2023年垂直于弦的直径的推论(9篇)

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垂直于弦的直径的推论篇一

：

(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；

(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；

(3)通过圆的对称性，培养学生对的审美观，并激发学生对的热爱.

、难点：

重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的能力.

难点：垂径定理的证明.

活动设计：1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.

2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.

通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理.

已知：在⊙o中，cd是直径，ab是弦，cd⊥ab，垂足为e.

求证：ae=eb， = ， = .

证明：连结oa、ob，则oa=ob.又∵cd⊥ab，∴直线cd是等腰△oab的对称轴，又是⊙o的对称轴.所以沿着直径cd折叠时，cd两侧的两个半圆重合，a点和b点重合，ae和be重合， 、 分别和 、 重合.因此，ae=be， = ， = .从而得到圆的一条重要性质.

组织学生剖析垂径定理的条件和结论：

cd为⊙o的直径，cd⊥ab ae=eb， = ， = .

为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.

例1、如图，已知在⊙o中，弦ab的长为8cm，圆心o到ab的距离为3cm，求⊙o的半径.

分析：要求⊙o的半径，连结oa，只要求出oa的长就可以了，因为已知条件点o到ab的距离为3cm，所以作oe⊥ab于e，而ae＝eb＝ ab=4cm.此时解rt△aoe即可.

解：连结oa，作oe⊥ab于e.

则ae=eb.

∵ab=8cm，∴ae=4cm.

又∵oe=3cm，

在rt△aoe中，

(cm).

∴⊙o的半径为5 cm.

说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

关系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2

例2、 已知：如图，在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab交小圆于c、d两点.求证ac=bd.（证明略）

说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成.

练习1：教材p78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流.

指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.

教师组织学生进行：

知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用.

方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.

教材p84中11、12、13.

：

（1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用；

（2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力.促进学生创造思维水平的发展和提高

（3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系.

、难点：

重点：①垂径定理的两个推论；②对推论的探究方法.

难点：垂径定理的推论1.

活动设计：

1、复习提问：定理：平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧.

2、剖析：

（教师指导）

(二)新组合，发现新问题：（a层学生自己组合，小组交流，b层学生老师引导）

， ，……（包括原定理，一共有10种）

(三)探究新问题，归纳新结论：

练习1、“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?

（在推论1（1）中，为什么要附加“不是直径”这一条件.）

练习2、按图填空：在⊙o中，

（1）若mn⊥ab，mn为直径，则________，________，________；

（2）若ac＝bc，mn为直径，ab不是直径，则则________，________，________；

（3）若mn⊥ab，ac＝bc，则________，________，________；

（4）若 = ，mn为直径，则________，________，________.

（此题目的：巩固定理和推论）

例、四等分 .

（a层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完成）

教材p80中的第3题图，是典型的错误作.

此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过与教材p80中的第3题图的对比，加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解.培养学生的思维能力.

知识：垂径定理的两个推论.

能力：①推论的研究方法；②平分弧的作图.

教材p84中14题.

⑴要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题.

⑵培养学生严谨的逻辑推理能力；提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.

⑶通过例4（赵州桥）对学生进行爱国主义的；并向学生渗透来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想

：垂径定理及其推论在解题中的应用

：如何进行辅助线的添加

1.垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴ 直线过圆心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所对的优弧 ；⑸ 平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.

2.应用垂径定理及其推论计算（这里不管什么层次的学生都要自主研究）

涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

关系：r =h+d   ;  r2 =d2 + (a/2)2

3.常添加的辅助线：（学生归纳）

⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半径 .------构造直角三角形

4.可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据.

：（让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳）

例1、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为374米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形的高)为72米，求桥拱的半径(精确到01米).

说明：①对学生进行爱国主义的；②应用题的解题思路：实际问题——（转化，构造直角三角形）——问题.

例2、已知：⊙o的半径为5 ，弦ab∥cd ，ab =6 ，cd =8 .求：ab与cd间的距离.（让学生画图）

解：分两种情况：

（1）当弦ab、cd在圆心o的两侧

过点o作ef⊥ab于e，连结oa、oc，

又∵ab∥cd，∴ef⊥cd.（作辅助线是难点，学生往往作oe⊥ab，of⊥ab，就得ef=oe+of，错误的结论）

由ef过圆心o，ef⊥ab，ab =6，得ae=3，

在rt△oea中，由勾股定理，得

，∴

同理可得：of=3

∴ef=oe+of=4+3=7.

（2）当弦ab、cd在圆心o的同侧

同（1）的方法可得：oe=4，of=3.

∴.

说明：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力.

例3、 已知：如图，ab是⊙o的弦，半径oc∥ab ，ab=24 ，oc =15 .求：bc的长.

解：（略，过o作oe⊥ae于e ，过b作bf⊥oc于f ， =）

说明：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间找到关系.

p8l中1题.

在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后.截面如图所示，若油面宽ab=600mm，求油的最大深度.

学生分析，教师适当点拨.

分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心o到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决.

1垂径定理及其推论的应用注意指明条件.

2. 应用定理可以证明的问题；注重构造思想，方程思想、分类思想在解题中的应用.

教材p84中15、16题，p85中b组2、3题.

如图，直线mn与⊙o交于点a、b，cd是⊙o的直径，ce⊥mn于e，df⊥mn于f，oh⊥mn于h.

（1）线段ae、bf之间存在怎样的关系？线段ce、oh、df之间满足怎样的数量关系？并说明理由.

（2）当直线cd的两个端点在mn两侧时，上述关系是否仍能成立？如果不成立，它们之间又有什么关系？并说明理由.

（答案提示：（1）ae=bf，ce+df=2oh，（2）ae=bf仍然成立，ce+df=、df、oh之间应满足）

垂直于弦的直径的推论篇二

【教学内容】 垂径定理

【教学目标】

1.知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；

②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；

③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。

2.能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；

②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。

3.情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；

②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。

【教学重点】垂径定理及其应用。

【教学难点】垂径定理的证明。

【教学方法】探究发现法。

【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。

【教学设计】

一

1 放映幻灯片，请同学们观察几幅图片，看他们有什么共同特点？

那么圆具有这样的特点吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？

你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流.

（老师点评）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径.

4.

1.实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。

2.导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米拱高（弧的中点到弦ab的距离，

也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即弧ab所在圆的半径）是多少？

通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。      （图1幻灯片放映）

（一）学生活动

1让学生将准备好的一张圆形纸片按下列条件操作；教师用电脑演示重叠的过程。

如图，ab是⊙o的一条弦，做直径cd，使cd⊥ab，垂足为e.

2教师用电脑演示重叠的过程。

提问：（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.

（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是cd.

（2）ae=be，ad=bd  ac=bc

1.引导证明：

引导学生从以下两方面寻找证明思路。

①证明“ae=be”，可通过连结oa、ob来实现，利用等腰三角形性质证明。

②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。

2.归纳定理：

根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。

3.巩固定理：

a

d

在下列图形能否利用“垂径定理”得到相等的线段和相等的弧？若不能，说明理由；。

a

b

c

c

e

a

b

o

e

b

c

o

c

c

e

e

a

b

e

b

a

b

a

d

d

d

向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。

1.运用定理解决赵州桥的问题。

〖例1〗 导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米拱高（弧的中点到弦ab的距离，

也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即弧ab所在圆的半径）是多少 ？

分析：如图，用ab   表示主桥拱，设 ab  所在圆的圆心为o，半径为r.经过圆心o 作弦ab 的垂线oc，d为垂足，oc与ab 相交于点d，根据前面的结论，d 是ab 的中点，c是 ab  的中点，cd 就是拱高

在图中ab=37.4，cd=7.2

ad=1/2ab=1/2×37.4=18.7

od=oc-cd=r-7.2

在rt△oad中，由勾股定理，得

oa2=ad2+od2

即         r2=18.72+（r－7.2）2

解得：r≈27.9（m）

答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.

例2 如图，在⊙o中，弦ab的长为8cm，圆心o到ab的距离为3cm，求⊙o的半径.

解                          

答：⊙o的半径为5cm.

请大家围绕以下两个问题小结本节课

① 学习了一个与圆有关的重要定理，定 理的内容是什么？

② 在圆中解决与弦有关问题时经常做的辅助线是什么？

教材88页练习1，2题

2教材95页习题24.1   7、8、9；

垂直于弦的直径的推论篇三

第一课时 垂直于弦的直径(一)

教学目标:

(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程;能初步应用垂径定理进行计算和证实;

(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力;

(3)通过圆的对称性,培养学生对数学的审美观,并激发学生对数学的热爱.

教学重点、难点:

重点:①垂径定理及应用;②从感性到理性的学习能力.

难点:垂径定理的证实.

教学学习活动设计:

(一)实验活动,提出问题:

1、实验:让学生用自己的方法探究圆的对称性,教师引导学生努力发现:圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.

2、提出问题:老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.

通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理.

(二)垂径定理及证实:

已知:在⊙o中,cd是直径,ab是弦,cd⊥ab,垂足为e.

求证:ae=eb, = , = .

证实:连结oa、ob,则oa=ob.又∵cd⊥ab,∴直线cd是等腰△oab的对称轴,又是⊙o的对称轴.所以沿着直径cd折叠时,cd两侧的两个半圆重合,a点和b点重合,ae和be重合, 、 分别和 、 重合.因此,ae=be, = , = .从而得到圆的一条重要性质.

垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.

组织学生剖析垂径定理的条件和结论:

cd为⊙o的直径,cd⊥ab ae=eb, = , = .

为了运用的方便,不易出现错误,将原定理叙述为:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解,突出重点,分散难点,避免学生记混.

(三)应用和练习

例1、如图,已知在⊙o中,弦ab的长为8cm,圆心o到ab的距离为3cm,求⊙o的半径.

分析:要求⊙o的半径,连结oa,只要求出oa的长就可以了,因为已知条件点o到ab的距离为3cm,所以作oe⊥ab于e,而ae=eb= ab=4cm.此时解rt△aoe即可.

解:连结oa,作oe⊥ab于e.

则ae=eb.

∵ab=8cm,∴ae=4cm.

又∵oe=3cm,

在rt△aoe中,

(cm).

∴⊙o的半径为5 cm.

说明:①学生独立完成,老师指导解题步骤;②应用垂径定理计算:涉及四条线段的长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

关系:r = h d;r2 = d2 (a/2)2

例2、 已知:如图,在以o为圆心的两个同心圆中,大圆的弦ab交小圆于c、d两点.求证ac=bd.(证实略)

说明:此题为基础题目,对各个层次的学生都要求独立完成.

练习1:教材p78中练习1,2两道题.由学生分析思路,学生之间展开评价、交流.

指导学生归纳:①构造垂径定理的基本图形,垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法;②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.

(四)小节与反思

教师组织学生进行:

知识:(1)圆的轴对称性;(2)垂径定理及应用.

方法:(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法,构造直角三角形;(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距;(3)为了更好理解垂径定理,一条直线只要满足①过圆心;②垂直于弦;则可得③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.

(五)作业

教材p84中11、12、13.

第二课时 垂直于弦的直径(二)

教学目标:

(1)使学生把握垂径定理的两个推论及其简单的应用;

(2)通过对推论的探讨,逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题,概括问题的能力.促进学生创造思维水平的发展和提高

(3)渗透一般到非凡,非凡到一般的辩证关系.

教学重点、难点:

重点:①垂径定理的两个推论;②对推论的探究方法.

难点:垂径定理的推论1.

学习活动设计:

(一)分解定理(对定理的剖析)

1、复习提问:定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对应的两条弧.

2、剖析:

(教师指导)

(二)新组合,发现新问题:(a层学生自己组合,小组交流,b层学生老师引导)

, ,……(包括原定理,一共有10种)

(三)探究新问题,归纳新结论:

(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦对应的两条弧.

(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦对应的两条弧.

(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.

(4)圆的两条平行线所夹的弧相等.

(四)巩固练习:

练习1、“平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?

(在推论1(1)中,为什么要附加“不是直径”这一条件.)

练习2、按图填空:在⊙o中,

(1)若mn⊥ab,mn为直径,则________,________,________;

(2)若ac=bc,mn为直径,ab不是直径,则则________,________,________;

(3)若mn⊥ab,ac=bc,则________,________,________;

(4)若 = ,mn为直径,则________,________,________.

(此题目的:巩固定理和推论)

(五)应用、反思

例、四等分 .

(a层学生自主完成,对于其他层次的学生在老师指导下完成)

教材p80中的第3题图,是典型的错误作.

此题目的:是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法,通过学生自主操作培养学生的动手能力;通过与教材p80中的第3题图的对比,加深学生对感性知识的熟悉及理性知识的理解.培养学生的思维能力.

(六)小结:

知识:垂径定理的两个推论.

能力:①推论的研究方法;②平分弧的作图.

(七)作业:教材p84中14题.

第三课时 垂径定理及推论在解题中的应用

教学目的:

⑴要求学生把握垂径定理及其推论,会解决有关的证实,计算问题.

⑵培养学生严谨的逻辑推理能力;提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.

⑶通过例4(赵州桥)对学生进行爱国主义的教育;并向学生渗透数学来源于实践,又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想

教学重点:垂径定理及其推论在解题中的应用

教学难点:如何进行辅助线的添加

教学内容:

(一)复习

1.垂径定理及其推论1:对于一条直线和一个圆来说,具备下列五个条件中的任何个,那么也具有其他三个:⑴ 直线过圆心 ;⑵ 垂直于弦 ;⑶ 平分弦 ;⑷ 平分弦所对的优弧 ;⑸ 平分弦所对的劣弧.可简记为:“知2推3”

推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.

2.应用垂径定理及其推论计算(这里不管什么层次的学生都要自主研究)

涉及四条线段的长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

关系:r = h d ; r2 = d2 (a/2)2

3.常添加的辅助线:(学生归纳)

⑴ 作弦心距 ;⑵ 作半径 .构造直角三角形

4.可用于证实:线段相等、弧相等、角相等、垂直关系;同时为圆中的计算、作图提供依据.

(二)应用例题:(让学生分析,交流,解答,老师引导学生归纳)

例1、1300多年前,我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米,拱高(弧中点到弦的距离,也叫弓形的高)为7.2米,求桥拱的半径(精确到0.1米).

说明:①对学生进行爱国主义的教育;②应用题的解题思路:实际问题——(转化,构造直角三角形)——数学问题.

例2、已知:⊙o的半径为5 ,弦ab∥cd ,ab = 6 ,cd =8 .求:ab与cd间的距离.(让学生画图)

解:分两种情况:

(1)当弦ab、cd在圆心o的两侧

过点o作ef⊥ab于e,连结oa、oc,

又∵ab∥cd,∴ef⊥cd.(作辅助线是难点,学生往往作oe⊥ab,of⊥ab,就得ef=oe of,错误的结论)

由ef过圆心o,ef⊥ab,ab = 6,得ae=3,

在rt△oea中,由勾股定理,得

,∴

同理可得:of=3

∴ef=oe of=4 3=7.

(2)当弦ab、cd在圆心o的同侧

同(1)的方法可得:oe=4,of=3.

∴.

说明:①此题主要是渗透分类思想,培养学生的严密性思维和解题方法:确定图形——分析图形——数形结合——解决问题;②培养学生作辅助线的方法和能力.

例3、 已知:如图,ab是⊙o的弦,半径oc∥ab ,ab=24 ,oc = 15 .求:bc的长.

解:(略,过o作oe⊥ae于e ,过b作bf⊥oc于f , = )

说明:通过添加辅助线,构造直角三角形,并把已知与所求线段之间找到关系.

(三)应用练习:

p8l中1题.

在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后.截面如图所示,若油面宽ab=600mm,求油的最大深度.

学生分析,教师适当点拨.

分析:要求油的最大深度,就是求有油弓形的高,弓形的高是半径与圆心o到弦的距离差,从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形,然后利用垂径定理和勾股定理来解决.

(四)小结:

1. 垂径定理及其推论的应用注重指明条件.

2. 应用定理可以证实的问题;注重构造思想,方程思想、分类思想在解题中的应用.

(五)作业:教材p84中15、16题,p85中b组2、3题.

探究活动

如图,直线mn与⊙o交于点a、b,cd是⊙o的直径,ce⊥mn于e,df⊥mn于f,oh⊥mn于h.

(1)线段ae、bf之间存在怎样的关系?线段ce、oh、df之间满足怎样的数量关系?并说明理由.

(2)当直线cd的两个端点在mn两侧时,上述关系是否仍能成立?假如不成立,它们之间又有什么关系?并说明理由.

(答案提示:(1)ae=bf,ce df=2oh,(2)ae=bf仍然成立,ce df=、df、oh之间应满足)

垂直于弦的直径的推论篇四

教学目标1、使学生掌握垂径定理的两个推论；2、会利用推论1作一些简单的作图题.3、继续培养学生观察、比较、分析、概括问题的能力及动手操作的基本技能；教学重点： 垂径定理的两个推论.教学难点：垂径定理的推论1.教学过程：一、新课引入：同学们，上节课我们学习了圆的重要性质垂径定理.请两名中等生回答定理内容，并说出这个定理的题设和结论.这时教师引导学生观察.若（1）过圆心；（2）垂直于弦；则（3）平分弦；（4）平分这条弦所对的优弧；（5）平分这条弦所对的劣弧.将（2）和（3）对调，得到一个命题，将（1）和（3）对调，得到一个命题；然后将（2）和（4）或（5）对调，又得到一个命题.接着又将直径cd旋转到和弦ab平行时，又出现一个新命题.这时教师点题.“9.3垂直于弦的直径（二）”.刚才得到的四个命题，就是我们本节要学习的垂径定理的两个推论.教师这样做的目的是让学生明白垂径定理的两个推论，就是在原来定理的题设和结论做一小小的调换而得到的，使学生感觉新知识不新，容易产生兴趣，减轻学生的心理压力，使学生充满着自信投入到教学活动中.二、新课讲解：为了使学生真正体验垂径定理的重要，在取材处理上，没有象教科书那样直接给出推论1、推论2.而是将垂径定理的题设和结论进行对调，发现新命题，总结新命题，教师概括出推论1.再进一步将垂径定理的直径旋转到和弦ab平行时，又得到一个新命题，也就是推论2.这样不仅让学生了解了新知识与旧知识之间的联系，也体现了知识的连贯性和系统性.这样既开发了学生的智力，又调动了学生学习的积极性和主动性.同时又增强了学生应用数学的意识.学习提问：请回答垂径定理内容，并叙述定理的题设和结论.学生回答，教师板书，画出图形.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.若①过圆心，②垂直于弦，则③平分弦④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧.题  设                                     结  论将②和③对调，可得新命题为：

由于一个圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的.所以得到上面命题的结论，必须加上“弦不是直径”这一条件.教师用文字叙述为：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；将①和③对调，又得新命题为：④直线cd平分acb，⑤直线cd平分adb.从而得到：（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弦；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.以上三条是垂径定理的推论1；请同学继续观察，当直径cd旋转与弦ab平行时，可得新的命题为：

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.教师引导学生回述证明过程.数学表述成为：ab∥cd = .接着做练习：练习1：“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗？为什么？练习2：按图7-14填空：在⊙o中，

（1）若mn⊥ab，mn为直径，则______，______，______；（2）若ac=bc，mn为直径，ab不是直径，则______，______，______；（3）若mn⊥ab，ac=cb，则______，______，（4）若 = ，mn为直径，则______，______，______.这两个练习题学生回答，学生评价.练习题做完后教师接着讲例3.例3  平分已知弧 .教师引导学生回答已知，求作.

已知： .求作： 的中点.分析：要将 两等分，如何确定 的中点呢？学生在教师的启发下，想出作圆的方法，这时教师进一步提出问题；连结ab，作ab的垂直平分线交 于点e，为什么可以说e点是 的中点呢？根据什么？作图由学生自己完成.教师这样做的目的是引导学生学习平分弧的方法，通过积极思考得到解决办法，这样理解深刻，不容易出错.练习3：p.80中3（由学生完成）略.三、课堂小结：本节课主要学习了垂径定理的两个推论.利用推论1举出平分弧的作图.四、布置作业p.84中14题.补充作业：1.已知：如图7-15，ab为⊙o的直径，cd为弦，ec⊥cd，fd⊥cd，垂足分别为c，d.求证：ae=bf.

2.已知：如图7-16，ab为⊙o直径，cd为弦，ae⊥cd，bf⊥cd，垂足分别为e，f.求证：（1）cf=de（2）∠oef=zofe

垂直于弦的直径的推论篇五

目标：

(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；

(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；

(3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.

重点、难点：

重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力.

难点：垂径定理的证明.

学习活动设计：

1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.

2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.

通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理.

已知：在⊙o中，cd是直径，ab是弦，cd⊥ab，垂足为e.

求证：ae=eb， =， =.

证明：连结oa、ob，则oa=ob.又∵cd⊥ab，∴直线cd是等腰△oab的对称轴，又是⊙o的对称轴.所以沿着直径cd折叠时，cd两侧的两个半圆重合，a点和b点重合，ae和be重合， 、 分别和 、 重合.因此，ae=be， =， =.从而得到圆的一条重要性质.

组织学生剖析垂径定理的条件和结论：

cd为⊙o的直径，cd⊥ab ae=eb， =， =.

为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.

例1、如图，已知在⊙o中，弦ab的长为8cm，圆心o到ab的距离为3cm，求⊙o的半径.

分析：要求⊙o的半径，连结oa，只要求出oa的长就可以了，因为已知条件点o到ab的距离为3cm，所以作oe⊥ab于e，而ae＝eb＝ ab=4cm.此时解rt△aoe即可.

解：连结oa，作oe⊥ab于e.

则ae=eb.

∵ab=8cm，∴ae=4cm.

又∵oe=3cm，

在rt△aoe中，

(cm).

∴⊙o的半径为5 cm.

说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

关系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2

例2、 已知：如图，在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab交小圆于c、d两点.求证ac=bd.（证明略）

说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成.

练习1：教材p78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流.

指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.

组织学生进行：

知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用.

方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.

教材p84中11、12、13.

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垂直于弦的直径的推论篇六

：

(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；

(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；

(3)通过圆的对称性，培养学生对的审美观，并激发学生对的热爱.

、难点：

重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的能力.

难点：垂径定理的证明.

活动设计：1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.

2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.

通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理.

已知：在⊙o中，cd是直径，ab是弦，cd⊥ab，垂足为e.

求证：ae=eb， =， =.

证明：连结oa、ob，则oa=ob.又∵cd⊥ab，∴直线cd是等腰△oab的对称轴，又是⊙o的对称轴.所以沿着直径cd折叠时，cd两侧的两个半圆重合，a点和b点重合，ae和be重合， 、 分别和 、 重合.因此，ae=be， =， =.从而得到圆的一条重要性质.

组织学生剖析垂径定理的条件和结论：

cd为⊙o的直径，cd⊥ab ae=eb， =， =.

为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.

例1、如图，已知在⊙o中，弦ab的长为8cm，圆心o到ab的距离为3cm，求⊙o的半径.

分析：要求⊙o的半径，连结oa，只要求出oa的长就可以了，因为已知条件点o到ab的距离为3cm，所以作oe⊥ab于e，而ae＝eb＝ ab=4cm.此时解rt△aoe即可.

解：连结oa，作oe⊥ab于e.

则ae=eb.

∵ab=8cm，∴ae=4cm.

又∵oe=3cm，

在rt△aoe中，

(cm).

∴⊙o的半径为5 cm.

说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

关系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2

例2、 已知：如图，在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab交小圆于c、d两点.求证ac=bd.（证明略）

说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成.

练习1：教材p78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流.

指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.

教师组织学生进行：

知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用.

方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.

教材p84中11、12、13.

：

（1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用；

（2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力.促进学生创造思维水平的发展和提高

（3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系.

、难点：

重点：①垂径定理的两个推论；②对推论的探究方法.

难点：垂径定理的推论1.

活动设计：

1、复习提问：定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧.

2、剖析：

（教师指导）

(二)新组合，发现新问题：（a层学生自己组合，小组交流，b层学生老师引导）

， ，……（包括原定理，一共有10种）

(三)探究新问题，归纳新结论：

练习1、“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?

（在推论1（1）中，为什么要附加“不是直径”这一条件.）

练习2、按图填空：在⊙o中，

（1）若mn⊥ab，mn为直径，则________，________，________；

（2）若ac＝bc，mn为直径，ab不是直径，则则________，________，________；

（3）若mn⊥ab，ac＝bc，则________，________，________；

（4）若 =，mn为直径，则________，________，________.

（此题目的：巩固定理和推论）

例、四等分 .

（a层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完成）

教材p80中的第3题图，是典型的错误作.

此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过与教材p80中的第3题图的对比，加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解.培养学生的思维能力.

知识：垂径定理的两个推论.

能力：①推论的研究方法；②平分弧的作图.

教材p84中14题.

⑴要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题.

⑵培养学生严谨的逻辑推理能力；提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.

⑶通过例4（赵州桥）对学生进行爱国主义的；并向学生渗透来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想

：垂径定理及其推论在解题中的应用

：如何进行辅助线的添加

1.垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴ 直线过圆心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所对的优弧 ；⑸ 平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.

2.应用垂径定理及其推论计算（这里不管什么层次的学生都要自主研究） 

涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

关系：r =h+d   ;  r2 =d2 + (a/2)2

3.常添加的辅助线：（学生归纳）

⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半径 .------构造直角三角形

4.可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据.

：（让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳）

例1、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为374米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形的高)为72米，求桥拱的半径(精确到01米).

说明：①对学生进行爱国主义的；②应用题的解题思路：实际问题——（转化，构造直角三角形）——问题.

例2、已知：⊙o的半径为5 ，弦ab∥cd ，ab =6 ，cd =8 .求：ab与cd间的距离.（让学生画图）

解：分两种情况：

（1）当弦ab、cd在圆心o的两侧

过点o作ef⊥ab于e，连结oa、oc，

又∵ab∥cd，∴ef⊥cd.（作辅助线是难点，学生往往作oe⊥ab，of⊥ab，就得ef=oe+of，错误的结论）

由ef过圆心o，ef⊥ab，ab =6，得ae=3，

在rt△oea中，由勾股定理，得

，∴

同理可得：of=3

∴ef=oe+of=4+3=7.

（2）当弦ab、cd在圆心o的同侧

同（1）的方法可得：oe=4，of=3.

∴.

说明：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力.

例3、 已知：如图，ab是⊙o的弦，半径oc∥ab ，ab=24 ，oc =15 .求：bc的长.

解：（略，过o作oe⊥ae于e ，过b作bf⊥oc于f ， =）

说明：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间找到关系.

p8l中1题.

在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后.截面如图所示，若油面宽ab=600mm，求油的最大深度.

学生分析，教师适当点拨.

分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心o到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决.

1垂径定理及其推论的应用注意指明条件.

2. 应用定理可以证明的问题；注重构造思想，方程思想、分类思想在解题中的应用.

教材p84中15、16题，p85中b组2、3题.

如图，直线mn与⊙o交于点a、b，cd是⊙o的直径，ce⊥mn于e，df⊥mn于f，oh⊥mn于h.

（1）线段ae、bf之间存在怎样的关系？线段ce、oh、df之间满足怎样的数量关系？并说明理由.

（2）当直线cd的两个端点在mn两侧时，上述关系是否仍能成立？如果不成立，它们之间又有什么关系？并说明理由.

（答案提示：（1）ae=bf，ce+df=2oh，（2）ae=bf仍然成立，ce+df=、df、oh之间应满足）

垂直于弦的直径的推论篇七

目标：

(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；

(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；

(3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.

重点、难点：

重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力.

难点：垂径定理的证明.

学习活动设计：

1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.

2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.

通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理.

已知：在⊙o中，cd是直径，ab是弦，cd⊥ab，垂足为e.

求证：ae=eb， =， =.

证明：连结oa、ob，则oa=ob.又∵cd⊥ab，∴直线cd是等腰△oab的对称轴，又是⊙o的对称轴.所以沿着直径cd折叠时，cd两侧的两个半圆重合，a点和b点重合，ae和be重合， 、 分别和 、 重合.因此，ae=be， =， =.从而得到圆的一条重要性质.

组织学生剖析垂径定理的条件和结论：

cd为⊙o的直径，cd⊥ab ae=eb， =， =.

为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.

例1、如图，已知在⊙o中，弦ab的长为8cm，圆心o到ab的距离为3cm，求⊙o的半径.

分析：要求⊙o的半径，连结oa，只要求出oa的长就可以了，因为已知条件点o到ab的距离为3cm，所以作oe⊥ab于e，而ae＝eb＝ ab=4cm.此时解rt△aoe即可.

解：连结oa，作oe⊥ab于e.

则ae=eb.

∵ab=8cm，∴ae=4cm.

又∵oe=3cm，

在rt△aoe中，

(cm).

∴⊙o的半径为5 cm.

说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

关系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2

例2、 已知：如图，在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab交小圆于c、d两点.求证ac=bd.（证明略）

说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成.

练习1：教材p78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流.

指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.

组织学生进行：

知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用.

方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.

教材p84中11、12、13.

目标：

（1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用；

（2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力.促进学生创造思维水平的发展和提高

（3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系.

重点、难点：

重点：①垂径定理的两个推论；②对推论的探究方法.

难点：垂径定理的推论1.

1、复习提问：定理：平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧.

2、剖析：

（指导）

(二)新组合，发现新问题：（a层学生自己组合，小组交流，b层学生老师引导）

， ，……（包括原定理，一共有10种）

(三)探究新问题，归纳新结论：

练习1、“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?

（在推论1（1）中，为什么要附加“不是直径”这一条件.）

练习2、按图填空：在⊙o中，

（1）若mn⊥ab，mn为直径，则________，________，________；

（2）若ac＝bc，mn为直径，ab不是直径，则则________，________，________；

（3）若mn⊥ab，ac＝bc，则________，________，________；

（4）若 =，mn为直径，则________，________，________.

（此题目的：巩固定理和推论）

例、四等分 .

（a层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完成）

教材p80中的第3题图，是典型的错误作.

此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过与教材p80中的第3题图的对比，加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解.培养学生的思维能力.

知识：垂径定理的两个推论.

能力：①推论的研究方法；②平分弧的作图.

教材p84中14题.

目的：

⑴要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题.

⑵培养学生严谨的逻辑推理能力；提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.

⑶通过例4（赵州桥）对学生进行爱国主义的；并向学生渗透数学来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想

重点：垂径定理及其推论在解题中的应用

难点：如何进行辅助线的添加

内容：

1.垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴ 直线过圆心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所对的优弧 ；⑸ 平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.

2.应用垂径定理及其推论计算（这里不管什么层次的学生都要自主研究）

涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

关系：r =h+d   ;  r2 =d2 + (a/2)2

3.常添加的辅助线：（学生归纳）

⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半径 .------构造直角三角形

4.可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据.

：（让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳）

例1、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为374米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形的高)为72米，求桥拱的半径(精确到01米).

说明：①对学生进行爱国主义的；②应用题的解题思路：实际问题——（转化，构造直角三角形）——数学问题.

例2、已知：⊙o的半径为5 ，弦ab∥cd ，ab =6 ，cd =8 .求：ab与cd间的距离.（让学生画图）

解：分两种情况：

（1）当弦ab、cd在圆心o的两侧

过点o作ef⊥ab于e，连结oa、oc，

又∵ab∥cd，∴ef⊥cd.（作辅助线是难点，学生往往作oe⊥ab，of⊥ab，就得ef=oe+of，错误的结论）

由ef过圆心o，ef⊥ab，ab =6，得ae=3，

在rt△oea中，由勾股定理，得

，∴

同理可得：of=3

∴ef=oe+of=4+3=7.

（2）当弦ab、cd在圆心o的同侧

同（1）的方法可得：oe=4，of=3.

∴.

说明：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力.

例3、 已知：如图，ab是⊙o的弦，半径oc∥ab ，ab=24 ，oc =15 .求：bc的长.

解：（略，过o作oe⊥ae于e ，过b作bf⊥oc于f ， =）

说明：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间找到关系.

p8l中1题.

在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后.截面如图所示，若油面宽ab=600mm，求油的最大深度.

学生分析，适当点拨.

分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心o到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决.

1垂径定理及其推论的应用注意指明条件.

2. 应用定理可以证明的问题；注重构造思想，方程思想、分类思想在解题中的应用.

教材p84中15、16题，p85中b组2、3题.

如图，直线mn与⊙o交于点a、b，cd是⊙o的直径，ce⊥mn于e，df⊥mn于f，oh⊥mn于h.

（1）线段ae、bf之间存在怎样的关系？线段ce、oh、df之间满足怎样的数量关系？并说明理由.

（2）当直线cd的两个端点在mn两侧时，上述关系是否仍能成立？如果不成立，它们之间又有什么关系？并说明理由.

（答案提示：（1）ae=bf，ce+df=2oh，（2）ae=bf仍然成立，ce+df=、df、oh之间应满足）

垂直于弦的直径的推论篇八

：

(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；

(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；

(3)通过圆的对称性，培养学生对的审美观，并激发学生对的热爱.

、难点：

重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的能力.

难点：垂径定理的证明.

活动设计：1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.

2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.

通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理.

已知：在⊙o中，cd是直径，ab是弦，cd⊥ab，垂足为e.

求证：ae=eb， = ， = .

证明：连结oa、ob，则oa=ob.又∵cd⊥ab，∴直线cd是等腰△oab的对称轴，又是⊙o的对称轴.所以沿着直径cd折叠时，cd两侧的两个半圆重合，a点和b点重合，ae和be重合， 、 分别和 、 重合.因此，ae=be， = ， = .从而得到圆的一条重要性质.

组织学生剖析垂径定理的条件和结论：

cd为⊙o的直径，cd⊥ab ae=eb， = ， = .

为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.

例1、如图，已知在⊙o中，弦ab的长为8cm，圆心o到ab的距离为3cm，求⊙o的半径.

分析：要求⊙o的半径，连结oa，只要求出oa的长就可以了，因为已知条件点o到ab的距离为3cm，所以作oe⊥ab于e，而ae＝eb＝ ab=4cm.此时解rt△aoe即可.

解：连结oa，作oe⊥ab于e.

则ae=eb.

∵ab=8cm，∴ae=4cm.

又∵oe=3cm，

在rt△aoe中，

(cm).

∴⊙o的半径为5 cm.

说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

关系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2

例2、 已知：如图，在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab交小圆于c、d两点.求证ac=bd.（证明略）

说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成.

练习1：教材p78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流.

指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.

教师组织学生进行：

知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用.

方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.

教材p84中11、12、13.

：

（1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用；

（2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力.促进学生创造思维水平的发展和提高

（3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系.

、难点：

重点：①垂径定理的两个推论；②对推论的探究方法.

难点：垂径定理的推论1.

活动设计：

1、复习提问：定理：平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧.

2、剖析：

（教师指导）

(二)新组合，发现新问题：（a层学生自己组合，小组交流，b层学生老师引导）

， ，……（包括原定理，一共有10种）

(三)探究新问题，归纳新结论：

练习1、“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?

（在推论1（1）中，为什么要附加“不是直径”这一条件.）

练习2、按图填空：在⊙o中，

（1）若mn⊥ab，mn为直径，则________，________，________；

（2）若ac＝bc，mn为直径，ab不是直径，则则________，________，________；

（3）若mn⊥ab，ac＝bc，则________，________，________；

（4）若 = ，mn为直径，则________，________，________.

（此题目的：巩固定理和推论）

例、四等分 .

（a层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完成）

教材p80中的第3题图，是典型的错误作.

此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过与教材p80中的第3题图的对比，加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解.培养学生的思维能力.

知识：垂径定理的两个推论.

能力：①推论的研究方法；②平分弧的作图.

教材p84中14题.

⑴要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题.

⑵培养学生严谨的逻辑推理能力；提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.

⑶通过例4（赵州桥）对学生进行爱国主义的；并向学生渗透来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想

：垂径定理及其推论在解题中的应用

：如何进行辅助线的添加

1.垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴ 直线过圆心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所对的优弧 ；⑸ 平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.

2.应用垂径定理及其推论计算（这里不管什么层次的学生都要自主研究）

涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

关系：r =h+d   ;  r2 =d2 + (a/2)2

3.常添加的辅助线：（学生归纳）

⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半径 .------构造直角三角形

4.可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据.

：（让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳）

例1、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为374米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形的高)为72米，求桥拱的半径(精确到01米).

说明：①对学生进行爱国主义的；②应用题的解题思路：实际问题——（转化，构造直角三角形）——问题.

例2、已知：⊙o的半径为5 ，弦ab∥cd ，ab =6 ，cd =8 .求：ab与cd间的距离.（让学生画图）

解：分两种情况：

（1）当弦ab、cd在圆心o的两侧

过点o作ef⊥ab于e，连结oa、oc，

又∵ab∥cd，∴ef⊥cd.（作辅助线是难点，学生往往作oe⊥ab，of⊥ab，就得ef=oe+of，错误的结论）

由ef过圆心o，ef⊥ab，ab =6，得ae=3，

在rt△oea中，由勾股定理，得

，∴

同理可得：of=3

∴ef=oe+of=4+3=7.

（2）当弦ab、cd在圆心o的同侧

同（1）的方法可得：oe=4，of=3.

∴.

说明：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力.

例3、 已知：如图，ab是⊙o的弦，半径oc∥ab ，ab=24 ，oc =15 .求：bc的长.

解：（略，过o作oe⊥ae于e ，过b作bf⊥oc于f ， =）

说明：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间找到关系.

p8l中1题.

在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后.截面如图所示，若油面宽ab=600mm，求油的最大深度.

学生分析，教师适当点拨.

分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心o到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决.

1垂径定理及其推论的应用注意指明条件.

2. 应用定理可以证明的问题；注重构造思想，方程思想、分类思想在解题中的应用.

教材p84中15、16题，p85中b组2、3题.

如图，直线mn与⊙o交于点a、b，cd是⊙o的直径，ce⊥mn于e，df⊥mn于f，oh⊥mn于h.

（1）线段ae、bf之间存在怎样的关系？线段ce、oh、df之间满足怎样的数量关系？并说明理由.

（2）当直线cd的两个端点在mn两侧时，上述关系是否仍能成立？如果不成立，它们之间又有什么关系？并说明理由.

（答案提示：（1）ae=bf，ce+df=2oh，（2）ae=bf仍然成立，ce+df=、df、oh之间应满足）

垂直于弦的直径的推论篇九

：

(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；

(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；

(3)通过圆的对称性，培养学生对的审美观，并激发学生对的热爱.

、难点：

重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的能力.

难点：垂径定理的证明.

活动设计：1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.

2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.

通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理.

已知：在⊙o中，cd是直径，ab是弦，cd⊥ab，垂足为e.

求证：ae=eb， =， =.

证明：连结oa、ob，则oa=ob.又∵cd⊥ab，∴直线cd是等腰△oab的对称轴，又是⊙o的对称轴.所以沿着直径cd折叠时，cd两侧的两个半圆重合，a点和b点重合，ae和be重合， 、 分别和 、 重合.因此，ae=be， =， =.从而得到圆的一条重要性质.

组织学生剖析垂径定理的条件和结论：

cd为⊙o的直径，cd⊥ab ae=eb， =， =.

为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.

例1、如图，已知在⊙o中，弦ab的长为8cm，圆心o到ab的距离为3cm，求⊙o的半径.

分析：要求⊙o的半径，连结oa，只要求出oa的长就可以了，因为已知条件点o到ab的距离为3cm，所以作oe⊥ab于e，而ae＝eb＝ ab=4cm.此时解rt△aoe即可.

解：连结oa，作oe⊥ab于e.

则ae=eb.

∵ab=8cm，∴ae=4cm.

又∵oe=3cm，

在rt△aoe中，

(cm).

∴⊙o的半径为5 cm.

说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

关系：r =h+d； r2 =d2 + (a/2)2

例2、 已知：如图，在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab交小圆于c、d两点.求证ac=bd.（证明略）

说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成.

练习1：教材p78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流.

指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.

教师组织学生进行：

知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用.

方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.

教材p84中11、12、13.

：

（1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用；

（2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力.促进学生创造思维水平的发展和提高

（3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系.

、难点：

重点：①垂径定理的两个推论；②对推论的探究方法.

难点：垂径定理的推论1.

活动设计：

1、复习提问：定理：平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧.

2、剖析：

（教师指导）

(二)新组合，发现新问题：（a层学生自己组合，小组交流，b层学生老师引导）

， ，……（包括原定理，一共有10种）

(三)探究新问题，归纳新结论：

练习1、“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?

（在推论1（1）中，为什么要附加“不是直径”这一条件.）

练习2、按图填空：在⊙o中，

（1）若mn⊥ab，mn为直径，则________，________，________；

（2）若ac＝bc，mn为直径，ab不是直径，则则________，________，________；

（3）若mn⊥ab，ac＝bc，则________，________，________；

（4）若 =，mn为直径，则________，________，________.

（此题目的：巩固定理和推论）

例、四等分 .

（a层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完成）

教材p80中的第3题图，是典型的错误作.

此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过与教材p80中的第3题图的对比，加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解.培养学生的思维能力.

知识：垂径定理的两个推论.

能力：①推论的研究方法；②平分弧的作图.

教材p84中14题.

⑴要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题.

⑵培养学生严谨的逻辑推理能力；提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.

⑶通过例4（赵州桥）对学生进行爱国主义的；并向学生渗透来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想

：垂径定理及其推论在解题中的应用

：如何进行辅助线的添加

1.垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴ 直线过圆心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所对的优弧 ；⑸ 平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.

2.应用垂径定理及其推论计算（这里不管什么层次的学生都要自主研究）

涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

关系：r =h+d   ;  r2 =d2 + (a/2)2

3.常添加的辅助线：（学生归纳）

⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半径 .------构造直角三角形

4.可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据.

：（让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳）

例1、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为374米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形的高)为72米，求桥拱的半径(精确到01米).

说明：①对学生进行爱国主义的；②应用题的解题思路：实际问题——（转化，构造直角三角形）——问题.

例2、已知：⊙o的半径为5 ，弦ab∥cd ，ab =6 ，cd =8 .求：ab与cd间的距离.（让学生画图）

解：分两种情况：

（1）当弦ab、cd在圆心o的两侧

过点o作ef⊥ab于e，连结oa、oc，

又∵ab∥cd，∴ef⊥cd.（作辅助线是难点，学生往往作oe⊥ab，of⊥ab，就得ef=oe+of，错误的结论）

由ef过圆心o，ef⊥ab，ab =6，得ae=3，

在rt△oea中，由勾股定理，得

，∴

同理可得：of=3

∴ef=oe+of=4+3=7.

（2）当弦ab、cd在圆心o的同侧

同（1）的方法可得：oe=4，of=3.

∴.

说明：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力.

例3、 已知：如图，ab是⊙o的弦，半径oc∥ab ，ab=24 ，oc =15 .求：bc的长.

解：（略，过o作oe⊥ae于e ，过b作bf⊥oc于f ， =）

说明：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间找到关系.

p8l中1题.

在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后.截面如图所示，若油面宽ab=600mm，求油的最大深度.

学生分析，教师适当点拨.

分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心o到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决.

1垂径定理及其推论的应用注意指明条件.

2. 应用定理可以证明的问题；注重构造思想，方程思想、分类思想在解题中的应用.

教材p84中15、16题，p85中b组2、3题.

如图，直线mn与⊙o交于点a、b，cd是⊙o的直径，ce⊥mn于e，df⊥mn于f，oh⊥mn于h.

（1）线段ae、bf之间存在怎样的关系？线段ce、oh、df之间满足怎样的数量关系？并说明理由.

（2）当直线cd的两个端点在mn两侧时，上述关系是否仍能成立？如果不成立，它们之间又有什么关系？并说明理由.

（答案提示：（1）ae=bf，ce+df=2oh，（2）ae=bf仍然成立，ce+df=、df、oh之间应满足）