等参单元使得我们可以处理非矩形、具有曲边的单元，能够使
有限元模型更适应形状复杂的物体，等参元技术可应用于平面，
空间，板，壳所有单元。
y
x
基本概念：
基本单元-形状规则，定义在参考坐标系中
实际单元-形状可能不规则
1
2
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善意的谎言的好处i u x y N u v x y N v ξηξηξηξηξηξη====∑∑()()
2020年7月六级真题pdf
,,x y x y ξξηη⎧=⎪⎨=⎪⎩1
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i x N x ξη==∑1
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i y N y ξη==∑坐标插值
位移插值
等参单元的要点是：将任意物理空间坐标的单元变换到参考坐标系中，采用的变换函数和描写场函数的单元形函数相同。
如果位移映射的形函数阶数高，则称次参单元，否则称超参单元。
3
12341
1141
1141
1141
114
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N ()()变形金刚2背景音乐
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ξηξηξηξη=−−=+−=++=−+单元内任一点的坐标x , y 采用节点坐标进行插值；单元内任一点的位移也采用相同的插值函数进行插值。
例如，对四边形等参单元，单元内任一点的坐标为：
12312344123
4123400000000
x x x N N N N x x N N N N y y y y y ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤⎡⎤⎪⎪=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
become是什么意思
⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭
ξ
η(-1,-1)
(1,1)
(1,-1)
(-1,1)
4
taken(2) 八节点四边形单元
12
34
5
67
8(3) 八节点六面体单元
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1
,111,2,3,4
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ηη=++=(1) 四节点四边形等参元
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免费在线翻译i i i i N i ξηςξξηηςς=+++="常用的单元形函数
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ξηξηξηξηξηηξξηηξ=−−−+=+−−+=++−+=−+−+=−−=−+=−+=−−
5
单元刚度阵
111212122
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e e e e e n nn K K K K K
d K K Ω⎡⎤
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关于秋天的成语∫T K B DB "##
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应变矩阵
00i i i
老挝语i i N x N y N N y
x
⎡⎤∂⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎣
⎦
B
注意:
1.需要雅可比矩阵及其逆阵
2.积分已经不可能解析地求得，必须数值积分；积分方法和精度成为讨论的一个新问题；虽然某些情况可得到解析解，但公式繁琐，编程复杂，特别是，计算的工作量可能不比数值积分的小
等参单元
6
应变的表达式
or Jacobian u u x u y
x y u u x u y
x y u x y u x u u x y y x y x y x y ∂∂∂∂∂∂ξ∂∂ξ∂∂ξ∂∂∂∂∂∂η∂∂η∂∂η
∂∂∂∂∂ξ∂ξ∂ξ∂∂∂∂∂∂∂η∂η∂η∂∂∂ξ∂ξ∂∂∂ξ∂ξ∂∂∂η∂η=+
=+
⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪
⎢⎥⎪⎪⎪⎪
⎩⎭⎩⎭⎣⎦⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦elvier
其中，和相对容易得到：
由J i
i
i i i
i
i i x N y N x y x N y N x y ∂∂∂∂∂ξ∂ξ∂ξ∂ξ∂∂∂∂∂η∂η∂η∂η
====∑∑∑
∑
沧州翻译公司因此，采用下一种途径：
可由位移在参考坐标系中的插值关系
i i i i
u N (,)u v N (,)v ξηξη==∑∑，求得。
1u u x u u y ∂∂∂ξ∂∂∂∂∂η−⎧⎫⎧⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴=⎨⎬⎨⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭
J
