直方向成30角，A、B两物体用跨过滑轮的

细绳相连，已知物体B所受到的重力为100N，地面对物体B的支持力为80N，试求

（1）物体A所受到的重力；

（2）物体B与地面间的摩擦力；

（3形容大雨 ）细绳CO受到的拉力。

例3]如图1所示，在质量为1kg的重物上系着一条长30cm的细绳，细绳的另一

端连着圆环，圆环套在水平的棒上可以滑动，环与棒间的静摩擦因数为0.75跑步神曲 ，另有一

条细绳，在其一端跨过定滑轮，定滑轮固定在距离圆环0.5m的地方。当细绳的端点

挂上重物G，而圆环将要开始滑动时，试问

（1）长为30cm的细绳的张力是多少？

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（2）圆环将要开始滑动时，重物G的质量是多少？

（3）角多大？

[分析]选取圆环作为研究对象，分析圆环的受力情况：圆环受到重力、细绳的张

力T、杆对圆环的支持力N、摩擦力f的作用。

[解]因为圆环将要开始滑动，所以，可以判定本题是在共点力作用下物体的平衡

问题。由牛顿第二定律给出的平衡条件∑Fx=0，∑Fy=0，建立方程有

N-Tcos=0，

N-Tsin＝0。

设想：过O作OA的垂线与杆交于B′点，由AO=30cm，tg=，得B′O的长

为40cm。在直角三角形中，由三角形的边长条件得AB′=50cm，但据题述条件AB=50cm，

故B′点与滑轮的固定处B点重合，即得=90。

（1）如图2所示选取坐标轴，根据平衡条件有

Gcos+Tsin-mg=0，

Tcos-Gsin=0。

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解得T≈8N，

（2）圆环将要滑动时，得mGg＝Tctg，mG=0.6kg。

（3）前已证明为直角。

例4]如图1所示，质量为m＝5kg的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩

擦因数求当物体做匀速直线运动时，牵引力F的最小值和方向角。

[分析]本题考察物体受力分

析：由于求摩擦力f时，N受F制约，

而求F最小值，即转化为在物理问

题中应用数学方法解决的实际问

题。我们可以先通过物体受力分析。

据平衡条件，找出F与关系。进

一步应用数学知识求解极值。

[解]作出物体m受力分析如图2，由平衡条件。

∑Fx=Fcos-N=0（1）

∑Fy=Fsin+N-G=0（2）

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由cos（-）=1即—=0时

∴=30，=30

[说明]本题中我们应用了数学上极值方

法，来求解物理实际问题，这是在高考中考察的一项重要能力。在以后解题中我们还

会遇到用如：几何法、三角形法等数学方法解物理问题，所以，在我们学习物理时，

逐步渗透数学思想，对解决物理问题是很方便的。但要注意，求解结果和物理事实的

统一性。

[例5]如图1，A、B两物体质量相等，B用细绳拉着，绳与倾角的斜面平行。A

与B，A与斜面间的动摩擦因数相同，若A沿斜面匀速下滑，求动摩擦因数的值。

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例6、如图7，半径为R的光滑半球的正上方，离球面顶端距离为h的O点，用

一根长为l的细线悬挂质量为m的小球，小球靠在半球面上．试求小球对球面压力的

大小．

题

[例题1]一个光滑的圆球搁在光滑的斜面和竖直的档板之间（图1），斜面和档

板对圆球的弹力随斜面倾角变化而变化的范围是：

A．斜面弹力N1变化范围是（mg，＋∞）

B．斜面弹力N1变化范围是（0，＋∞）

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C．档板的弹力N2变化范围是（0，+∞）

D．档板的弹力N2变化范围是（mg，＋∞）

答：[A、C]

解：圆球受三个力，其中重力的大小和方向均为确定的，档板对圆球的弹力N2

的方向始终是水平的，亦为确定的。而斜面对圆球的作用力的大小和方向均在变化中，

但不论如何变动，只要取一个确定的值，圆球就在三力作用下处于平衡状态，则

此三力就组成一个封闭的三角形，如图2所示：

由于0＜＜90，所以mg＜N1＜＋∞，0＜N2＜＋∞

解出。

[例题2]如图3所示,用两根绳子系住一重物,绳OA与天花板夹角不变,且＞

45,当用手拉住绳OB，使绳OB由水平慢慢转向OB′过程中，OB绳所受拉力将

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A．始终减少B．始终增大

C．先增大后减少D．先减少后增大

答：[D]

解：重物受三个力，其中重力大小方向确定，OA方向不变，OB绳受力的大小方

向变化。在变化过程中，重物所受三力平衡，可组成一个封闭三角形，现图示如下：

从图中可很直观地得出结论。由于＞45,+=90所以＜45,此时TOB

取得最小值。

[例题3]如图4所示，一重球用细线悬于O点，一光滑斜面将重球支持于A点，

现将斜面沿水平面向右慢慢移动，那么细线对重球的拉力T及斜面对重球的支持力N

的变化情况是：

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A．T逐渐增大，N逐渐减小；

B．T逐渐减小，N逐渐增大；

C．T先变小后变大，N逐渐减小；

D．T逐渐增大，N先变大后变小。

．

例7、一质量为50kg的均匀圆柱体，放在台阶旁，台阶高度

（r为柱体半径）。柱体最

上方A处施一最小的力F，使柱体刚能开始以P轴向台阶上滚，求此

最小力．

析：圆柱体不能看作质点，选其为研究对象，分析其受力如图13（a）所示．

先将圆柱体在P点销售目标制定 所受的支持力N和静摩擦

力f合成，得到合力Q，则圆柱体受mg、Q、F三

个力作用，这三个力必为共点力，且Q、F二力的

合力为定值，如图13（b）所示，显然当F与Q

垂直时，F有最小值，由题给条件知，∠OAP=30，

则：

Fmin=Tsin30=mgsin30=250N

由以上两例可以发现，将多力问题转化为三力问题时，常先将同一接触面上的弹

力和摩擦力合成，在求解时用的较多的分析思路是三力的动态平衡问题的分析思路，

请读者再进一步加以体会．

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（2）利用正交分解法分析求解

当受力较多时，利用合成法需要几次合成才能得出结论，分析起来较繁琐．最常

见的多力平衡问题就是直接建立正交坐标系，在分析物体受力后，利用正交分析法求

解．

例8、如图14为一遵从胡克定律的弹性轻绳，其一端

固定于天花板上的O点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的

水平地面上的滑块A相连．当绳处在竖直位置时，滑块A对

地面有压力作用．B为紧挨绳的一光滑水平小钉，它到天花

板的距离BO等于弹性绳的自然长度．现用一水平力F作用

于A，使它向右作直线运动．在运动过程中，作用于A的摩擦

力

A、逐渐增大B、逐渐减小

C、保持不变D、条件不足，无法判断

析：取物体A为研究对象，分析A受力如图15，并沿水平

和竖直方向建立正交坐标系．由于物体向右做直线运动，则y

轴方向上受力平衡，即：

Tsin＋N=mg

依题意，绳的拉力T=kx，x为弹性绳的形变量，则地面对物体的支持力

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与A物体在B正下方时地面对物体的支持力相同．也就是说，在物体向右运动过

程中，地面对物体三五之夜 的支持力不变，由滑动摩擦力公式知，正确答案为C．

解决物理问题的关键在于有正确的分析思路和解题步骤．上面我们虽然分成几种

情况来讨论平衡问题，但不难发现，突破障碍后，其解题的思路和步骤是完全一样

的．这就要求我们，在学习物理的平衡知识时，首先要建立一个解题的基本模式，即

解题基本步各自的朝圣路 骤及几种常见题型的特点，则无论在何处遇到此类问题，都能够迅速唤起

基本模式，通过原型启发，迅速重视相关知识，从而顺利地解决问题．解平衡问题是

这样，解决其它问题也是这样，如果我们坚持这样去做，就会达到会学、要学、乐学

的高境界．

三、练习题

1．如图16，AB为一轻质杆，BC为一细绳，A总通过绞链

固定于竖直墙上，若在杆上挂一重物，并使其逐渐由B向A移

动，试分析墙对杆A端的作用力如何变化？

2．半径为R的光滑球，重为G，光滑木块，重为G，如图

示放置．至少用多大的力F（水平力）推木块，才能使球离开地

面？木块高为h．

3．两根长度相等的轻绳下端是挂一质量为m的物体，上端

分别固定在水平天花板上的M、N点．M、N两点间的距离为S，

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如图18所示．已知两绳所能承受的最大拉力均为T，则每根绳的长度不得短于多少？

球，在图

示情形下处于静止状态，求绳对球的拉力大小及斜面给球的支持力

的大小．

5．如图20，AB为一轻质梯子，A端靠在光滑墙面上，B端置于粗糙

水平面上．当重为G的人由B端逐渐爬上梯子的A端时，梯子始终没

动．试分析墙对梯子的作用力与地面给梯子的作用力分别如何变化？

6．如图21，一木块质量为m，放在倾角为的固定斜面上，木

块与斜面间的动摩擦因数为．当用水平方向的力F推这木块

时，木块沿斜面匀速上升，则此水平推力多大？

附答案：

1．先减小，后增大4．T=N=10N

5．墙对A支持力逐渐增大，地面对B支持力不变，静摩擦力逐渐增大．

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静力学中四类极值问题的求解

最（大或小）值问题是中学物理习题中常见的题型之一，这类题型渗透在中学物

理的各个部分，技巧性强，解法颇多。深入探究最值问题的解答，能有效地提高运用

数学知识解决问题的能力，培养灵活性和敏捷性。

1．不等式法：

例1无限长直电杆立于地面，与地面之间的摩擦力足

够大。如图1示，用长为L的绳拉电杆，若所用拉力T恒

定时，绳栓在电线杆的何处最容易拉倒？

分析与解：设绳线栓在离地h高处，则拉力T的力矩最大时，最容易拉倒电杆，

如图1，cos=h/L，则T的力矩

观察此式，T、L一定，因h2+（L2-h2）=L2是一常数，故当

h2=L2-h2

评点：解此类问题，首先根据力的平衡列出方程，然后观察方程特征，发掘其隐

含条件，若a＞0，b＞0,a＋b=常数,则当a=b时，ab积最大。这里运用了不等式的一

个重要性质（a＋b）/用章申请 2

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2.三角函数法：

例2重量为G的物体在水平而上作匀速运动，设物体与地

面之间

如图2示。

分析与解：物体受共点力作用而平衡，由平衡条件得：

水平方向：Fcos=N

竖直方向：N＋Fsin=G

解得F=G／（cos＋sin）

为使F最小，只需cos＋sin最大，因为

（cos+sin）=（cossin+cossin）/sin

=sin（+）色彩构成 /sin

而=ctg-1，故当=30时，F最小，最小值为

Fmin=Gsin＝G／2。

评点：求解此类问题的一般思路是先根据物理规律求出待求量的表达式，再根据

三角函数的有界性：|sin|≤1或|cos|≤1求最值。

3．极限推理法：

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例3如图3，用力F推质量为M的物体，物体与地面间的摩擦因数为，求外力

F与水平方向交角最小为多大时，无论外力F多么大均不能使物体前进？

分析与解：物体受共点力作用，当不动时必满足：

Fcos≤（Mg＋Fsin）

化简得：F（cso-sin）≤Mg。

因为无论F多大，上式均成立，则当F→∞时，不等式也成立，此时取最小值

0因此最小角满足方程cos0-sin0=0，

tg0=1/，

0=arctg1/。

评点：此类题通过对关系式的推理分析、=0时F无论多大物体都不能被推动，

因而F→∞时所满足的角便是最小值。这是一种极限推理分析的方法。

4．矢量三角图示法

例5一重为G的光滑球放在倾角为

的斜面上，被一挡板PQ挡住，Q处为

固定转轴，如图4示，挡板可以逐渐放

平，何时球对挡板的压力最小。

分析与解：小球受重力、斜面的支持力和挡板支持力三个共点力作用而平衡。由

挡板对球支持力的动态变化，可作力矢量三角形。如图5所示，由图知当挡板逐渐放

平的过程中，斜面对球的支持力N1一直逐渐减小，而挡板对球的支持力N2将先减小后

增大，故当挡板与斜面垂直时球对挡板压力最小。

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评点：质点在三个共点力作用下而平衡，各力之间的动态变化的规律，由力矢量

三角形可直观地作出判断。这是处理此类平衡问题常用的一种方法。