振动与波动
第6章振动(Vibration)
前言
1.振动是一种重要的运动形式
2.振动有各种不同的形式
机械振动：位移x随时间t的往复变化
电磁振动：电场、磁场等电磁量随t的往复
变化
微观振动：如晶格点阵上原子的振动
广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在
某一数值附近反复变化。
1
3.振动分类
振动受迫振动
自由振动阻尼自由振动
无阻尼自由振动
无阻尼自由非谐振动
无阻尼自由谐振动
(简谐振动)(SimpleHarmonic
Motion)
1简谐振动(运动学部分)
一.简谐振动
简谐振动：物体离开平衡位置的位移按余
弦函数(或正弦函数)的规律随时间变化。
1.表达式(运动学方程)
o
m
x
x
水平弹簧振子
2
x(t)=Acos(
t+
)
x～t的关系曲线称振动曲线
2.特点：
(1)是等幅振动
(2)是周期振动x(t)=x(t+T)
二.描述简谐振动的特征量
1.振幅
振幅(amplitude)A：最大位移的绝对值
(A恒0)。
2.周期和频率(反映振动的快慢)
周期(period)T：振动一次所需时间。
频率(frequency)
：单位时间内的振动次
3
数。
=1/T
(单位：Hz)
角频率(angularfrequency)：2秒内的振
动次数。
=2
=2/T
(单位：1/S或rad./S)
3.相位
(1)(
t+
)是t时刻的相位(pha)。
(2)t时刻的相位反映t时刻的振动状态
(x
、、
a)。
由x=Acos(
t+
)
t+
0
x(t)A
(t)
0
/2
0
-A
2
3/22
0
A
2
-
A
0
A
0
-
A
a(t)
-
2
A
0
A
0
4
(3)初相
初相(initialpha)是t=0时刻的相位。
(t=0称时间零点，是开始计时的时刻，不
一定是开始运动的时刻)。
反映t=0时刻的振动状态(x
0
，
0
)。
x
0
=Acos
，
0
=-
Asin
要熟记典型
值所相应的振动情况和振动
曲线(如图)。
0
/2
3/22
A
x
0
A0
0
0
(a)
-A0
x
-
A
0
A
0
m
A
x
o
-A
x
=0
T
t
o
x
0
=A
A
(b)
m
x
0
=0
A
x
5
=/2
T歌手赵雷
t
o
o
-A
(c)
m
x
0
=-A
x
A
o
x
o
-A
x
A
x
o
-A
(d)
-A
=
T
t
m
x
0
=0
=3/2(或-/2)
T
t
o
弹簧振子的几个特殊的初始状态及相应的振动曲线
初相
的数值决定于时间零点的选择。
三.简谐振动的描述方法
1.解析法(由振动表达式)
由x=Acos(
t+
)
已知表达式A、T、
已知A、T、
表达式
6
2.曲线法(由振动曲线)
x
A
o
-A
=/2
T
t
用振动曲线描述简谐振动
已知振动曲线A、T、
已知A、T、
振动曲线
3.旋转矢量法(rotationalvector)(可优先选用)
(1)旋转矢量
长度=A；
以
为角速度
t+
t=t
A
t=0
x
A
绕o点逆时针旋转；
o
x=Acos(
t+
)
旋转矢量图
x
t=0时矢量与x轴的夹角为初相
(2)矢量端点在x轴上的投影做简谐振动
[例]已知简谐振动，A=4cm，
=0.5Hz，
7
t=1s时x=-2cm且向x正向运动。
写出此简谐振动的表达式。
解由题意，T=2s
由图，
=/3，
x=4cos(t+
)cm
3
四.相位差
1.相位差和初相差
相位差(phadifference)---相位之差。
对两同频率的简谐振动，相位差等于初相
差，
=(
t+
2
)-(
t+
1
)
=
2
-
1
2.同相和反相
8
A
t=0
x
t=1s
时矢量位置
例题用图
当
=2k
，(k=0,1,2,„)，
两振动步调相同，称同相(in-pha)。
当
=(2k+1)
，(k=0,1,2,„)，
两振动步调相反，称反相(antipha)。
x
x
A
1
A
1
x
1
反相
x
1
同相
x
2
A
2
A
2
T
T
o
o
t
t
-
A
2
-
A
2
x
2
-A
1
-A
1
(a)两同相振动的振动曲线
(b)两反相振动的振动曲线
3.领先和落后
x
若
=
2
-
1
>0
,
则x
2
比x
1
较早达
到正最大，称x2
A
1
A
2
x
1
T
t
-
A
2
-A
1
o
x
2
振动的领先与落后
9
比x
1
领先(或x
1
比x
2
落后)。
领先、落后以<的相位角(或以
间间隔)来判断。
思考：在上图中，x
1
与x
2
两振动谁领先?
方法：振动曲线的画法：
为非典型值时，可
用领先、落后的概念画出振动曲线。
欲画
x=Acos(
t+
)
的曲线
先画辅助曲线
x
辅
=Acos
t
的曲线
若
<0，说明x比x
辅
落后，将x
辅
曲线右
移即得x的曲线。在横轴上移动的距离为
|
|
)T
t
=(
2
x
辅助曲线
例如，若
=-/3，
A
则右移T/6
o
T/6
T
t
待画曲线
-A
10
振动曲线的画法
五.简谐振动的速度、加速度
1.速度
(1)表达式
=
dx
dt
=-
Asin(
t+
)
=
Acos(
t+
+/2)
也可写为
(t)=A
cos(
t+
)
(2)速度也是简谐振动，
任何一个物理量，如果它随时间按余弦函数
(或正弦函数)的规律变化，就说这个物理量
按简谐振动的规律随时间变化。
速度作为简谐振动，其
角频率为
振幅
A
=
A
，
11
初相
=
+(/2)
，
比x领先/2。
x
、、
a
2
A
A
A
o
-A
-
A
a
x
T
t
-
2
A
>0
<
0
<
0
>
0
a
<0
<0
>0
>
0
加速
减速
加速
减速
简谐振动的位移、速度和加速度曲线
(3)速度和位移的关系
t时刻
=
(A-x)
t=0时
0
=
(A
2.加速度
(1)表达式
2
221/2
21/2
-x
0
)
dx
a=
dt
2
2
a=-
Acos(
t+
)
12
2
=
2
Acos(
t+
+)
也可写作
a(t)=A
a
cos(
t+
a)
(2)加速度也是简谐振动，其
角频率
振幅
A
a
=
A
初相
a
=
+
，a和x反相。
(3)a和x的关系
2
a=-
x
a=-
x
2
简谐振动的加速度和位移正比而反向。
2
13
2简谐振动(动力学部分)
一.简谐振动的动力学方程
1.受力特点：线性恢复力
F
m
o
x
x
水平弹簧振子的受力情况
(力和位移正比而反向，具有F=-kx的形式)。
2.动力学方程(以水平弹簧振子为例)
dx
F=ma=m
由
2
及F=-kx有
dt
简谐振动的振动方程(动力学方程)
2
dx
2
2
+
x=0
d
t
此振动方程的解即简谐振动的表达式。
2
用动力学的语言可以说：在线性恢复力的
作用下，质点作简谐振动。
14
3.固有角频率
固有角频率(naturalangularfrequency)：
弹簧振子：
=
k
m
单摆：
g
=
l
固有角频率决定于振动系统的内在性质(如
弹簧振子，固有角频率决定于振动系统的
弹性和惯性)。
4.由初始条件求振幅和初相
初始条件：t=0时的振动状态(x
0
、
0
)
由柏拉图学园 位移和速度的振动表达式有
x
0
=Acos
；
0
=-Asin
20
A=
)
-1
-
0
=tan(
x
)
0
可得
2
x
0
+(
15
由上式定出的
，在0到2(或-到)之间
一般有两个值，需代回上面x
0
或
0
的式中，
以判断取舍。
二.简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例)
1.简谐振动系统的能量特点
2
1
(1)动能
E
m
k
=2
1
22
E
k
=
2
kAsin(
t+
)
12
E=kA
E
k
随t变
kmax
2
E
kmin=0
t+T
1
2
1
平均值
E
k
=
T
t
E
k
dt=
4
kA
(2)势能
1
2
E
p
=
2
kx
16
22
1
E
p
=kAcos(
t+
)
2
E
p
随t变，E
pmax
、E
pmin
、E
p
情况同动能。
(3)机械能E=E
k
+E
p
E
=
1
2
kA
2
简谐振动系统机械能守恒，能量没有输入，
也无损耗，各时刻的机械能均等于起始能
量E
0
(t=0时输入系统的能量)。
E
1
2
2
kA
E
k
E
p
A
-A
o
x
简谐振动的能量曲线
T
t
可见，振动系统的能量正比于振幅的平方。
要求：已知xt曲线，能正确画出
17
E
k
t和E
p
t曲线。
2.由初始能量求振幅
2E
A
=
k
=
2E
0
k
综合以上：简谐振动的各特征量，
振幅A决定于系统的初始能量；
角频率
决定于系统内在的性质；
初相
决定于时间零点的选择。
3.无阻尼自由振动的能量
对作无阻尼自由振动的系统
“自由”：振动过程中，没有外界驱动力作
功(机械振动情形)；
“无阻尼”：振动过程中，没有能量损耗，
因此，系统作无阻尼自由振动时，振动能量
18
必然守恒。
无阻尼自由振动可分为：
无阻尼自由谐振动(如弹簧振子)
无阻尼自由非谐振动(如单摆的大幅度摆
动)
对这两种情形，上述振动能量守恒的结论都
是正确的。
本章讨论的简谐振动(除后面要讲的受迫振动
系统稳态时所作的简谐振动外)，实际上就是
无阻尼自由谐振动，所以其振动能量守恒。
但不能认为一切简谐振动的振动能量都守
恒，如受迫振动系统所作的简谐振动，通常
在一个周期内的振动能量将随时间改变。
19
三.简谐振动的动力学解法
1.由分析受力出发
分析物体在任一时刻的受力
由牛顿定律列方程，如能得出
d
2
x
+
2
x=0
2
形式的方程，则
dt
(1)说明振动是简谐振动
(2)可得出角频率
[例]质量为m的刚体可
绕固定水平轴o摆动。
设刚体重心C到轴o的
距离为b，刚体对轴o
b
C
o
mg
例题用图(复摆)
的转动惯量为J。试证刚体小幅度自由摆动
时做简谐振动，并求振动角频率(这样的摆
称作复摆)。
20
解刚体摆至任一角度
时受力mg
力对轴o的力矩M=-mgbsin
(负号是因M的转向与
的转向相反)
由转动定律M=J
有
-mgbsin
=J
dt
小角度时sin
，有
mgb
+
=0
J
dt
2
d
2
2
d
2
可见：(1)此刚体的自由摆动是简谐振动
mgb1/2
(2)角频率
=
(
)
J
思考：若一单摆的频率与此复摆的频率相等，
单摆的摆长l应是多少?(此l称为复摆的等
值单摆长)
2.由分析能量出发
对无阻尼自由振动系统，其振动能量守恒。
21
分析系统在任一时刻的能量，列出守恒式
将守恒式对t求导一次，如能得出
2
dx
2
+
x
=0
形式的方程，同样可知
dt
2
振动是简谐振动秋天的田野作文 ，且可得出角频率
。
在振动物体不能看作质点的情形下(如U型
管中振动的液体)，用能量法更方便。
练习：横截面均匀的
U型管中有适量的液
体(如图)，液体的总
长度为L(总体积除以
横截面积)。求：液面
上下起伏的自由振动
练习题用图(U型管中液柱
的振动)
y
y
o
y
y
S
的角频率(用能量法求)。[答案：
=(2g/L)
1/2
]
22
3阻尼振动
阻尼(damp)：消耗振动系统能量的原因。
阻尼种类：摩擦阻尼
辐射阻尼
一.阻尼振动的振动方程和表达式
1.阻力
对在流体(液体、气体)中运动的物体，当物
体速度较小时，阻力速度。
x
f
阻
=-
d
：阻力系数=-
dt
2.振动方程
讨论：在阻力作用下的弹簧振子
受力：弹性恢复力-kx
阻力
-
dx
dt
23
振动方程
2
dx
x
-kx
m
2
=
-
d
dt
dt
引入阻尼系数
=
/2m
固有频率
1/2
0
=(k/m)
得阻尼振动(dampedvibration)的振动方程
dx
+
2
dx
+
2
x
=0
20
dt
dt
2
此方程的解应分三种情形讨论：
<
称作欠阻尼(underdamping)
>
称作过阻尼(overdamping)
=
称作临界阻尼(criticaldamping)
3.振动表达式
在欠阻尼情形下，上述微分方程的解即欠阻
尼下的阻尼振动的振动表达式，为
2
22
22
2
24
x(t)=A
0
ecos(
t+
)
221/2
=(
0
-
)
-
t
-
t
其中
x
4.振动曲线
(欠阻尼下)
三.阻尼振动的特点
(欠阻尼下)
1.振幅特点
振幅：A(t)=A
0
e
振动能量：E(t)=E
0e
-
t
A
0e
t
o
阻尼振动的振动曲线
-2
t
正因振动能量不断损耗，振幅才随t衰减。
2.周期特点
严格讲，阻尼振动不是周期性振动(更不是
25
简谐振动)，因为位移x(t)不是t的周期函
数。
但阻尼振动有某种重复性。位移相继两次
达到正向极大值的时间间隔
2
2
T=
=
221/2
>T
0
(固有周期)
(
0
-
)
四.三种阻尼下的振动曲线
在
>
(过阻尼)和
=
(临界阻尼)
情形下，阻尼振动微分
方程的解将是非振动性
2
22
2
欠阻尼
o
临界阻尼
三种阻尼
过阻尼
t
的运动。运动物体连一次振动也不能完成，
能量即已耗光，物体慢慢移向平衡位置。
和过阻尼情形相比，临界阻尼情形下，物体
26
回到平衡位置并停在那里，所需时间最短。
应用：电表阻尼
天平阻尼
4受迫振动与共振
一.受迫振动
受迫振动(forcedvibration)：振动系统在周
期性驱动力(drivingforce)作用下的振动。
1.系统受力：以弹簧振子为例，
弹性力-kx
dx
阻尼力
-
(
)
dt
周期性驱动力f=F
0
cos
t
2.振动方程：由牛顿定律有
d
x
)
=-kx
-
(
m
d
x
+f
2
dt
dt
27
2
x
dx
+2
d2
+
0
x=hcos
t2
dt
dt
k1/2
0
=(
其中
m
)
是固有角频率；
2
；
F
0
=
2m
h=
m
3.稳态解：
x=Acos(
t+
)
4.特点：稳态时的受迫振动是简谐振动(但它不
是无阻尼自由谐振动，请注意两者的区别)。
(1)角频率：等于驱动力的角频率
(2)振幅：系统作等幅振动(虽有阻力消耗能
量，但同时有驱动力作功对系统输入能量，
系统仍可维持等幅振动)。
其振幅由系统参数(
0
)、阻尼(
)、驱动力
(F
0
,
)共同决定。
28
A=
h
222221/2
[(
0
-
)+4
]
A的大小敏感于
和
0
的相对大小关系，而
和初始条件(x
0
、
0
)无关。
(3)初相：亦决定于
0
、
、和
，与初始条件
无关。
-2
tan
=
22
0
-
值在-0之间。可见，位移x落后于
驱动力f的变化(f的初相为零)。
练习：请将无阻尼自由谐振动和稳态受迫
振动作一对比。
二.共振(resonance)：
位移共振(displaceme出国留学机构咨询 ntresonance)
速度共振(velocityresonance)
29
1.位移共振
位移共振：当驱动力的角频率
等于某个
适当数值(称共振角频率)时，振幅出现极大
值、振动很剧烈的现象。
(1)共振角频率：
r
=(
2
0-2
)
21/2
h
(2)共振振幅：
A
r
=
221/2
2
(
0
-
)
若阻尼很小，
2
<<
0
2
，则
r
0
，
A
h
称尖锐共振
r
2
张伯伦首相
位移共振的共振曲线
30
2.速度共振
速度共振：当驱动力的角频率正好等于系统
的固有角频率时，速度幅
A达极大值的现
象。
(1)共振角频率：
r
=
0
h
(2)共振时速度的幅值：
V
mr
=
2
(3)共振时速度的初相：
r=0
即速度共振时，速度与驱动力同相，一周
期内驱动力总作
正功，此时向系
统输入的能量最
大。
31
速度共振的共振曲线
故事：从前有一座山，山里有座庙，……
(庙里的大钟不敲自响的故事）。
实例：电厂汽轮机平台的共振。
图片：
1940年华盛顿的塔科曼大桥建成
32
小号发出的声波足以使酒杯破碎
同年7月的一场大风引起桥的
共振使桥摧毁
5简谐振动的合成
简谐振动的合成(combinationofsimple
harmonicmotions)：同
同一直线上不同频率的简谐振动的合成
相互垂直的同频率的简谐振动的合成
相互垂直的不同频率的简谐振动的合成
一.同一直线上同频率的简谐振动的合成
1.分振动：一物体同时参与两个在同一直线
上的同频率的简谐振动，其表达式为
x
1
=A
1
cos(
t+
1
)
x
2
=A
2
cos(
t+
2)
33
2.合振动：x=x
1
+x
2
x
=A
cos(
t+
)
合振动是简谐振动，其角频率仍为
，
A、
可由旋转矢量法导出，这比用解析法
方便。由图，
y
A
y
A
2
A
1
A
x
x
A
22
A=A
1
+A
2
+2A
1
A
2
cos(
2
-
1
)
A
1
sin
1
+A
2
sin
2
tan
=
A
1
cos
1
+A
2
cos
2
A
x
=A
1
cos
1
+A
2
cos
2
A
y
=A
1
sin
1
+A
2
sin
2
再由A
2
22
=A
1
+A
2
2
o
1
A
y
tan
=
A
x
34
两个沿x轴的同频简谐振动合成
的旋转矢量图
可得以上A、
的表示式。
3.两种特殊情况
(1)若两分振动同相，
2
1
=2k，则
A=A
1
+A
2
，两分振动相互加强。
(2)若两分振动反相，
2
1
=(2k+1),
则
A=|A
1
-A
2
|
，两分振动相互减弱。
(以上k=0,1,2,„„)
如再有A
1
=A
2
，
则A=0。
此情形下，“振动加振动等于不振动”。
二.同一直线上不同频率的简谐振动的合成
1.分振动：设为x
1
=Acos
1
t
x
2
=Acos
2t
35
2.合振动：x=x
1
+x2
2
+
1
x=2Acos(
2
-
1
)t
)tcos(
2
2
合振动不是简谐振动。
当
2
1
时，
2
-
1
2
+
1
，x可写作
x=A(t)cos
t
其中
A
(
t)=2
A
cos(
2
-
1
)
t
随t缓变；
2
2
+
1
cos
t=cos(
)t
随t快变；
2
x1
1
t
x2
2
t
x
=
1
-
2
t
36
9
合振动可看作振幅缓变的简谐振动。
3.拍(beat)
合振动的周期性的时强时弱的现象称作拍。
拍频(beatfrequency)：单位时间内合振动加
强或减弱的次数。
b
=|
2
-
1
|
或
b
=|
2
-
1
|
b
即A
2
(t)或|A(t)|的变化频率。
实例：双簧管(oboe)，
钢琴(piano)调
三.相互垂直的同频率简谐振动的合成
1.分振动：一个质点同时参与两个相互垂直的
同频率简谐振动
37
x=A
1
cos(
t+
1
)
y=A
2
cos(
t+
2
)
2.合运动
位移：是两个分振动位移的矢量和。
轨迹方程：
2
2
x
y
cos(
-
)=sin
2
(
-
)
x
+
y
22
-2
2121
A
1
A
2
A
1
A
2
合运动一般不是简谐振动。
(1)合运动一般是在2A
1
(x向)、2A
2
(y向)范围
内的一个椭圆。
(2)椭圆的性质(方位、长短轴、左右旋)在A
1
、
A
2
确定之后，主要决定于
=
2
-
1
38
=0
=/4
P
Q
=珍爱生命预防溺水手抄报 /2
=3/4
=
=5/4
=3/2
=7/4
两个沿垂直方向的同频简谐振动的合运动的轨迹
注梦见比赛 意：对
2
-
1
=0,,/2
等特殊情形下的
轨迹要熟记。
思考：什么条件下合运动的轨迹是圆?
方法：用旋转矢量法画合运动轨迹
例如要画x=A
1
cos(
t+/4)
y=A
2
cos(
t+/2)
的合运动的轨迹，可在x、y方向分别选一
39
旋转矢量如图。把方框中的小红点按顺序
用曲线连起来，即可得所求合运动轨迹。
1
8
7
y
6
-A
1
5
y
A
2
7
6
8
A
2
/2
t
=0
2
3
4
5
A
1
1
x
4
2
-A
2
2
3
3
4
5
A
1
1
t
=0
/4
8
x
6
7
用旋转矢量法画两垂直振动的合运动的轨迹
四.相互垂直的不同频率简谐振动的合成
其情形复杂，轨迹曲线一般不稳定(随t变
化)，也不一定闭合。两个常见的简单情形
40
如下：
(1)若两分振动频率相差很小
则相位差
=(
2
-
1
)t+(
2
-
1
)，
可近似看作两同频率的振动的合成，而
2
-
1
随t缓慢变化。于是合运动轨迹将按上图给
出的形状依次缓慢变化。
(2)若两振动的频率成简单整数比，则轨迹为稳
定的闭合曲线，称李萨如图形(Lissajous
figures)。曲线的具体形状和两频率的比值及
1
和
2
的大小有关。
[例]下图是
x
:
y
=3:2，
2
=0，
1
=/4
y
A
1
时的李萨如图形。
x向达正最大的次数
n
x
和y向达正最大的
-A
2
o
A
2
x
-A
1
41
李萨如图举例
次数n
y
之比正好等于x向和y向的频率之
n
x
x
比，
n
y
=
y
可根据李萨如图形由
x
求出
y
6谐振分析
谐振分析(harmonicvibrationanalysis)：
把一个复杂的振动分解为一系列不同频率
的简谐振动的方法称作谐振分析。
一.一个周期性振动可分解为一系列频率分立
的简谐振动。
若周期振动的频率为：
0
则各分振动的频率为：
0
,2
0
,3
0
,„，
分别称作基频(fundamentalfrequency)；
二次谐频(condharmonicfrequency)；
42
三次谐频(thirdharmonicfrequency)；„等。
下图为“方波”形周期振动的分解
x
方波
t
o
x
0
+x
1
方波的分解
x
1
x
0
t
o
x
3
o
t
x
5
o
t
x
0
+x
1
+x
3
+x
5
o
“方波”的分解
t
频谱图：一个实际振动所包含的各种谐振成
43
分的振幅和它们的频率的关系图。
周期性振动的频谱是分立的线状频谱。下图
为“锯齿波”的频谱图。
x
A
o
T
A
2
A
o
t
0
3
0
5
0
锯齿波
锯齿波频谱图
周期振动的频谱(举例)
思考：有时赞誉一歌唱家：“声音洪亮，音域
宽广，音色甜美”。这各指什么物理因
素?(注：音色和谐频有关)
二.一个非周期性振动可分解为无限多个频率
44
连续变化的简谐振动。
非周期性振动的频谱是连续频谱，如下图。
x
A
o
阻尼振动曲线
o
阻尼振动频谱图
非周期振动的频谱(举例)
一.基本概念
第
6
章结束
本章小结
1.简谐振动：物体离开平衡位置的位移按
余弦函数(或正弦函数)的规律随时间变
化。
45
(1)简谐振动的位移表达式
x(t)=Acos(
t+
)
此式也称作简谐振动的表达式
(2)简谐振动的速度表达式
(3)简谐振动的加速度表达式
简谐振动的加速度和位移正比而反向。
(t)=-
Asin(
t+
)
a(t)=-
Acos(
t+
)
2
a=-
x
46
2
2.阻尼振动：具有阻尼(且无驱动力作用)的
振动系统所做的振动称作阻尼自由振动，
简称为阻尼振动。
阻尼振动的振动表达式(欠阻尼下)
3.受迫振动：振动系统在周期性驱动力作用下
的振动。
稳态时的受迫振动是简谐振动，其表达式为
x(t)=A
0
ecos(
t+
)
-
t
x=Acos(
t+
)
4.共振
(1)位移共振：当驱动力的角频率
为
221/2
r
=(
0
-2
)
时，振幅出现极大值、振动很剧烈的现象。
47
(2)速度共振：当驱动力的角频率正好等于系
统的固有角频率
时，速度幅
A达极大
值的现象。
5.简谐振动的能量
1
22
动能
E
k
=kAsin(
t+
)
2
势能
1
22
E
p
=
2
kAcos(
t+
)
机械能E=E
k
+E
p
=
E
1
2
kA
2
6.简谐振动的合成
(1)同一直线上同频率的简谐振动的合成
合振动仍是简谐振动
48
x
=A
cos(
t+
)
角频率：
振幅：
2
初相：
2
A=A
1
+A
2
+2A
1
A
2
cos(
2
-
1
)
A
1
sin
1
+A
2
sin
2
tan
=
A
1
cos
1
+A
2
cos
2
(2)同一直线上不同频率的简谐振动的合成
合振动表达式为
2
+
1
2
-
1
)tcos(
x=2Acos(
)t
2
2
合振动不是简谐振动。
当
2
1
时，
2
-
1
2
+
1
，x可写作
x=A(t)cos
t
49
合振动可看作振幅缓变的简谐振动。
(3)相互垂直的同频率简谐振动的合成
合运动的轨迹方程
22
x
ycad轴线
-2
x
y
cos(
-
)=sin
2
(
-
)
2
+
2
2121
A
1
A
2
A
1
A
2
合运动一般不是简谐振动。合运动一般是在
2A
1
(x向)、2A
2
(y向)范围内的一个椭圆。
(4)相互垂直的不同频率简谐振动的合成
若两振动的频率成简单整数比，则轨迹为稳
定的闭合曲线，称李萨如图形。
二.基本规律
1.简谐振动的振动方程(动力学方程)
2
dx
2
d
t
2
+
x=0
50
振动方程的解即简谐振动的表达式。
简谐振动的定义(动力学说法)：在线性回复
力的作用下，质点做简谐振动。
2.阻尼振动的振动方程
dx
2
dx
=0
+
x
2
+
2
0
dt
dt
2
3.受迫振动的振动方程
x
dx
+2
d2
+
0
x=hcos
t2
dt
dt
2
三.基本方法
1.简谐振动的描述方法
(1)解析法(由简谐振动表达式)
简谐振动表达式：
x=Acos(
t+
)
51
已知表达式A、T、
已知A、T、
表达式
(2)曲线法(由振动曲线)
振动曲线：x(振动位移)t关系曲线
已知振动曲线A、T、
已知A、T、
振动曲线
(3)旋转矢量法
旋转矢量：长度等于振幅A；以
为角速
度逆时针旋转；t=0时矢量与x轴的夹角
为初相
。矢量端点在x轴上的投影做简
谐振动。
已知旋转矢量A、T、
已知A、T、
旋转矢量
2.简谐振动的动力学解法
52
(1)由分析受力出发
分析物体在任一时刻的受力
由牛顿定律列方程，如能得出
2
+
d
x
=0
形式的方程，则
x2
dt
说明振动是简谐振动；
2
可得出角频率
。
(2)由分析听新闻联播 能量出发
对无阻尼自由振动系统，其振动能量守恒。
分析系统在任一时刻的能量，列出守恒式。
将守恒式对t求导一次，如能得出
2
dx
+
=0
形式的方程，同样可知
2
x
dt
2
振动是简谐振动，且可得出角频率
。
3.由初始条件求振幅、初相的方法
(1)由初始条件(x
0
、
0
)求振幅、初相
A=
x
0
2
+(
0
)
2
53
(2)由初始能量E
0
求振幅
2E
0
A=
k
stuff
4.振动曲线的画法
为非典型值时，可用领先、落后的概念画
出振动曲线。
欲画x=Acos(
t+
)的曲线
先画辅助曲线x
辅
=Acos
t的曲线
若
<0，说明x比x
辅
落后，将x
辅
曲线右
移即得x的曲线。在横轴上移动的距离为
x
A
辅助曲线
54
o
t
T
t
|
|
)T
t=(
2
5.简谐振动合成的方法
(1)解析法：由分振动的表达式由数学的解析
方法得出合振动(合运动)的表达式(轨迹方
程)。例如，
同一直线上同频率的简谐振动的合成中，
据分振动表达式
x
1
=A
1
cos(
t+
1
)
x
2
=A
2
cos(
t+
2)
由x=x
1
+x
2
得出合振动表达式
x
=A
cos(
t+
)
相互垂直的同频率简谐振动的合成中，由
55
分振动表达式
x=A
1
cos(
t+
1
)
y=A
2
cos(
t+
2
)
得出合运动的轨迹方程
x
y
-2
x
y
cos(
-
)=sin
2
(
-
)
2
+
2
2121
A
1
A
2
A
1
A
2
(2)旋转矢量法：一般比用解析法方便。例
如，
同一直线上同频率的简谐振动的合成中，
y
A
A
y
由分振动的旋转
A
2
矢量可很方便地
得出合振动的振
幅和初相。
相互垂直的同频率简谐振动的合成中，
2
o
2
2
1
A
1
A
x
x
56
由分振动的旋转矢量可很方便地得出合运
动的轨迹(把方框中的小红点按顺序用曲线
连起来，即为所求合运动轨迹)。
8
7
y
6
-A
1
5
y
A
2
7
6
8
A
2
/2
1
t
=0
2
3
5
4
A
1
1
x
4
2
-A
2
3
2
3
57
4
5
A
1
1
t
=0
/4
8
x
6
7
用旋转矢量法画两垂直振动的合运动的轨迹
58
本文发布于:2023-04-14 05:08:57，感谢您对本站的认可！
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