第15卷 第1期强激光与粒子束Vol.15,No.1 2003年1月HIGH POWER LASER AND PAR TICL E B EAMS Jan.,2003
文章编号:100124322(2003)0120005204
近轴光场演化的计算———惠更斯变换Ξ
施义晋, 董保国
(中国原子能科学研究院，北京102413)
摘 要: 对于远红外自由电子激光使用的大尺度(10m量级)准同心光腔，由于短脉冲效应严重影
响功率演化，光束团的数值模拟必须同时考察时域2空域中的演化，因此计算量是巨大的。为了缩小计
算量但又不失精确度，发展了一种称为“惠更斯变换”的公式，它以简单的类似基尔霍夫2费涅尔公式的
积分运算精确地重现了波荡器之外的光束团演化。
关键词: 惠更斯变换；短脉冲数值模拟；大尺度准同心腔；高平均功率自由电子激光
中图分类号:TN247 文献标识码:A
高平均功率自由电子激光(HAP2FEL)的研制是当前自由电子激光发展的一个重要方向[1]。由于HAP∃FEL的特点，它的光腔目前都采用大尺度(10m量级)准同心腔，这对设计阶段的数值模拟提出了问题。
通常在FEL振荡器的数值模拟中，人们的工作重点聚焦在光场与电子束的相互作用上，也就是说，数值模拟的重心与计算时间主要花费在光场在波荡器内(mm量级)的演化上[2]。由于长脉冲近似，计算工作量虽然很大，仍在可操作的范围内。但在我们拟定的用15MeV电子束驱动的远红外HAP2FEL装置中(激光波长约为30μm)，由于光阴极产生的电子束团长度只有5～10ps(1.5～3mm)，甚至更短。由于电子束团与光束团的速度差异引起的滑移将在光场与电子束的相互作用上产生不可忽略的效应，我们通常称之为“短脉冲效应”，它会引发一系列具有重要意义的现象[3]，而且对高平均功率自由电子激光最关心的功率演化产生严重的影响。因此，为保证前期物理设计的可信性，引进短脉冲概念是不可避免的。
长脉冲近似的放弃，短脉冲概念的引入，如果不采取新的措施，要维持同样的计算精度，至少会将计算工作量增大两个量级以上，这对设计阶段的数值模拟工作的可行性提出了挑战。如果以降低计算精度为代价，勉强进行，那么计算结果的可信度将大打折扣。
由于光阴极电子枪重复频率与镜面破坏阈值的原因，高平均功率自由电子激光准同心腔长度为10m量
级，这相对于波荡器m量级长度为一个量级的差异。波荡器外的光路占了全光路的90%以上，而且是无相互作用的自由演化段。如果在这一光路段的数值计算上做点工作，使计算时间成数量级下降，并能保证计算的精确度，在FEL波荡器的数值模拟方面，那将是一个很重要的进展。以我们目前知道的自由光场的数值解法有以下三种:(1)近轴光场偏微分方程数值解法;(2)变尺度快速傅里叶变换[4];(3)本征解展开法[5]。
如果采用通常的近轴光场偏微分方程数值解，考虑到准同心腔的放大因子M=1+(L/2z R)2为100左右(其中L和z R分别为光腔长度和瑞利长度)，为保证长距离演化的精确度，横向网格需要加密。纵向步长受横向网格长度的制约也将被限制在一个很小的尺度内，一般为纵向演化距离的数千分之一到数万分之一，计算工作量将成数量级地增长。如果采用变尺度快速傅里叶变换，由于光镜的存在，在光束团完成一次振荡的光路上需要作六次变尺度的二维正、逆傅里叶变换，这也将是不小的工作量。
由于光阴极电子枪+超导加速器组成的FEL驱动装置能获得高质量的驱动电子束，归一化发射度可低至10πmm2mrad左右，远远好于与光束横向匹配所需，但对于本征解展开法来说，这并不是好事。由于电子束与光束横向不匹配，光束将包含多种横模激发，因此，为保证可信度，需要多个横模进入计算。
我们发展了一种称之为“惠更斯变换”的公式，它完全可以保证数值的计算精度，计算工作量可降低1～2个量级，而且计算工作量与光腔纵向长度无关，可以说，光腔越大，该方法优势越明显。
Ξ收稿日期:2002204202; 修订日期:2002208206
基金项目：国家863计划项目资助课题
作者简介：施义晋(19402)，男，研究员，博导；北京市275信箱18分箱;E2mail:shiyj@iris.ciae.ac。
1 近轴光场方程积分解———基尔霍夫2费涅尔公式
对于波数为k S沿z轴自由传播的单频波,ψ(x,y,z)=E(x,y,z)e i k S z，在标量与近轴近似下满足近轴光场方程
2i k S 5E(x,y,z)
5z+ 2⊥E(x,y,z)=0(1)
可以证明它的积分形式解为
phone是什么意思中文翻译成
E(x,y,z)=
k S
2πi(z-z0)κd x0d y0E(x0,y0,z0)exp i
k S
2
(x-x0)2+(y-y0)2
z-z0
(2)
式中:E(x0,y0,z0)为z0点的初始已知光场。证明(2)式是方程(1)的解，可以将(2)式直接代入(1)式，也可用傅里叶角谱来证明。我们用后者。对(2)式作傅里叶变换
E(x,y,z)=κd x0d y0P(νx,νy,z)exp[-2πi(νx x+νy y)](3)将(3)式代入(1)式得角谱P(νx,νy,z)的传播律
2i k S 5P(νx,νy,z)
5z+[(2πνx)2+(2πνy)2]E(x,y,z)=0(4)
方程(4)的解很容易求得
P(νx,νy,z)=P(νx,νy,z0)exp-i 2π2(ν2x+ν2y)
k S
(5)
式中:P(νx,νy,z0)为z0点的初始已知光场E(x0,y0,z0)的角谱。
因此将(5)式代入(3)式，再对P(νx,νy,z0)作傅里叶逆变换，立即可得(2)。证讫。
(2)式实际上是基于惠更斯原理的基尔霍夫2费涅尔公式的一种近轴形式，也可看作为一种变换，因此，本文将类似(2)式的变换统称为惠更斯变换。
2 惠更斯变换
2.1 稳定光腔惠更斯变换
在稳定光腔中的光场在球面反射镜之间的来回传播可以等效为一个透镜阵列中的单向的前向传播。对于离开波荡器出口的光场E(x0,y0,z0)，经过上、下游球面反射镜再回到波荡器入口的光场E(x,y,z)，利用(2)式与薄透镜近似，可写出它们的关系为
E(x,y,z)=
nlc
-k3S
i(2π)3κd x a d y a exp i k S
(x-x a)2+(y-y a)2
2L a-
x2a+y2a
R a
×
κd x b d y b exp i k S(x a-x b)2+(y a-y b)2
2L0-x2b+y2b
R b
×
κd x0d y0exp i k S(x-x a)2+(y-y a)2
2L a E
(x0,y0,z0)(6)式中:R a,R b为上、下游球面反射镜的曲率半径;L0,L a,L b分别为光腔(上、下游球面反射镜间)长度，上游球面反射镜到波荡器入口的距离和波荡器出口到下游球面反射镜的距离。只要球面镜面有足够大的费涅尔数，就可以完成两个镜面上的积分，得到
E(x,y,z)=2πk S文言文在线翻译器
i L
exp
i k S
2R1
(x2+y2)κd x0d y0exp i k S(x20+y20)
2R2-
x x0+yy0
L
E(x0,y0,z0)(7)
对比(7)式与(2)式，我们看到，除了L,R1,R2三个量代替z-z0外，两式的形式是一样的，因此将(7)式称为稳定光腔中的惠更斯变换。其中
L=
4
R a R b
L0L a L b+
R a R b
4
(L0+L a+L b)+L0L
a
R b
2+L b
R a
2
+L a L b
R b
2+
R a
ether
2
R1=L R a R b
4L b L0+
R b
2
+
R a
2
+
R b
2L0+
R a
2
-1
R2=L R a R b
4L a L0+
R b
2+
R a
2
+
R a
2L0+
R b
2
-1
(8)
6强激光与粒子束第15卷
2.2 半开放波导型光腔惠更斯变换
对于一个设想的15MeV 电子束驱动的远红外HAP 2FEL 装置，它的激光波长为30
μm ，其衍射扩束现象比较严重。为保持足够的波荡器强度，在波荡器磁场方向(y )上需采用低损耗的波导结构来限制激光束在该方向上的衍射扩束，也就是说，我们采用半开放波导型的柱面镜光腔。对于这样的一个光学装置，可以证明，其中任一点z 的光场E (x ,y ,z )可用另一任意z 0点的光场E (x 0,y 0,z 0)通过惠更斯变换表达为
E (x ,y ,z )=∑
∞
n =1
sin
n
πy b βn
2πi L
1/2
exp -i 2k S
n
πb道林格雷电影
2
(z -z 0)+i βn
x
2
2R 1内库
×∫
∞
-
河北工业研究生院∞
d x 0exp i βn
x 2
02R 2-x x 0
L 2
b
∫
b
d y 0sin
n
πy 0b
E (x 0,y 0,z 0)(9)
式中:β2n =k 2
英语写作常用句型S -(n
π/b )2为波导内的纵向波数,n 为波导横模数
。3 数值计算结果比较
我们以腔长L 0=737.952cm ，上、下游球面反射镜的曲率半径R a =R b =377.78cm ,k S =2118.646cm -1，波荡器长114cm ，波导y 向宽为1.03cm 为条件，分别用近轴光场偏微分方程求数值解[2
]与相应的惠更斯变换
做比较。为了有一个标准，我们用这个光腔的本征模作为初始光场。 图1是位于波荡器出口的光腔基模，把它作为初始光场(输入功率P in =5kW )。图2是以图1为初始光场用惠更斯变换(2)求得的下游镜面上的光场(计算得光场功率P =4999.782W )。图3同样是以图1为初始光场但用求解近轴方程(1)得到的下游镜上的光场(计算得光场功率P =4999.782W ，计算步数为
1000)。图4是按下游镜上的光腔基模的解析表达式计算得到的结果。这些计算结果表明惠更斯变换较之其它方法求解近轴方程不仅大大减小了计算工作量(1～2个量级)，而且更精确。
Fig.1 Basic mode of cavity on the exit of the undulator as the initial.
The difference between contour lines ,Δ=1.8×10-7
图1 位于波荡器出口的光腔基模作为初始光场。
等高线标高间距Δ=1.8×10-
7
Fig.2 Field on the downstream mirror b calculated with Heggens transform (2)from the initial light field of Fig.1.The difference between contour lines ,Δ=9.0×10-8
图2 以图1为初始场，经惠更斯变换(2)得到的下游镜上的光场。
等高线标高间距Δ=9.0×10-8
Fig.3 Field on the downstream mirror b calculated with paraxial optical equation (1)from the initial light field of Fig.1.
The difference between contour lines ,Δ=8.0×10-8
图3 以图1为初始场，经求解近轴方程(1)得到的下游镜上的光场。
等高线标高间距Δ=8.0×10-8
Fig.4 Basic mode of cavity on the downstream mirror b as
the reference of Fig.2and Fig.3.The difference
between contour lines ,Δ=9.0×10-8
图4 位于下游镜上的光腔基模解析表达式计算结果，作为图
2,3两种计算方法的参照。等高线标高间距Δ=9.0×10-8
7
神盾局特工第四季百度云第1期 施义晋等：近轴光场演化的计算———惠更斯变换
我们按式(9)计算了高阶模从波荡器出口到下游镜，从下游镜反射回上游镜，再从上游镜到波荡器出口的结果(见图5,6的对比)
。
Fig.5 Calculated field from the exit of undulator to the downstream mirror b then reflecting to the upstream mirror
a and then returned to the entrance of wiggler with Heggens transform (9)taken higher mode as the initial field.
The difference between contoure lines Δ=3.6×10-7
图5 以高阶模为初始场，利用惠更斯变换(9)得到的从波荡器出口到下游镜经反射回上游镜，再从上游镜到波荡器入口的
结果。等高线标高间距Δ=3.6×10-
7
Fig.6 Higher mode of cavity on the entrance of undulator as the reference of calculated result (Fig.5)by Heggens transform
(9).The difference between contour lines ,Δ=3.6×10-7
图6 位于波荡器入口光腔高阶模解析表达式计算结果作为
张蕾 翻译
利用惠更斯变换(9)计算结果(图5)的参照。
等高线标高间距Δ=3.6×10-7
参考文献:
[1] Neil G R ,et al.First operation of an FEL in same 2cell energy recovery mode[J ].N ucl Inst r and Meth ,2000,A445:192.[2] Marshall T C.Free 2electron lar[M ].New Y ork :Macmillan Pub Com ,1985.52.
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[5] Sprangle P ,Ting T ,Tang C M.Radiation focusing and guiding in the FEL [J ].N ucl Inst r and Meth ,1987,A259:136.
Evolution of paraxial f ield ———H eggens transform
SHI Y i 2jin ,DON G Bao 2guo
(China Institute of A tomic Energy ,P.O.Box 275(18),Beijing 102413,China )
Abstract : The large scale (ten/tens meters )quasi 2concentric cavity ud in high average output power far 2infrared FEL and the
short 2pul effects require that the numerical simulation must involve evolution in both s pace and time ,which means huge quantity of calculating.To decrea quantity of calculating and keep accuracy ,an new calculating method named ”Heggens transform ”was devel 2oped which is an integral expression similar to the K irchhoff 2Fresnel expression and can be applied out of undulator.
K ey w ords : Heggens transform ;short 2pul effects numerical simulation ;quasi 2concentric cavity with large scale ;high average out 2
put power FEL
8强激光与粒子束第15卷
