常微分方程初值问题的预估-校正解法
摘要：求解常微分方程初值问题的有限差分法一般分为显式方法和隐式方法。显式方法计算简单，而隐式方法稳定性好、精度高，故实际计算中，通常将两者结合起来，利用同阶显式公式先做“预估”，再用隐式公式做一次“校正”，即所谓的预估-校正算法。本文综述了预估-校正算法的理论基础、算法构造以及算法实现，并通过数值例子验证理论分析。
关键词：有限差分法；预估-校正算法；算例
talonPredictor - Corrector Algorithms for Initial-Value Problems for Ordinary Differential Equations
Abstract:Finite difference methods for solving Initial-value problems for ordinary differential equations can be divided into explicit methods and implicit methods generally. For the explicit methods, it can be calculated easily than the corresponding implicit methods, but the implicit methods has good stability and higher degree of accuracy, so in practical calculation, we usually combine them together, using explicit method as a "predictor", then implicit method as a "corrector", it is called Predictor - Corrector Algorithms. In this paper, we summarize the theory basis, algorithms construction and implementation of Predictor - Corrector Algorithms, then veral numerical examples are provided to confirm the theoretical analysis.阵亡将士纪念日
Key words:finite difference methods；predictor - corrector algorithms；numerical examples
1绪论.................................................... 错误!未定义书签。
1.1问题的背景............................................ 错误!未定义书签。
1.2有限差分法的简介...................................... 错误!未定义书签。2常微分方程初值问题的预估-校正算法......................... 错误!未定义书签。
2.1预估-校正算法的若干准备............................... 错误!未定义书签。
2.1.1常微分方程初值问题的基本概念...................... 错误!未定义书签。
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2.1.2常微分方程初值问题的数值解法——单步法 (3)
2.1.3常微分方程初值问题的数值解法——多步法 (8)
2.2若干个预估-校正算法 (11)
2.2.1预估-校正算法的构造 (11)
购物车英文2.2.2预估-校算法的实现................................. 错误!未定义书签。3数值算例.. (21)
专业英语在线翻译3.3.1 算例 1 (21)
3.3.2 算例 2 (22)
4结论..................................................... 错误!未定义书签。致谢........................................................ 错误!未定义书签。参考文献 .................................................... 错误!未定义书签。附录.. (28)
1.1 问题的背景
反省英文许多有关微分方程的教材都会提到发现海王星的故事。海王星的发现是人类智慧的结晶，也是常微分方程巨大作用的体现，体现了数学演绎法的强大威力。1781年发现天王星后，人们注意到它所在的位置总是和万有引力定律计算出来的结果不符。于是有人怀疑万有引力定律的正确性；但也有人认为，这可能是受另外一颗尚未发现的行星吸引所致。当时虽有不少人相信后一种假设，但缺乏去寻找这颗未知行星的办法和勇气。23岁的英国剑桥大学的学生亚当斯挑下了这项任务，他利用引力定律和对天王星的观测资料建立起微分方程，来求解和推算这颗未知行星的轨道。1843年10月21日，他把计算结果寄给格林威治天文台台长艾利，但艾利不相信“小人物”的成果，对其置之不理。两年后，法国青年勒威耶也开始从事这项研究。1846年9月18日，他把计算结果告诉了柏林天文台助理员卡勒。6日晚，卡勒果然在勒威耶预言的位置上发现了海王星[1]。
对于数学，特别是数学的应用，微分方程所具有的重大意义主要在于：很多物理与技术问题可以转化为微分方程的求解问题，而这些问题仅有很少的一部分能通过初等积分法给出通解或通积分，大多数积分必须进行数值计算。所以，一开始就使用数值方法求解通常更加有效。常用的解常微分方程初值问题的数值方法有有限差分法和有限元法，其中有限差分法可以分为两类：（1）单步法，例如Euler方法和 Runge-Kutta方法；（2）多步法，例如线性多步法[2]。我们将同阶的显式公式与隐式公式相比较，发现前者使用方便，计算量较小；而后者一般需用迭代法求解，计算量大，但其局部截断误差较小，稳定性较好。两种方法各有其长处和不足。因此，常常将它们配合起来使用，以发挥它们的优点，弥补各自的不足[3]。而将显式公式和隐式公式联合起来使用，前者提供预测值，后者将预测值加以校正，可以使数值解更精确。这种算法通常被称作预估-校正算法（简称为PC算法）。
1.2 有限差分法的简介[4][5]
television的音标有限差分法是微分方程和积分方程数值解的方法。因其比较简单，所以在实际应用的数值方法中占很大比例。由于数字电子计算机只能存储有限数据和作有限次运算，所以任何一种适用于计算机的解题方法，都必须把连续问题离散化，最终化成有限形式的线性代数方程组。
有限差分法将求解域划分为差分网格，用有限网格节点代替连续的求解域。对其用Taylor级数展开，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商来代替，从而建立以网格节点上的值为未知数的线
性代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，对于矩形区域，有限差分数值解是一种行之有效的方法，由于差分法数学概念直观，表达简单，因而成为发展较早且较成熟的数值方法。对于微分方程定解问题中的每一个差分方法，基本上按照（1）差分
格式的建立；（2）差分格式的求解；（3）算例；（4）差分格式的可解性、收敛性和稳定性等4个方面展开。
本文将从以下两个方面进行展开：首先，在第二部分，讨论了常微分方程初值问题的理论，并引入常微分方程稳定性的概念。然后给出求解的最简单数值方法——Euler方法，实际计算中具有较好数值稳定性的方法——向后Euler方法、梯形方法，以及更成熟、收敛更快速的方法——Runge-Kutta方法、Adams-Bashforth方法、Adams-Moulton方法、Simpson方法、Milne方法和Hamming方法。实际计算中，通常将两者结合起来，利用同阶显式公式先做“预估”，再用隐式公式做一次“校正”，甚至为了提高精度，还可利用事后误差估计“修正”。通过这些操作，可以得到相当理想的预估-校正计算方案，如Adams预估-校正算法和Milne-Hamming预估-校正算法；最后，在第三部分，数值算例中，我们通过几个算例验证了我们的理论分析。
2 常微分方程初值问题的预估-校正算法
facia2.1 预估-校正算法的若干准备
2.1.1 常微分方程初值问题的基本概念
讨论“初值问题”，通常集中于讨论“1阶初值问题”：
⎩
⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y （2.1.1-1） 这是因为，任何高阶方程或方程组的初值问题，经过适当的变换，都可以化为1阶方程组的初值问题，而1阶方程组的初值问题写成向量形式，并把向量形式用标量形式来叙述，就是初值问题的基本形式（2.1.1-1）。
设（2.1.1-1）中的),(y x f 是在{}R y b x a y x D ∈≤≤=,|),(上的连续函数；且),(y x f 关于y 满足Lipschitz 条件，即存在与21,y y 无关的常数0>L ，使得
2121),(),(y y L y x f y x f -≤-, R y y ∈∀21,illume
成立，则R y b a x ∈∈∀00],,[，初值问题（2.1.1-1）的解存在、唯一、连续可微且连续依赖于初始条件[6]
。
jaunt2.1.2 常微分方程初值问题的数值解法——单步法[7]
(1)Euler 方法
Euler 方法是求解初值问题（2.1.1-1）的一种最简单、最基本的数值方法，它不一定作为一种独立的求解方法在实际中使用，但却提供了数值解法的本质思想。
利用Taylor 展开法，设（2.1.1-1）的解)(x y 充分光滑，在已取定的,...)1,0(=b x n 处Taylor 展开有 )(!
2)()()()(321h O h x y h x y x y x y n n n n +''+'+=+ 略去2h 以上的项，并分别用n y ，1+n y 近似表示)(n x y ，)(1+n x y ，且根据方程可知),())(,()(n n n n n y x f x y x f x y ≈='，于是得近似计算公式
),()()(1n n n n y x hf x y x y +=+， ,...)1,0(=n （2.1.2-1） 这就使得从初值0x 和)(00x y y =出发，用式（2.1.2-1）可得)(1x y 的近似值1y ，再由1x ，1y ，用式（2.1.2-1）又可得)(2x y 的近似值2y ，如此继续，即可得初值问题（2.1.1-1）
