【概率论】4-2：期望的性质（PropertiesofExpectation ）
Abstract: 本⽂介绍关于期望的性质，主要是计算性质，所以本⽂会有⾮常多公式定理，例⼦可能较少
Keywords: Properties of Expectation
期望的性质
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本⽂介绍期望的⼀些性质，计算性质，⽽且很多是⽐较常见的随机变量函数的期望，从这篇看起来我们的套路有点越来越接近国内教材了，定义完了是计算性质，但是这个计算性质确实是必须的，不掌握好后⾯很多内容学起来就会吃⼒，就像我前两天看了⼀会⼉统计，发现很多关于计算的的性质，在统计书籍⾥是直接使⽤的，如果不掌握好那就是好⼏脸懵逼。
期望的基本定理 Basic Theorems
mojingLinear Function:.If Y=aX+b,where a and b are finite constants,then
线性关系，最简单的变化， 是有限的常数，那么新的随机变量的期望和原始变量的关系满⾜上式，其实⽤上⼀篇的关于随机变量函数的⽅法就能证明这个问题，我们来计算⼀下：
上⾯⽤到上⼀篇的公式，然后⽤到了积分的线性性质，完成了证明。
Corollary If with probability 1 ,then 证明：
Q.E.D
Theorem If there exists a constant such that , then . If there exists a constant such that ,then E (Y )=aE (X )+b
a ,
b E (Y )=E (aX +b )=(ax +∫∞∞
b )f (x )dx
=a xf (x )dx +∫−∞∞b f (x )dx
∫−∞∞
=aE (x )+b
X =c E (X )=c
E (X )=cf (x )dx
∫−∞∞
=c f (x )dx =∫−∞∞
c
Pr (X ≥a )=1E (X )≥a b Pr (X ≤b )=1E (X )≤b
剑桥大学在哪个国家
这个定理说明当存在⼀个常数 满⾜ 那么 另⼀部分是反过来的，所以我们只要证明了⼀半，另⼀半可以⽤同样的⽅法得到结论。
证明：
Q.E.D
其中这⼀步 ⽤到的条件是 ⽽ ⽤到的是积分的线性性质，和概率的相关定义。Theorem Suppo that and that either or .Then 定理解释当知道⼀个随机变量的期望值是 时，那么如果知道 或者 必然有 。证明当X时离散情况下 其他情况类似，假设 包含所有 那么 令 那么
每个 都⼤于 其和不能变⼤ 因为
证毕。
其实离散情况想⼀下就正⼤概知道定理的正确性，但是连续情况下⽤微积分证明难度就有点⼤了。
Theorem If are random variables such that each expectation is finite ,then
证明期望的加法性质，连续双随机变量证明过程如下，其他情况类似：
a Pr (X ≥a )=1E (X )≥a E (X )=xf (x )dx =∫−∞∞xf (x )dx
∫a ∞
≥af (x )dx =∫a ∞方孝孺翻译
aPr (X ≥a )=a
xf (x )dx ≥∫a ∞af (x )dx ∫a ∞x ≥a af (x )dx =∫a ∞
aPr (X ≥a )E (x )=a Pr (X ≥a )=1Pr (X ≤a )=1Pr (X =a )=1
a Pr (X ≥a )=1Pr (X ≤a )=1Pr (X =a )=1Pr (X ≥a )=1x ,x ,…12x >a Pr (X =x )>0p =0Pr (X =a )E (X )=p a +0x Pr (X =j =1∑∞j x )
j x j a E (X )≥p a +0aPr (X =j =1∑∞x )=j a拍卖行英文
X ,…,X 1n n E (X )i (i =0,…,n )E (X +1⋯+X )=n E (X )+1⋯+E (X )
n E (X +1X )=2(x +∫−∞∞∫−∞∞
zdnet
1x )f (x ,x )dx dx 21212=x f (x ,x )dx dx +∫−∞∞∫−∞∞11212x f (x ,x )dx dx ∫−∞∞∫−∞∞
21212
=x f (x )dx +∫−∞∞1111x f (x )dx ∫−∞∞
moscow2222
=E (X )+1E (X )
2
证明过程最关键⼀步是 的过程，⾸先调换积分变量的次序 这样，内层积分中 是常量，那么就可以提出来 这样中括号⾥⾯的部分就是 的边缘变量了，同理可得 的情况，故得到最后结论。
上述证明过程证明了随机变量的和的期望等于期望的和，⽽不需要考虑其联合分布，同理可以推⼴到多变量情况
下⾯我们就要考虑多变量线性关系了
Corollary Assume that is finite for For all constants and 这个引理的证明是上⾯加法性质的证明以及前⾯第⼀个线性关系的扩展，这⾥就不再证明了。
注意：上⾯线性的函数g可以有 的关系，但其他函数没有这种关系！Jenn’s inequality 会给出其他函数之间两者的关系
Definition Convex Functions A function g of a vector argument is convex if ,for every and every x and y,
这个定义就是凸函数的⼀般定义
Theorem Jenn’s Inequality. Let g be a convex function,and let be a random vector with finite mean.Then
詹森不等式，说明了函数的期望和期望的函数之间的⼀般⼤⼩关系，等号当且仅当 是线性函数时成⽴，证明过程书上没写，等我思考出完整的证明后再来补充⼀下。
独⽴随机变量之积的期望关系 Expectation of a Product of Independent Random Variables
If are independent random variables such that each expectation is finite then
证明，为了⽅便我们假设这组连续随机变量的联合分布p.d.f. 是 并且 是其中 变量 的边缘分布，因为他们之间彼此独⽴，所以
因此：
x f (x ,x )dx dx =∫−∞∞∫−∞∞11212x f (x )dx ∫−∞∞
1111x f (x ,x )dx dx ∫−∞∞∫−∞∞11221x 1x [f (x ,x )dx ]dx ∫−∞∞1∫−∞∞1221x 1x 2E (x )i i =1,…,n a ,…,a 1n b
E (a X +11⋯+a X +n n b )=a E (X )+11…a E (X )+n n b
E [g (x )]= g (E [x ])α∈(0,1)g [αx +(1−α)y ]≥αg (x )+(1−α)g (y )
X E [g (X )]≥g (E [X ])
g X ,…,X 1n n E (X )i (i =1,…,n )E (ΠX )=i =1n i ΠE (X )i =1n
i f f i i f (x ,…,x )=1i Πf (x )i =1n
i i E (ΠX )
i =1n i =⋯(Πx )f (x ,…,x )dx ,…,x ∫−∞∞∫−∞∞i =1n i 1n 1n
=⋯Π[x f (x )]dx ,…,x ∫−∞∞∫−∞∞
i =1n
i i i 1n =Πx f (x )dx i =1n
∫−∞∞
i i i i
x i
上海西点培训学校最后⼀步的拆分⼤家可能会感到疑惑不解，把积分内层拆开，那么每个除了当前要积分的 以外，其他变量都是已知的就可以挪到本层积分的外⾯，然后本层积分的结果也必然是是个数字，所以⼀层⼀层的拆开就是最后的式⼦，如果实在看不懂，试试两个独⽴现需随机变量的计算请款个就知道了。
抛弃英文总结
总结就是今天我们研究了上⼀篇的扩展部分，我们得到了很多期望的计算性质，⽽这些兴致将在后⾯的计算中⾮常有⽤处！
专业日语翻译待续。。。
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