几何证明【优秀5篇】

初二几何证明题

1、

已知：如图，在△abc中，ad⊥bc，垂足为d，be⊥ac，垂足为e。m为ab中点，联结me,md、ed

求证：角emd=2角dac

证明：

∵m为ab边的中点，ad⊥bc，be⊥ac，∴md=me=ma=mb（斜边上的中线=斜边的一半）∴△med为等腰三角形∵me=ma

∴∠mae=∠mea∴∠bme=2∠mae∵md=ma

∴∠mad=∠mda,∴∠bmd=2∠mad,∵∠emd=∠bme-∠bmd=2∠mae-2∠mad=2∠dac

2、

如图，已知四边形abcd中，ad=bc,e、f分别是ab、cd中点，ad、bc的延长线与ef的延长线交于点h、d

求证：∠ahe=∠bge

证明：连接ac，作em‖ad交ac于m，连接mf.如下图：

∵e是cd的中点，且em‖ad，

∴em=1/2ad，m是ac的中点，又因为f是ab的中点

∴mf‖bc，且mf=1/2bc.

∵ad=bc，

∴em=mf，三角形mef为等腰三角形，即∠mef=∠mfe.

∵em‖ah，∴∠mef=∠ahf

∵fm‖bg，∴∠mfe=∠bgf

∴∠ahf=∠bgf.

3、

写出“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题，并证明它是一个真命题

这是经典问题，证明方法有很多种，对于初二而言，

下面的反证法应该可以接受

如图，已知bd平分∠abc,ce平分∠acb,bd=ce,求证:ab=ac

证明:

bd平分∠abc==>be/ae=bc/ac==>be/ab=bc/(bc+ac)

==>be=ab*bc/(bc+ac)

同理:cd=ac*bc/(bc+ab)

假设ab≠ac,不妨设ab>ac.。.。.(*)

ab>ac==>bc+acac*bc

==>ab*ab/(bc+ac)>ac*bc/(bc+ab)

==>be>cd

ab>ac==>∠acb>∠abc

∠bec=∠a+∠acb/2,∠bdc=∠a+∠abc/2

==>∠bec>∠bdc

过b作ce平行线，过c作ab平行线，交于f,连df

则becf为平行四边形==>∠bfc=∠bec>∠bdc.。.。.(1)

bf=ce=bd==>∠bdf=∠bfd

cf=be>cd==>∠cdf>∠cfd

==>∠bdf+∠cdf>∠bfd+∠cfd==>∠bdc>∠bfc.。.(2)

（1)(2)矛盾，从而假设(*）不成立

所以ab=ac。

2、

两地角的平分线相等，为等腰三角形

作三角形abc,cd,be为角c,b的角平分线，交于ab,be.两平分线交点为o

连结de,即de平行bc，所以三角形doc与cob相似。

有do/dc=eo/eb,又eb=dc所以do=eo,三角形cob为等腰

又角ode=ocb=oed=obc

又因为be和dc是叫平分线，所以容易得出角c=角b（这个打出来太麻烦了），即abc为等腰。

如何做几何证明题

１、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对提高学生学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型；一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

２、掌握分析、证明几何问题的常用方法：

（１）综合法：从已知条件出发，通过有关定义、性质、识别条件、事实的应用，逐步向前推进，直到问题的解决。

（２）分析法：从证明的问题考虑，推导使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证明的结论继续往回推导，如此逐步往上逆求，直到已知条件为止。

时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短已知与求证的距离，最后达到证明目的。

３、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形，在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件，转化问题的目的。

（1） 如图，在三角形abc中，bd,ce是高，fg分别为ed,bc的中点，o是外心，求证ao∥fg 问题补充：

证明:延长ao,交圆o于m,连接bm,则:∠abm=90°，且∠m=∠acb.

∠aec=∠adb=90°，∠eac=∠dab,则⊿aec∽⊿adb,ae/ad=ac/ab;

又∠ead=∠cab,则⊿ead∽⊿cab,得∠aed=∠acb=∠m.

∴∠aed+∠bam=∠m+∠bam=90°，得ao⊥de.---------------------------------------(1)

连接dg,eg.点g为bc的中点，则dg=bc/2;（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半） 同理可证:eg=bc/2.故dg=eg.

又f为de的中点，则fg⊥de.（等腰三角形底边的中线也是底边的高）-----------------(2) 所以，ao∥fg.

（2） 已知梯形abcd中，对角线ac与腰bc相等，m是底边ab的中点，l是边da延长线上一点连接lm并延长交对角线bd于n点

延长lm至e，使lm＝me。

∵am＝mb，lm＝me，∴albe是平行四边形，∴al＝be，al∥eb，∴ln/en＝dn/bn。

延长cn交ab于f，令lc与ab的交点为g。。

∵ab是梯形abcd的底边，∴bf∥cd，∴cn/fn＝dn/bn。

由ln/en＝dn/bn，cn/fn＝dn/bn，得：ln/en＝dn/bn，∴lc∥fe，∴∠glm＝∠feb。

由al∥eb，得：∠lag＝∠ebf，∠alm＝∠bem。

由∠alm＝∠bem，∠glm＝∠feb，得：∠alm－∠glm＝∠bem－∠feb，

∴∠alg＝∠bef，结合证得的∠lag＝∠ebf，al＝be，得：△alg≌△bef，∴ag＝bf。

∵ac＝bc，∴∠cag＝∠cbf，结合证得的ag＝bf，得：△acg≌△bcf，∴acl＝∠bcn。

（3） 如图，三角形abc中，d,e分别在边ab,ac上且bd=ce,f,g分别为be,cd的中点，直线fg交

ab于p,交ac于q.求证:ap=aq

取bc中点为h

连接hf,hg并分别延长交ab于m点，交ac于n点

由于h，f均为中点

易得：

hm‖ac,hn‖ab

hf=ce/2,hg=bd/2

得到：

∠bmh=∠a

∠cnh=∠a

又：bd=ce

于是得：

hf=hg

在△hfg中即得：

∠hfg=∠hgf

即：∠pfm=∠qgn

于是在△pfm中得：

∠apq=180°-∠bmh-∠pfm=180°-∠a-∠qgn

在△qng中得：

∠aqp=180°-∠cnh-∠qgn=180°-∠a-∠qgn

即证得：

∠apq=∠aqp

在△apq中易得到： ap=aq

（4） abcd为圆内接凸四边形，取△dab，△abc，△bcd，△cda的内心o，o，o，o．求证：oooo为矩形． 1234

1234

已知锐角三角形abc的外接圆o，过b,c作圆的切线交于e，连结ae，m为bc的中点。求证角bam=角eac。

设点o为△abc外接圆圆心，连接op；

则o、e、m三点共线，都在线段bc的垂直平分线上。

设am和圆o相交于点q，连接oq、ob。

由切割线定理，得：mb2 = q·ma ；

由射影定理，可得：mb2 = me·mo ；

∴mq·ma = me·mo ，

即mq∶mo = me∶ma ；

又∵ ∠omq = ∠ame ，

∴△omq ∽ △am(推荐打开范文网e ，

可得：∠moq = ∠mae 。

设om和圆o相交于点d，连接ad。

∵弧bd = 弧cd ，

∴∠bad = ∠cad 。

∵∠daq = (1/2)∠moq = (1/2)∠mae ，

∴∠dae = ∠mae - ∠daq = (1/2)∠mae = ∠daq 。

∴∠bae = ∠bad - ∠dae = ∠cad - ∠daq = ∠cam 。

设ad、be、cf是△abc的高线，则△def称为△abc的垂足三角形，证明这些高线平分垂足三角形的内角或外角 设交点为o，

oe⊥ec，od⊥dc，

则cdoe四点共圆，

由圆周角定理，

∠ode=∠oce。

cf⊥fc，ad⊥dc，

则acdf四点共圆，

由圆周角定理，

∠adf=∠acf=∠oce=∠ode，

ad平分∠edf。

其他同理。

平行四边形内有一点p，满足角pab=角pcb，求证：角pba=角pda

过p作ph//da，使ph=ad，连结ah、bh

∴四边形ahpd是平行四边形

∴∠pha=∠pda，hp//=ad

∵四边形abcd是平行四边形

∴ad//=bc

∴hp//=bc

∴四边形phbc是平行四边形

∴∠phb=∠pcb

又∠pab=∠pcb

∴∠pab=∠phb

∴a、h、b、p四点共圆

∴∠pha=∠pba

∴∠pba＝∠pda

补充：

补充：

把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，

若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．

已知点o为三角型abc在平面内的一点，且向量oa2+bc2=ob2+ca2=oc2+ab2,，则o为三角型abc的（）

只说左边2式子 其他一样

oa2+bc2=ob2+ca2 移项后平方差公式可得

(oa+ob)(oa-ob)=(ca+bc)(ca-bc)化简

得 ba(oa+ob)=ba(ca-bc)

移项并合并得ba(oa+ob+bc-ca)=0

即 ba*2oc=0 所以ba和oc垂直

同理ac垂直bo bc垂直ao哈哈啊是垂心

设h是△abc的垂心，求证：ah2+bc2=hb2+ac2=hc2+ab2．

作△abc的外接圆及直径ap．连接bp．高ad的延长线交外接圆于g，连接cg． 易证∠hcb=∠bcg，

从而△hcd≌△gcd．

故ch=gc．

又显然有∠bap=∠dac，

从而gc=bp．

从而又有ch2+ab2=bp2+ab2=ap2=4r2．

同理可证ah2+bc2=bh2+ac2=4r2．

2014几何证明

1、（2014年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图，在

abc

中，？c?900

，？a?600,ab?20,过c作abc的外接圆的切线cd,bd?cd,bd与外接

圆交于点e,则de的长为_____

_____

2、（2014年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图， △abc为圆的内接三角形，

bd为圆的弦， 且bd//ac. 过点a 做圆的切线与db的延长线交于点e, ad与bc交于点f. 若ab =

ac, ae = 6, bd = 5, 则线段cf的长为

______.

3、（2014年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯word版））（几何证明选讲选做题）如图，ab

是圆o的直径，点c在圆o上，延长bc到d使bc?cd,过c作圆o的切线交ad于e.若

ab?6,ed?2,则bc?_________.

e

第15题图

4、（2014年高考四川卷（理））设p1,p2,

，pn为平面？内的n个点，在平面？内的所有点中，若点p到

p1,p2,

，pn点的距离之和最小，则称点p为p1,p2,，pn点的一个“中位点”。例如，线段ab上

的任意点都是端点a,b的中位点。则有下列命题:

①若a,b,c三个点共线，c在线ab上，则c是a,b,c的中位点；[来源:学#科#网] ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点a,b,c,d共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点。

其中的真命题是____________.（写出所有真命题的序号数学社区）

5、（2014年高考陕西卷（理））b. （几何证明选做题） 如图， 弦ab与cd相交于o内一点e, 过e作

bc的平行线与ad的延长线相交于点p. 已知pd=2da=2, 则pe=_____.

6、

（2014年高考湖南卷（理））如图2,o中，弦ab,cd相交于点

p,pa?pb?

2,pd?1,则圆心o到弦cd的距离为____________.

7、（2014年高考湖北卷（理））如图，圆o上一点c在直线ab上的射影为d,点d在半径oc上的射

影为e.若ab?3ad,则ce

eo

的值为___________. c

a

b

第15题图

8、（2014年高考北京卷（理））如图，ab为圆o的直径，pa为圆o的切线，pb与圆11.修4-1:几何证明选讲]本小题满分10分。

如图，ab和bc分别与圆o相切于点d,c,ac经过圆心o,且bc?2oc o相交于d.若pa=3,pd：db?9：16,则pd=_________;ab=___________.

求证:ac?2ad[来源:学。科。网]

9、选修4—1几何证明选讲:如图，cd为△abc外接圆的切线，ab的延长线交直线cd于点

d,e,f分别为弦ab与弦ac上的点，且bc?ae?dc?af,b,e,f,c四点共圆。

(ⅰ)证明:ca是△abc外接圆的直径；

(ⅱ)若db?be?ea,求过b,e,f,c四点的圆的面积与△abc外接圆面积的比值。

10、选修4-1:几何证明选讲

如图，ab为o直径，直线cd与o相切于e.ad垂直于cd于d，bc垂直于cd于

c，ef,垂直于f,连接ae,be.证明《白话文·www.baihuawen.cn》:

(i)？feb?？ceb;(ii)ef2?adbc.

龙文教育浦东分校学生个性化教案

学生：钱寒松教师：周亚新时间：2010-11-27

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【教材研学】

一、命题

1．概念：对事情进行判断的句子叫做命题．

2．组成部分：命题由题设和结论两部分组成．每个命题都可以写成“如果„„，那么„„”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论．

3．分类：命题分为真命题和假命题两种．判断正确的命题称为真命题，反之称为假命题．验证一个命题是真命题，要经过证明；验证一个命题是假命题，可以举出一个反例．

二、互逆命题

1．概念：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个

命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题．

2．说明：

（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；

（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；

（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然．

三、互逆定理

1．概念：如果一个定理的逆命题也是定理（即真命题），那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．

2．说明：

（1）不是所有的定理都有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理．

（2）互逆定理和互逆命题的关系：互逆定理首先是互逆命题，是互逆命题中要求更为严谨的一类，即互逆命题包含互逆定理．

所以∠C=∠C’=90°，即△ABC是直角三角形．

【点石成金】

例1． 指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题．

（1）两直线平行，同旁内角互补；

（2）直角三角形的两个锐角互余；

（3）对顶角相等．

分析：解题的关键是找出原命题的题设和结论，然后再利用互逆命题的特征写出它们的逆命题．

（1）题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”．

（2）题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．

（3）题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是课题：几何证明

对顶角”．

名师点金：当一个命题的逆命题不容易写时，可以先把这个命题写成“如果„„，那么„„”的形式，然后再把题设和结论倒过来即可．

例2．某同学写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是“如果一个三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，你认为他写得对吗？

分析：写出一个命题的逆命题，是把原命题的题设和结论互换，但有时需要适当的变通，例如“等腰三角形的两底角相等”的逆命题不能写成“两底角相等的三角形是等腰三角形”，因为我们还没有判断出是等腰三角形，所以不能有“底角”这个概念．

解：上面的写法不对．原命题条件是直角三角形，斜边是直角三角形的边的特有称呼，该同学写的逆命题的条件中提到了斜边，就已经承认了直角三角形，就不需要再得这个结论了．因此，逆命题应写成“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”．

名师点金：在写一个命题的逆命题时，千万要注意一些专用词的用法．

例3．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：① AB=AC；②AD=AE；③ ∠1=∠2；④BD=CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）

解：选①②③作为题设，④作为结论．

已知：如图19—4—103，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

求证：BD=CE,证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD．

即∠BAD=∠CAE．

在△BAD和△CAE中，AB=AC．∠BAD＝∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（S．A．S．）∴BD=CE．

名师点金：本题考查的是证明三角形的全等，但条件较为开放．当然，此题的条件还可以任选其他三个．

【练习】

1．“两直线平行，内错角相等”的题设是____________________，结论是_________________________

2．判断：（1）任何一个命题都有逆命题．()

（2）任何一个定理都有逆定理．()

【升级演练】

一、基础巩固

1．下列语言是命题的是()

A．画两条相等的线段B．等于同一个角的两个角相等吗

C．延长线段AD到C，使OC=OAD．两直线平行，内错角相等

2．下列命题的逆命题是真命题的是()

A．直角都相等B．钝角都小于180。

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C．如果x+y=0，那么x=y=0D．对顶角相等

3．下列说法中，正确的是()

A．一个定理的逆命题是正确的B．命题“如果x0，那么xy<0”的逆命题是正确的C．任何命题都有逆命题

D．定理、公理都应经过证明后才能用

4．下列这些真命题中，其逆命题也真的是()

A．全等三角形的对应角相等

B．两个图形关于轴对称，则这两个图形是全等形

C．等边三角形是锐角三角形

D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

5．证明一个命题是假命题的方法有__________．

6．将命题“所有直角都相等”改写成“如果„„那么„”的形式为___________。

7．举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题。

二、探究提高

8．下列说法中，正确的是()

A．每个命题不一定都有逆命题B．每个定理都有逆定理

c．真命题的逆命题仍是真命题D．假命题的逆命题未必是假命题

9．下列定理中，没有逆定理的是()

A．内错角相等，两直线平行B．直角三角形中两锐角互余

c．相反数的绝对值相等D．同位角相等，两直线平行

三、拓展延伸

10．下列命题中的真命题是()

A．锐角大于它的余角B．锐角大于它的补角

c．钝角大于它的补角D．锐角与钝角之和等于平角

11．已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中，正确命题的个数为()

A．0个B．1个C．2个D．3个

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