内蒙赤峰

2019年内蒙古赤峰市中考数学试卷

一、选择题：每小题3分，共30分

1．的倒数是（）

A．﹣B．C．2019D．﹣2019

2．等腰三角形有一个角是90，则另两个角分别是（）

A．30，60B．45，45C．45，90D．20，70

3．平面直角坐标系内的点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于（）

A．y轴对称B．x轴对称C．原点对称D．直线y=x对称

4．中国的领水面积约为370000km，其中南海的领水面积约占我国领水面积的，用科学记数法表示中国南

海的领水面积是（）

A．3710kmB．3710kmC．0.8510kmD．1.8510km

5．从数字2，3，4中任选两个数组成一个两位数，组成的数是偶数的概率是（）

A．B．C．D．

6．如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC=150，∠

BCD=30，则（）

A．AB∥BCB．BC∥CDC．AB∥DCD．AB与CD相交

7．一个长方体的三视图如图所示，则这个长方体的体积为（）

A．30B．15C．45D．20

8．如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O，O为圆心，为半径作圆，则图中

阴影部分的面积为（）

A．B．C．D．2

9．函数y=k（x﹣k）与y=kx，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）

2

52425252

12

2

A．

B．C．D．

10．8月份是新学期开学准备季，东风和百惠两书店对学习用品和工具实施优惠销售．优惠方案分别是：在

东风书店购买学习用品或工具书累计花费60元后，超出部分按50%收费；在百惠书店购买学习用品或工具书

累计花费50元后，超出部分按60%收费，郝爱同学准备买价值300元的学习用品和工具书，她在哪家书店消费

更优惠（）

A．东风B．百惠C．两家一样D．不能确定

二、填空题：每小题3分，共18分

11．分解因式：4x﹣4xy+y=

．

12．数据499，500，501，500的中位数是．

13．如图，两同心圆的大圆半径长为5cm，小圆半径长为3cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦

AB的长是．

14．下列图表是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的是（填序号）

15．如图，正方形ABCD的面积为3cm，E为BC边上一点，∠BAE=30，F为AE的中点，过点F作直线

分别与AB，DC相交于点M，N．若MN=AE，则AM的长等于cm．

16．甲乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、

乙第一次相剑姬怎么打诺手 遇；若甲的速度是乙的速度3倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度4

倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0点（12点）同时出

发，分针旋转周，时针和分针第一次相遇．

三、解答题：共102分

17．计算：（﹣）﹣1+3tan30﹣+（﹣1）2019．

18．化简：并任选一个你认为合理的正整数代入求值．

19．在平面直角坐标系内按下列要求完成作图（不要求写作法，保留作图痕迹）．

22

2

（1）以（0，0）为圆心，3为半径画圆；

（2）以（0，﹣1）为圆心，1为半径向下画半圆；

（3）分别以（﹣1，1），（1，1）为圆心，0.5为半径画圆；（4）

分别以（﹣1，1），（1，1）为圆心，1为半径向上画半圆．（向

上、向下指在经过圆心的水平线的上方和下方）

20．下表是博文学校初三•一班慧慧、聪聪两名学生入学以来10次数学检测成绩（单位：分）．

慧慧116

聪聪122

5123

9129

回答下列问题：

（1）分别求出慧慧和聪聪成绩的平均数；

（2）分别计算慧慧和聪聪两组数据的方差；

（3）根据（1）（2）你认为选谁参加全国数学竞赛更合适？并说明理由；

（4）由于初三•二班、初三•三班和初三•四班数学成绩相对薄弱，学校打算派慧慧和聪聪分别参加三个班的数

学业余辅导活动，求两名学生分别在初三•二班和初三•三班的概率．

21．为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛进行了全面调查，一测量船在A岛测得B岛在北

偏西30，C岛在北偏东15，航行100海里到达B岛，在B岛测得C岛在北偏东45，求B，C两岛及A，C

两岛的距离（≈2.45，结果保留到整数）

22．如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条

纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．

（1）求配色条纹的宽度；

（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．

23．如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）三点在⊙P

上．（1）求圆的半径及圆心P的坐标；

（2）M为劣弧的中点，求证：AM是∠OAB的平分线；

（3）连接BM并延长交y轴于点N，求N，M点的坐标．

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函护士长岗位职责 数y=的图象与一次函数y=k（x﹣2）的图象交点为A（3，

2），B（x，y）．

（1）求反比例函数与一次函数的解析式及B点坐标；

（2）若C是y轴上的点，且满△足ABC的面积为10，求C点坐标．

25．如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是

1cm/秒，Q点的运动速度是2cm/秒，连接A，P并过Q作QE⊥AP垂足为E．

（1）求证：△ABP∽△QEA；

（2）当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA；

（3）设△QEA的面积为y，用运动时刻t

（3）时可不分先后）

表示△QEA的面积y（不要求考t的取值范围）．（提示：解答（2）

26．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（3，5）．

（1）求过点A，C的直线解析式和过点A，B，C的抛物线的解析式；

（2）求过点A，B及抛物线的顶点D的⊙P的圆心P的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点Q，使AQ与⊙P相切，若存在请求出Q点坐标．

2019年内蒙古赤峰市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：每小题3分，共30分

1．的倒数是（）

A．﹣B．C．2019D．﹣2019

【考点】倒数．

【分析】根据倒数的定义，即可解答．

【解答】解：

的倒数是2019．

故选：C．

2．等腰三角形有一个角是90，则另两个角分别是（）

A．30，60B．45，45C．45，90D．20，70

【考点】等腰三角形的性质．

【分析】由于等腰三角形的两底角相等，所以90的角只能是顶角，再利用三角形的内角和定理可求得另两底

角．

【解答】解：∵等腰三角形的两底角相等，

∴两底角的和为180﹣90=90，

∴两个底角分别为45，45，

故选B．

3．平面直角坐标系内的点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于（）

A．y轴对称B．x轴对称C．原点对称D．直线y=x对称

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变可得答案．

【解答】解：平面直角坐标系内的点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于x轴对称．

故选：B．

4．中国的领水面积约为370000km，其恐怖小说大全 中南海的领水面积约占我国领水面积的，用科学记数法表示中国南

海的领水面积是（）

A3710kmB3710kmC0.8510kmD1.8510km

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1

即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：370000=185000=1.8510，

故选D．

5．从数字2，3，4中任选两个数组成一个两位数，组成的数是偶数的概率是（）

A．B．C．D．

2

．．．．52425252

n

5

【考点】列表法与树状图法．

【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出组成的数是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中组成的数是偶数的结果数为4，

所以组成的数是偶数的概率==．

故选A．

6．如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC=150，∠

BCD=30，则（）

A．AB∥BCB．BC∥CDC．AB∥DCD．AB与CD相交

【考点】平行线的判定．

【分析】根据同旁内角互补，两直线平行即可求解．

【解答】解：∵∠ABC=150，∠BCD=30，

∴∠ABC+∠BCD=180，

∴AB∥DC．

故选：C．

7．一个长方体的三视图如图所示，则这个长方体的体积为（）

A．30B．15C．45D．20

【考点】由三视图判断几何体．

【分析】易得该长方体长为3，宽为2，高为5，根据长方体的体积=长宽高列式计算即可求

解．【解答】解：观察图形可知，该几何体为长3，宽2，高5的长方体，

长方体的体积为325=30．

故选：A．

8．如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O，O为圆心，为半径作圆，则图中

阴影部分的面积为（）12

A．

B．C．D．2

【考点】圆的认识．

【分析】将下面阴影部分进行对称平移，根据半圆的面积公式列式计算即可求

解．【解答】解：1

=1

=．

答：图中阴影部分的面积为．

故选：B．

9．函数y=k（x﹣k）与y=kx，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）

A．B．C．D．

【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．

【分析】将一次函数解析式展开，可得出该函数图象与y轴交于负半轴，分析四个选项可知，只有C选项符合，

由此即可得出结论．

【解答】解：一次函数y=k（x﹣k）=kx﹣k，

∵k≠0，

∴﹣k＜0，

∴一次函数与y轴的交点在y轴负半轴．

A、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，A不正确；

B、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，B不正确；

C、一次函数图象与y轴交点在y轴负半轴，C可以；

D、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，D不正确．

故选C．

10．8月份是新学期开学准备季，东风和百惠两书店对学习暴走迷城 用品和工具实施优惠销售．优惠方案分别是：在

东风书店购买学习用品或工具书累计花费60元后，超出部分按50%收费；在百惠书店购买学习用品或工具书

累计花费50元后，超出部分按60%收费，郝爱同学准备买价值300元的学习用品和工具书，她在哪家书店消费

更优惠（）

A．东风B．百惠C．两家一样D．不能确定

【考点】一元一次方程的应用．

【分析】分析：本题可以直接求出郝爱在两家书店购买学习用品或工具书的钱数，比较一下便可得到答

案．【解答】解：依题意，

若在东风书店购买，需花费：60+50%=180（元），

若在百惠书店购买，需花费：50+60%=200（元）．

∵180＜200

∴郝爱同学在东风书店购买学习用品或工具书便宜．

故选：A

2

2

2

2

二、填空题：每小题3分，共18分

11．分解因式：4x﹣4xy+y=（2x﹣y）．

【考点】因式分解-运用公式法．

【分析】符合完全平方公式的特点：两项平方项，另一项为两底数积的2倍，直接利用完全平方公式分解因式

即可．

【解答】解：4x﹣4xy+y，

=（2x）﹣22x•y+y，

=（2x﹣y）．

12．数据499，500，501，500的中位数是500．

【考点】中位数．

【分析】先将题中的数据按照从小到大的顺序排列，再根据中位数的概念解答即可．

【解答】解：将该组数据按照从小到大的顺序排列为：499，500，500，501，

可得改组数据的中位数为：=500，

故答案为：500．

13．如图，两同心圆的大圆半径长为5cm，小圆半径长为3cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦

AB的长是8cm．

【考点】切线的性质．

【分析】根据切线的性质以及垂径定理，在△RtBOC中利用勾股定理求出BC，即可得出AB的

长．【解答】解：∵AB是⊙O切线，

∴OC⊥AB，

∴AC=BC，

在△RtBOC中，∵∠BCO=90，OB=5，OC=3，

∴BC==4（cm），

∴AB=2BC=8cm．

故答案为：8cm．

14．下列图表是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的是①②③④（填序号）

【考点】轴对称图形．

【分析】结合图象根据轴对称图形的概念解答即可．

【解答】解：根据轴对称图形的概念，可得出①②③④均为轴对称图

形．故答案为：①②③④．

222

22

22

2

15．如图，正方形ABCD的面积为3cm，E为BC边上一点，∠BAE=30，F为AE的中点，过点F作直线

分别与AB，DC相交于点M，N．若MN=AE，则AM的长等于

或cm．

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

【分析】如图，作DH∥MN，先证明△ADH≌△BAE推出MN⊥AE，在△RTAFM中求出AM即可，再根

据对称性求出AM′，由此即可解决问题．

【解答】解：如图，作DH∥MN，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAB=∠B=90，AB∥CD，

∴四边形DHMN是平行四边形，

∴DH=MN=AE，

在△RTADH和△RTBAE中，

，

∴△ADH≌△BAE，

∴∠ADH=∠BAE，

∴∠ADH+∠AHD=∠ADH+∠AMN=90，

∴∠BAE+∠AMN=90，

∴∠AFM=90，

在△RTABE中，∵∠B=90，AB=，∠BAE=30，

∴AE•cos30=AB，

∴AE=2，

在△RTAFM中，∵∠AFM=90，AF=1，∠FAM=30，

∴AM•cos30=AF，

∴AM=

，

根据对称性当M′N′=AE时，BM′=，AM′

故答案为或．

16．甲乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、

乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度3倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度4

2

倍，则甲运动周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0点（12点）同时出

发，分针旋转周，时针和分针第一次相遇．

【考点】一元一次方程的应用．

【分析】直接利用时针和分针第一次相遇，则时针比分针少转了一周，再利用分针转动一周60分钟，时针转动

一周720分钟，进而得出等式求出答案．

【解答】解：设分针旋转x周后，时针和分针第一次相遇，则时针旋转了（x﹣1）周，

根据题意可得：60x=720（x﹣1），

解得：x=

故答案为：

．

．

三、解答题：共102分

17．计算：（﹣）﹣+3tan30﹣+（﹣1）．

【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式（﹣）+3tan30﹣

+（﹣1）的值是多少即可．

【解答】解：（﹣）+3tan30﹣

+（﹣1）

=﹣3+3

=﹣3+﹣3

=﹣2﹣2

﹣3

+1

+1

18．化简：并任选一个你认为合理的正整数代入求值．

【考点】分式的化简求值．

【分析】根据分式的除法法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可．

【解答】解：原式=

=

=﹣，

当a=1时，原式=﹣

19．在平面直角坐标系内按下列要求完成作图（不要求写作法，保留作图痕

迹）．（1）以（0，0）为圆心，3为半径画圆；

（2）以（0，﹣1）为圆心，1为半径向下画半圆；

（3）分别以（﹣1，1），（1，1）为圆心，0.5为半径画圆；

（4）分别以（﹣1，1），（1，1）为圆心，1为半径向上画半圆．

12019

1

﹣

2019

1

﹣

2019

（向上、向下指在经过圆心的水平线的上方和下方）

【考点】作图—复杂作图．

【分析】（1）直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出圆即可；

（2）直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出半圆即可；（3）

直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出圆即可；（4）直接利

用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出半圆即可．【解答】解：（1）

如图所示：⊙O，即为所求；

（2）如图所示：半圆O，即为所求；

（3）如图所示：⊙O，⊙O，即为所求；

（4）如图所示：半圆O，半圆O，即为所求．

20．下表是博文学校初三•教育事业 一班慧慧、聪聪两名学生入学以来10次数学检测成绩（单位：分）．

慧慧116

聪聪122

5123

9129

回答下列问题：

（1）分别求出慧慧和聪聪成绩的平均数；

（2）分别计算慧慧和聪聪两组数据的方差；

（3）根据（1）（2）你认为选谁参加全国数学竞赛更合适？并说明理由；

（4）由于初三•二班、初三•三班和初三•四班数学成绩相对薄弱，学校打算派慧慧和聪聪分别参加三个班的

数学业余辅导活动，求两名学生分别在初三•二班和初三•三班的概率．

【考点】列表法与树状图法；算术平均数；方差．

【分析】（1）把慧慧和聪聪的成绩都减去125，然后计算她们的咳嗽性哮喘 平均成绩；

（2）根据方差公式计算两组数据的方差；

（3）根据平均数的大小和方差的意义进行判断；

1

23

23

（4）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两名学生分别在初三•二班和初三•三班的结果数，然后

根据概率公式计算．

【解答】解：（1）慧慧的平均分数=125+（﹣9﹣1+5+1+6+2+1﹣3+0﹣2）=125（分），

聪聪的平均分数=125+（﹣3﹣1+0+3﹣6﹣5+6+3﹣11﹣6）=123（分）；

（2）慧慧成绩的方差S=[9+1+5+1+4+2+1+3+0+2]=14.2，

聪聪成绩的方差S=[1+1+2+5+4+3+8+5+9+4]=24.2，

（3）根据（1）可知慧慧的平均成绩要好于聪聪，根据（2）可知慧慧的方差小于聪聪的方差，因为方差越小

越稳定，所以慧慧的成绩比聪聪的稳定，因此选慧慧参加全国数学竞赛更合适一些．

（4）画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中两名学生分别在初三•二班和初三•三班的结果数为2，

所以两名学生分别在初三•二班和初三•三班的概率==．

21．为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛进行了全面调查，一测量船在A岛测得B岛在北偏

西30，C岛在北偏东15，航行100海里到达B岛，在B岛测得C岛在北偏东45，求B，C两岛及A，C两

岛的距离（≈2.45，结果保留到整数）

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【分析】过点B作BD⊥AC于点D，由等腰直角三角形的性质求出AD的长，再由直角三角形的性质即可得

出结论．

【解答】解：由题意知：∠BAC=45，∠FBA=30，∠EBC=45，AB=100海里；

过B点作BD⊥AC于点D，

∵∠BAC=45，

∴△BAD为等腰直角三角形；

∴BD=AD=50，∠ABD=45；

∴∠CBD=180﹣30﹣45﹣45=60，

∴∠C=30；

∴在△RtBCD中BC=100≈141海里，CD=50，

∴AC=AD+CD=50+50≈193海里．

22222222222

22222222222

22．如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条

纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．

（1）求配色条纹的宽度；

（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】（1）设条纹的宽度为x米，根据等量关系：配色条纹所占面积=整个地毯面积的，列出方程求解

即可；

（2）根据总价=单价数量，可分别求出地毯配色条纹和其余部分的钱数，再相加即可求解．

【解答】解：（1）设条纹的宽度为x米．依题意得

2x5+2x4﹣4x=54，

解得：x=（不符合，舍去），x=．

答：配色条纹宽度为米．

（2）条纹造价：54200=850（元）

其余部分造价：（1﹣）45100=1575（元）

∴总造价为：850+1575=2425（元）

答：地毯的总造价是2425元．

23．如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）三点在⊙P

上．（1）求圆的半径及圆心P的坐标；

（2）M为劣弧的中点，求证：AM是∠OAB的平分线；

（3）连接BM并延长交y轴于点N，求N，M点的坐标．

2

12

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）先利用勾股定理计算出AB=10，再利用圆周角定理的推理可判断AB为⊙P的直径，则得到⊙P的

半径是5，然后利用线段的中点坐标公式得到P点坐标；

（2）根据圆周角定理由=，∠OAM=∠MAB，于是可判断AM为∠OAB的平分线；

（3）连接PM交OB于点Q，如图，先利用垂径定理的推论得到PM⊥OB，BQ=OQ=OB=4，再利用勾股

定理计算出PQ=3，则MQ=2，于是可写出M点坐标，接着证明MQ为△BON的中位线得到ON=2MQ=4，

然后写出N点的坐标．

【解答】解：（1）∵O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0），

∴OA=6，OB=8，

∴AB==10，

∵∠AOB=90，

∴AB为⊙P的直径，

∴⊙P的半径是5

∵点P为AB的中点，

∴P（4，﹣3）；

（2）∵M点是劣弧OB的中点，

∴=，

∴∠OAM=∠MAB，

∴AM为∠OAB的平分线；

（3）连接PM交OB于点Q，如图，

∵=，

∴PM⊥OB，BQ=OQ=OB=4，

在△RtPBQ中，PQ=

∴MQ=2，

∴M点的坐标为（4，2）；

∵MQ∥ON，

而OQ=BQ，

∴MQ为△BON的中位线，

∴ON=2MQ海带冬瓜排骨汤 =4，

∴N点的坐标为（0，4）．

==3，

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象与一次函数y=k（x﹣2）的图象交点为A（3，

2），B（x，y）．

（1）求反比例函数与一次函数的解析式及B点坐标；

（2）若C是y轴上的点，且满△足ABC的面积为10，求C点坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）根据点A（3，2）在反比例函数y=，和一次函数y=k（x﹣2）上列出m和k的一元一次方程，

求出k和m的值即可；联立两函数解析式，求出交点坐标；

（2）设C点的坐标为（0，y），求出点M的坐标，再根据△ABC的面积为10，知3|y﹣（﹣4）|+

1|y﹣（﹣4）|=10，求出y的值即可．

【解答】解：（1）∵点A（3，2）在反比例函数y=，和一次函数y=k（x﹣2）上；

∴2=，2=k（3﹣2），解得m=6，开车腰疼 k=2；

∴反比例函数解析式为y=，和一次函数解析式为y=2x﹣4；

∵点B是一次函数与反比例函数的另一个交点，

∴=2x﹣4，解得x=3，x=﹣1；

∴B点的坐标为（﹣1，6）；

（2）∵点M是一次函数y=2x﹣4与y轴的交点，

∴点M的坐标为（0，﹣4），

设C点的坐标为（0，y），由题意知3|y﹣（﹣4）|+1|y﹣（﹣4）|=10，

解得|y+4|=5，

cc

cC

12

ccc

c

当y+4≥0时，y+4=5，解得Yc=1，当y

+4≤0时，y+4=﹣5，解得Yc=﹣9，∴点

C的坐标为（0，1）或（0，﹣9）．

25．如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是

1cm/秒，Q点的运动速度是2cm/秒，连接A，P并过Q作QE⊥AP垂足为E．

（1）求证：△ABP∽△QEA；

（2）当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA；

（3）设△QEA的面积为y，用运动时刻t

（3）时可不分先后）

表示△QEA的面积y（不要求考t的取值范围）．（提示：解答（2）

【考点】相似形综合题．

【分析】（1）根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质证明即可；

（2）根据全等三角形的判定和性质，利用勾股定理解答即可；（3）根

据相似三角形的性质得出函数解析式即可．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形；

∴∠BAP+∠QAE=∠B=90，

∵QE⊥AP；

∴∠QAE+∠EQA=∠AEQ=90

∴∠BAP=∠EQA，∠B=∠AEQ；

∴△ABP∽冬天的日记 △QEA（AA）

（2）∵△ABP≌△QEA；

∴AP=AQ（全等三角形的对应边相等）；

在△RTABP与△RTQEA中根据勾股定理得AP=3+t，AQ=（2t）

即3+t=（2t）

解得t=，t=﹣（不符合题意，舍去）

答：当t取时△ABP与△QEA全等．

（3）由（1）知△ABP∽△QEA；

∴=（）2

cc

cc

22222

222

12

∴=（）2

整理得：y=

．

26．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（3，5）．

（1）求过点A，C的直线解析式和过点A，B，C的抛物线的解析式；

（2）求过点A，B及抛物线的顶点D的⊙P的圆心P的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点Q，使AQ与⊙P相切，若存在请求出Q点坐标．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）利用抛物线和x轴的两个交点坐标，设出抛物线的解析式y=a（x﹣x）（x﹣x），代入即可得出

抛物线的解析式，再设出直线AC的解析式，利用待定系数法即可得出答案；

（2）先求得抛物线的顶点D的坐标，再设点P坐标（0，P），根据A，B，D三点在⊙P上，得PB=PD，列

出关于P的方程，求解即可得出P点的坐标；

（3）假设抛物线上存在这样的点Q使直线A乐器学 Q与⊙P相切，设Q点的坐标为（m，m﹣4），根据平面内两点

间的距离公式，即可得出关于m的方程，求出m的值，即可得出点Q的坐标．

【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），B（2，0）；

∴设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）（x+2）…①，

把C（3，5）代入①得a=1；

∴二次函数的解析式为：y=x﹣4；

设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0）…②

把A（﹣2，0），C（3，5）代入②得

解得，

∴一次函数的解析式为：y=x+2；

，

12

y

y

2

2

（2）设P点的坐标为（0，P），

由（1）知D点的坐标为（0，﹣4）；

∵A，B，D三点在⊙P上；

∴PB=PD；

∴2+P=（﹣4﹣P），

解得：P=﹣；

∴P点的坐标为（0，﹣）；

（3）在抛物线上存在这样的点Q使直线AQ与⊙P相切．

理由如下：设Q点的坐标为（m，m﹣4）；

根据平面内两点间的距离公式得：AQ=（m+2）+（m﹣4），PQ=m+（m﹣4+）；

∵AP=，

∴AP=

；

∵直线AQ是⊙P的切线，

∴AP⊥AQ；

∴PQ=AP+AQ，

即：m+（m﹣4+）=

+[（m+2）+（m﹣4）]

解得：m=，m=﹣2（与A点重合，舍去）

∴Q点的坐标为（

，）．

y

222

yy

y

2

22222222

2

222

222222

12

2019年8月10日