第４０卷 第１期２０２１年２月
兰
州交通大学学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＬａｎｚｈｏｕＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＶｏｌ．４０Ｎｏ．１
Ｆｅｂ．２０２１
收稿日期：２０２００７?
２２ 学报网址：ｈｔｔｐ：／／ｌｚｔｘ．ｃｂｐｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ第一作者：石 蕊（１９９４－），女，甘肃天水人，博士研究生，主要研究方向为轨道交通网络化控制．Ｅｍａｉｌ：１２４５０８４７１３＠ｑｑ．ｃｏｍ．通信作者：石广田（１９６２－），男，甘肃天水人，教授，主要研究方向为轨道交通系统动力学研究．Ｅ?
ｍａｉｌ：ｓｈｉｇｔ＠ｍａｉｌ．ｌｚｊｔｕ．ｃｎ．文章编号：１００１４３７３（２０２１）０１?００７３?
１０ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１?
４３７３．２０２１．０１．０１２基于Ｔ
Ｓ模型的半车辆悬挂系统控制研究石 蕊１，石广田１
，崔彦良１（兰州交通大学机电工程学院，兰州 ７３００７０）
摘要：针对不确定性和信号测量丢失的半车辆悬挂系统随机均方稳定和约束性能问题．首先，考虑簧上质量和簧下质量的不确定性，传感器故障和数据丢包，建立更接近实际环境的非线性半车辆悬挂系统模型．其次，利用Ｔａｋａｇｉ?Ｓｕｇｅｎｏ（ＴＳ）对该模型进行线性化处理．最后，设计与模型相关的李亚普诺夫函数，并推出满足悬挂系统约束性能的随机均方稳定条件．仿真结果证明了所提出控制策略的有效性．关键词：半车辆悬挂系统；ＴＳ模糊模型；李亚普诺夫函数；稳定性中图分类号：Ｕ２７９．２，Ｕ２７９．５ 文献标志码：Ａ
spring怎么读ＲｅｓｅａｒｃｈｏｆＳｅｍｉｖｅｈｉｃｌｅＳｕｓｐｅｎｓｉｏｎＳｙｓｔｅｍｓＣｏｎｔｒｏｌＢａｓｅｄｏｎＴ?
ＳＭｏｄｅｌＳＨＩＲｕｉ１，ＳＨＩＧｕａｎｇｔｉａｎ１
肯尼迪就职演讲
，ＣＵＩＹａｎ?
ｌｉａｎｇ１（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＬａｎｚｈｏｕＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ７３００７０，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｍｅａｎｓｑｕａｒｅｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｓｅｍｉｖｅｈｉｃｌｅｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎｓｙｓｔｅｍｗｉｔｈｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙａｎｄｌｏｓｓｏｆｓｉｇｎａｌｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ，ａｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｅｍｉ?ｖｅｈｉｃｌｅｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎｍｏｄｅｌｓｙｓｔｅｍｗｈｉｃｈｉｓｃｌｏｓｅｒｔｏｔｈｅａｃｔｕａｌｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｂｙｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇｔｈｅｕｎｃｅｒ ｔａｉｎｔｉｅｓｏｆｓｐｒｕｎｇｍａｓｓａｎｄｕｎｓｐｒｕｎｇｍａｓｓ，ｓｅｎｓｏｒｆａｕｌｔｓａｎｄｄａｔａｐａｃｋｅｔｌｏｓｓ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｔｈｉｓｍｏｄｅｌｉｓｌｉｎｅ ａｒｉｚｅｄｂｙｕｓｉｎｇＴａｋａｇｉＳｕｇｅｎｏ（Ｔ?Ｓ）．Ｆｉｎａｌｌｙ，ＡＬｙａｐｕｎｏｖ?Ｋｒａｓｏｖｓｋｉｉｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ（ＬＫＦ）ｒｅｌａｔｅｄｔｏｔｈｅｍｏｄｅｌｉｓｄｅｓｉｇｎｅｄ，ｔｈｕｓｔｈｅｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｍｅａｎｓｑｕａｒｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｗｈｉｃｈｓａｔｉｓｆｉｅｓｔｈｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｐｅｒ ｆｏｒｍａｎｃｅｏｆｔｈｅｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎｓｙｓｔｅｍｉｓｄｅｄｕｃｅｄ．Ｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄｃｏｎｔｒｏｌｓｔｒａｔｅｇｙｉｓｖｅｒｉｆｉｅｄｂｙｔｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｅｍｉｖｅｈｉｃｌｅｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎｓｙｓｔｅｍ；Ｔ?Ｓｆｕｚｚｙｍｏｄｅｌ；Ｌｙａｐｕｎｏｖ?Ｋｒａｓｏｖｓｋｉｉｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ；ｓｔａｂｉｌｉｔｙ 悬挂系统在车辆中扮演着越来越重要的角色，为提高车辆悬挂系统在乘坐舒适性和悬挂挠度约束等方面的性能，已做了大量研究．由于车辆主悬挂系
统［１
６］簧上质量和簧下质量在载荷条件下会变化［７?８］，若控制设计过程中未考虑车辆质量变化，则
会影响系统性能．已提出改善悬挂系统约束性能的
方法较多，如线性优化控制［９１０］，ＴＳ模糊模型［１１?
１４］和采样控制［１５?１６］等．因车辆运行过程中乘客数量变
化，组件损坏和通信延迟会对系统造成干扰，不确定
性和时滞等问题，进而导致系统不稳定甚至性能恶化．同时，在车辆悬挂系统模型引入了非线性项．为了便于后续计算，首先必须线性化，但目前线性化的方法有微分几何理论和Ｔａｙｌｏｒ展开等方法，都存在一定缺陷，如微分几何理论要求被控对象模型完全精确已知，
Ｔａｙｌｏｒ展开法仅在工作点附近才能取得较好效果．因此采用Ｔ?
Ｓ模型［１７?
１８］进行线性化，通过提出新的采样数据控制方案，将随机Ｔ
Ｓ主悬挂系统转换为连续时滞系统，基于李亚普诺夫稳定性理
兰州交通大学学报第４０卷
论设计采样状态反馈控制器便于研究随机ＴＳ悬挂系统，确保改善悬挂性能并满足约束，使系统随机均方稳定．
１ 系统描述
将静力平衡位置ｚｃ作为车身质心位移和角位移的原点，基于牛顿第二定律建立图１所示的半车辆
悬挂模型的运动方程，其动力方程可描述为［１９］
：
ｍｓ¨ｚｃ（ｔ）＋ｋｓｆ［ｚｓｆ（ｔ）－ｚｕｆ（ｔ）］＋ｃｓｆ［ ｚｓｆ
（ｔ）－ ｚｕｆ（ｔ）］＋ｋｓｒ［ｚｓｒ（ｔ）－ｚｕｒ（ｔ）］＋ｃｓｒ［ ｚｓｒ（ｔ）－ ｚｕｒ（ｔ）］＝ｕｆ（ｔ）＋ｕｒ（ｔ），（１）Ｉφ¨φ（ｔ）－ｌ１ｋｓｆ［ｚｓｆ（ｔ）－ｚｕｆ（ｔ）］－ｌ１ｃｓｆ［ ｚｓｆ（ｔ）－ ｚｕｆ（ｔ）］＋ｌ２ｋｓｒ［ｚｓｒ（ｔ）－ｚｕｒ（ｔ）］＋ｌ２ｃｓｒ［ ｚｓｒ
（ｔ）－ ｚｕｒ（ｔ）］＝－ｌ１ｕｆ（ｔ）＋ｌ２ｕｒ
（ｔ），（２）ｍｕｆ¨ｚｕｆ（ｔ）－ｋｓｆ［ｚｓｆ（ｔ）－ｚｕｆ（ｔ）］－ｃｓｆ［ ｚｓｆ
（ｔ）－ ｚｕｆ（ｔ）］＋ｋｔｆ［ｚｕｆ（ｔ）－ｚｒｆ（ｔ）］＝－ｕｆ
（ｔ），（３）ｍｕｒ¨ｚｕｒ（ｔ）－ｋｓｒ［ｚｓｒ（ｔ）－ｚｕｒ（ｔ）］－ｃｓｒ［ ｚｓｒ（ｔ）－ ｚｕｒ（ｔ）］＋ｋｓｒ［ｚｕｒ（ｔ）－ｚｒｒ（ｔ）］＝－ｕｒ
（ｔ）．（４）
定义以下比例：ａ１＝１ｍｓ＋ｌ２
１
Ｉφ，ａ２＝１ｍｓ－ｌ１ｌ２Ｉφ，ａ３＝１ｍｓ＋ｌ２
２Ｉφ
．并且设置以下状态变量，前车车体的悬挂扰度和垂直速度分别为：ｘ１（ｔ）＝ｚｓｆ（ｔ）－ｚｕｆ（ｔ），ｘ２
（ｔ）＝ ｚｓｆ（ｔ）；后车车体的悬挂挠度与垂直速度分别为：ｘ３（ｔ）＝ｚｓｒ（ｔ）－ｚｕｒ（ｔ），ｘ４（ｔ）＝ ｚｓｒ（ｔ）；前轮扰度与垂直速度分别为：ｘ５＝ｚｕｆ（ｔ）－ｚｒｆ（ｔ），ｘ６（ｔ）＝ ｚｕｆ（ｔ）；后轮扰度与垂直速度分别为：ｘ７（ｔ）＝ｚｕｒ（ｔ）－ｚｒｒ（ｔ），ｘ８（ｔ）＝ ｚｕｒ
（ｔ）．本文选择沉浮和俯仰加速度作为第一控制输
出向量，即ｚ１（ｔ）＝ｑ１¨ｚｃ
（ｔ）ｑ２
¨φ（ｔ[]
），其中：ｑ１＝１，ｑ２＝ｑ１
ｌ１ｌ槡
２．悬挂挠度和轮胎载荷的硬约束可以定义为二次
控制输出，即
ｚ２
（ｔ）＝ｚ
ｓｆ（ｔ）－ｚｕｆ（ｔ）ｚｆｍａｘｚｓｒ（ｔ）－ｚｕｒ（ｔ）ｚｒｍａｘ
ｋｔｆ（ｚｕｆ（ｔ）－ｚｒｆ（ｔ））Ｆｆｋｔｒ（ｚｕｆ（ｔ）－ｚｒｒ（ｔ））Ｆ
ｒ
，控制器
控制器
!
!
"#$
"%$
"&$
'($
)($*%$
*%&
)(&'(&
'+&
'+
"(&
"%&
"&&
")
$
%$ +
%& +
*(
,
图１ 半车辆模型
Ｆｉｇ．１ Ｓｅｍｉ
ｖｅｈｉｃｌｅｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎｍｏｄｅｌ综上所述，用以下方程描述半车辆悬挂开环系统：
ｘ（ｔ）＝Ａｘ（ｔ）＋Ｂ１ω（ｔ）＋Ｂ２
ｕ（ｔ）；ｚ１（ｔ）＝Ｃ１ｘ（ｔ）＋Ｄ１ｕ（ｔ）；ｚ２（ｔ）＝Ｃ２
ｘ（ｔ{
），（５）
其中，定义增广状态向量ｘ（ｔ）＝［ｘ１（ｔ） ｘ２（ｔ） ｘ３
接入（ｔ）ｘ４（ｔ） ｘ５（ｔ） ｘ６（ｔ） ｘ７（ｔ） ｘ８
（ｔ）］Ｔ
，ｕ（ｔ）＝ｕｆ
（ｔ）ｕｒ
（ｔ[]
）是控制输入，ｚ１（ｔ），ｚ２
（ｔ）是控制输出，ω（ｔ）＝ ｚｒｆ
（ｔ） ｚｒｒ
（ｔ[]
）是外部扰动．
Ａ＝０
１０００－１００－ｋｓｆａ１－ｃｓｆａ１－ｋｓｒａ２－ｃｓｒａ２０ｃｓｆａ１０ｃｓｒａ２０
００１０００－１－ｋｓｆａ２－ｃｓｆａ２－ｋｓｒａ３－ｃｓｒａ３０ｃｓｆａ２０ｃｓｒａ３０００００１００ｋｓｆｍｕｆｃｓｆｍｕｆ００－ｋｔｆｍｕｆ－ｃｓｆ
ｍｕｆ０００００００００１００ｋｓｒｍｕｒｃｓｒｍｕｒ００－ｋｔｒｍｕｒ－ｃｓｒｍ
ｕｆ
，４
７
第１期石 蕊等：基于Ｔ?Ｓ模型的半车辆悬挂系统控制研究
Ｂ１＝
０１００－１００
００００１００－[
]
１０
Ｔ
，Ｂ２＝０ａ１０ａ２
０－１ｍｕｆ
０００ａ２０ａ３０００－１ｍ
ｕｒ
Ｔ
，
Ｃ１＝
ｑ１
００ｑ[]
２
－ｋｓｆｍｓ－ｃｓｆｍｓ－ｋｓｒｍｓ－ｃｓｒｍｓ０－ｃｓｆｍｓ０
英语日记带翻译ｃｓｒｍｓｌ１ｋｓ
ｆＩφｌ１ｃｓｆＩφ－ｌ２ｋｓｒＩφ－ｌ２ｃｓｒＩφ０－ｌ１ｃｓｆＩφ０－ｌ２ｃｓｒＩ
φ
，Ｄ１＝ｑ１
００ｑ[]
２１
ｍｓ１ｍｓ－ｌ１Ｉφｌ２Ｉ φ
，
Ｃ２＝１
ｚｆｍａｘ０００００００
００１ｚｒｍａｘ０００００００００ｋｔｆ
Ｆｆ
０００
００
０
０００ｋｔｒＦｒ
０，弹簧质量ｍｓ和前后车轮非弹簧质量ｍｕｆ，ｍｕｒ是不确定的，将给出质量的范围变化，即ｍｓ∈［ｍｓｍｉｎ ｍｓｍａｘ］，ｍｕｆ∈［ｍｕｆｍｉｎ ｍｕｆｍａｘ］，ｍｕｒ∈［ｍｕｒｍｉｎ ｍｕｒｍａｘ
］，并且会有１ｍｓｍｉｎ＝＾ｍｓ，１ｍｓｍａｘ＝ˇｍｓ；１ｍｕｆｍｉｎ＝＾ｍｕｆ，１ｍｕｆｍａｘ＝ˇｍｕｆ；１ｍｕｒｍｉｎ＝＾ｍｕｒ，１ｍｕｒｍａｘ＝ˇｍｕｒ；ξ１（ｔ）＝１ｍｓ，ξ２（ｔ）＝１ｍｕｆ，ξ３
（ｔ）＝１ｍｕｒ
．１ｍｓ＝Ｍ１（ξ１（ｔ））＾ｍｓ＋Ｍ２（ξ１（ｔ））ˇｍｓ
，１ｍｕｆ＝Ｎ１（ξ２（ｔ））＾ｍｕｆ＋Ｎ２（ξ２（ｔ））ˇｍｕｆ，１ｍｕｒ＝Ｏ１（ξ３（ｔ））＾ｍｕｒ＋Ｏ２（ξ３（ｔ））ˇｍｕｒ，Ｍ１（ξ１（ｔ））＋Ｍ２（ξ１（ｔ））＝１，Ｎ１（ξ２（ｔ））＋Ｎ２（ξ２（ｔ））＝１，Ｏ１（ξ３（ｔ））＋Ｏ２（ξ３（ｔ））＝１．计算得到以下隶属度函数：
Ｍ１（ξ１（ｔ））＝１ｍｓ－ˇｍｓ＾ｍｓ－ˇｍｓ，Ｍ２（ξ１（ｔ））＝＾ｍｓ－１ｍｓ＾ｍｓ－ˇ
ｍｓ
；Ｎ１（ξ２（ｔ））＝１ｍｕｆ－ˇｍｕｆ＾ｍｕｆ－ˇｍｕｆ，Ｎ２（ξ２（ｔ））＝＾ｍｕｆ－１ｍｕｆ
＾ｍｕｆ－ˇｍｕｆ；Ｏ１（ξ３（ｔ））＝１ｍｕｒ－ˇｍｕｒ＾ｍｕｒ－ˇｍｕｒ，Ｏ２（ξ３（ｔ））＝＾ｍｕｒ－１ｍｕｒ＾ｍｕｒ－ˇｍｕｒ．因此，可以将系统（５）通过Ｔ
Ｓ模糊模型表示为如下系统［２０］
：
模型规则１：如果ξ１（ｔ）是重的，ξ２
（ｔ）是重的，并且ξ３
（ｔ）是重的，则： ｘ（ｔ）＝Ａ１ｘ（ｔ）＋Ｂ１１ω（ｔ）＋Ｂ２１
ｕ（ｔ）；ｚ１（ｔ）＝Ｃ１１ｘ（ｔ）＋Ｄ１１ｕ（ｔ）；ｚ２（ｔ）＝Ｃ２１
ｘ（ｔ{），（６）
模型规则２：如果ξ１（ｔ）是轻的，ξ２
（ｔ）是轻的，并且ξ３（ｔ）是轻的，则： ｘ（ｔ）＝Ａ２ｘ（ｔ）＋Ｂ１２ω（ｔ）＋Ｂ２２
ｕ（ｔ）；ｚ１（ｔ）＝Ｃ１２ｘ（ｔ）＋Ｄ１２ｕ（ｔ）；ｚ２（ｔ）＝Ｃ２２
ｘ（ｔ{），（
７）模型规则３：如果ξ１（ｔ）是轻的，ξ２
（ｔ）是重的，并且ξ３
（ｔ）是重的，则： ｘ（ｔ）＝Ａ３ｘ（ｔ）＋Ｂ１３ω（ｔ）＋Ｂ２３
ｕ（ｔ）；ｚ１（ｔ）＝Ｃ１３ｘ（ｔ）＋Ｄ１３ｕ（ｔ）；ｚ２（ｔ）＝Ｃ２３
ｘ（ｔ{），（
８）模型规则４：如果ξ１（ｔ）是重的，ξ２
（ｔ）是轻的，并且ξ３
（ｔ）是轻的，则： ｘ（ｔ）＝Ａ４ｘ（ｔ）＋Ｂ１４ω（ｔ）＋Ｂ２４
ｕ（ｔ）；ｚ１（ｔ）＝Ｃ１４ｘ（ｔ）＋Ｄ１４ｕ（ｔ）；ｚ２（ｔ）＝Ｃ２４
ｘ（ｔ{
），（
９）总之，通过模糊混合，以上系统可以表示为如下形式：
ｘ
（ｔ）＝∑４
ｉ＝１
ｈｉ（ξ（ｔ））｛Ａｉｘ（ｔ）＋Ｂ１ｉω（ｔ）＋Ｂ２ｉｕ（ｔ）｝；ｚ１（ｔ）＝∑４ｉ＝１ｈｉ（ξ（ｔ））｛Ｃ１ｉｘ（ｔ）＋Ｄ１ｉ
ｕ（ｔ）｝；ｚ２（ｔ）＝∑４ｉ＝１ｈｉ（ξ（ｔ））Ｃ２ｉ
ｘ（ｔ
），（１０）
学院用英语怎么说其中：
ｈ１（ξ（ｔ））＝Ｍ１（ξ１（ｔ））×Ｎ１（ξ２（ｔ））×Ｏ１（ξ３（ｔ）），ｈ２（ξ（ｔ））＝Ｍ２（ξ１（ｔ））×Ｎ２（ξ２（ｔ））×Ｏ２（ξ３（ｔ）），ｈ３（ξ（ｔ））＝Ｍ２（ξ１（ｔ））×Ｎ１（ξ２（ｔ））×Ｏ１（ξ３（ｔ）），ｈ４（ξ（ｔ））＝Ｍ１（ξ１（ｔ））×Ｎ２（ξ２（ｔ））×Ｏ２（ξ３
（ｔ））．显而易见，模糊隶属度函数应满足以下条件：
５
７
兰州交通大学学报第４０卷
ｈｉ（ξ（ｔ））≥０，∑４
ｉ＝１
ｈｉ
（ξ（ｔ））＝１．考虑到在复杂运行环境和长时间工作中的悬挂系统会有一些故障存在，为了处理它在整个过程中存在的问题，故障模型可以表示为：
＾ｘｊ（ｔｋ）＝Ｆｊｘｊ（ｔｋ）＝Ｆｘ（ｔ－ｄ（ｔ））＝Ｆｘ（ｔ－τ１（ｔ））＋Ｆｘ（ｔ－τ２
（ｔ）），ｊ＝１，２，３，４．０≤τ１（τ）＜ｃ１，ｃ１≤τ２（ｔ）＜ｃ２
，其中Ｆｊ表示故障系数，从故障模型中我们可以看到，如果Ｆｊ＝０时，则第ｊ个状态信号将完全丢失；如果Ｆｊ＝１时，这意味着在第ｊ个状态中没有故障；如果０＜Ｆｊ＜１时，则在第ｊ个状态中存在部分故障．令Ｆ＝ｄｉａｇ｛Ｆ１，Ｆ２，Ｆ３，Ｆ４
｝．在实际应用中，悬挂系统中通常会存在状态时滞，这将会导致系统控制性能的恶化，另一方面，由于复杂的工作环境和传输路线，对悬挂系统会产生数据包丢失的现象是不可避免的．
因此，将引入两个独立的伯努利随机分布过程来描述以上问题：珋ｘ（ｔｋ）＝α（ｔ）Ｆｘ（ｔ－τ１（ｔ））＋（１－α（ｔ））β（ｔ）Ｆｘ（ｔ－τ２
（ｔ）），α
（ｔ）和β（ｔ）表示两个独立伯努利随机变量并且满足以下条件：Ｐｒｏｂ｛α（ｔ）＝１｝＝珔α，Ｐｒｏｂ｛α
（ｔ）＝０｝＝１－珔α；Ｐｒｏｂ｛β（ｔ）＝１｝＝珔β，Ｐｒｏｂ｛β（ｔ）＝０｝＝１－珔β
．注释：在网络环境中考虑到数据传输通道带宽限制下两个网络诱导现象是不可避免的，即随机状态时滞和数据丢失．
１）如果α（ｔ）＝１，则传输信号只受制于时滞τ１（ｔ）；其中当τ１（ｔ）＝０时，传输信号是正常的；当０≤τ１（ｔ）＜ｃ１时，传输信号受制于ｃ１≤τ２（ｔ）＜ｃ２
．２）如果α（ｔ）＝０，β（ｔ）＝１时，则传输信号只受制于τ２（ｔ），其中ｃ１≤τ２（ｔ）＜ｃ２
．３）如果α（ｔ）＝０，β（ｔ）＝０时，则传输信号完全丢失．
模糊状态反馈控制器设计如下：
ｕ（ｔ）＝∑４
ｉ＝１ｈｉ（ξ（ｔ））Ｋｉ珋ｘ（ｔｋ
），其中：ｔｋ＝ｔ－ｄｋ
（ｔ）．即：ｕ（ｔ）＝∑４
ｉ＝１
ｈｉ（ξ（ｔ））Ｋｉ［α（ｔ）Ｆｘ（ｔ－τ１
（ｔ））＋（１－α（ｔ））β（ｔ）Ｆｘ（ｔ－τ２
（ｔ））］．综合以上，可推导出随机ＴＳ模糊悬挂系统的模型如下：
ｘ（ｔ）＝∑４
ｉ＝１∑４
ｊ＝１
ｈｉ（ξ（ｔ））ｈｊ（ξ（ｔ））［（Ａ１＋（
珔α＋（１－珔α）珔β）Ｂ２ｉＫｊＦ）］ｘ（ｔ）－珔αＢ２ｉＫｊＦ∫
ｔ
ｔ－τ１
（ｔ） ｘ（ｓ）ｄｓ－
（１－珔α）珔βＢ２ｉＫｊＦ∫
ｔ
ｔ－τ２
（ｔ） ｘ（ｓ）ｄｓ＋Ｂ１ｉ
ω（ｔ）－（α（ｔ）－珔α）Ｂ２ｉＫｊ
Ｆ∫ｔ
ｔ－τ１
（ｔ） ｘ
（ｓ）ｄｓ－（（１－α（ｔ））β（ｔ）－（１－珔α）珔β）Ｂ２ｉＫｊ
Ｆ∫ｔ
ｔ－τ２
（ｔ） ｘ（ｓ）ｄｓ＋（（α
（ｔ）＋（１－α（ｔ））β（ｔ））－（珔α＋（１－珔α）珔β））Ｂ２ｉＫｊ
Ｆｘ（ｔ），（１１）
ｚ１（ｔ）＝∑４
ｉ＝１∑４
ｊ＝１
ｈｉ（ξ（ｔ））ｈｊ（ξ（ｔ））［（Ｃ１ｉ＋（珔α＋（１－珔α）珔β）Ｄ１ｉＫｊＦ）］ｘ（ｔ）－珔αＤ１ｉＫｊＦ∫
ｔ
ｔ－τ１
（ｔ） ｘ（ｓ）ｄｓ－
（１－珔α）珔βＤ１ｉＫｊ
Ｆ∫ｔ
ｔ－τ２
（ｔ） ｘ
（ｓ）ｄｓ－（（１－α（ｔ））β（ｔ）－（１－珔α）珔β）Ｄ１ｉＫｊ
Ｆ∫ｔ
ｔ－τ２
（ｔ） ｘ（ｓ）ｄｓ＋（（α
（ｔ）＋（１－珔α）珔β））Ｄ１ｉＫｊ
Ｆｘ（ｔ），（１２）ｚ２（ｔ）＝∑４
ｉ＝１
ｈｉ（ξ（ｔ））Ｃ２ｉ
ｘ（ｔ）．（１３）
存在以下表达式：
Ｅ｛α（ｔ）｝＝珔α，Ｅ｛β（ｔ）｝＝珔β
，Ｅ｛（α（ｔ）－珔α）２｝＝珔α（１－珔α），Ｅ｛（β（ｔ）－珔β
）２｝＝珔β（１－珔β
），Ｅ｛（（１－α（ｔ））β（ｔ）－（１－珔α）珔β）２
｝＝（１－珔α）珔β－（１－珔α）２珔β２
，
Ｅ｛（（１－α（ｔ））β（ｔ））－（（１－珔α）珔β
）｝＝０，Ｅ｛（α（ｔ）＋（１－α（ｔ））β（ｔ））－（珔α＋（１－珔α）珔β
）｝＝０．２ 车辆悬挂系统的控制目标
在车辆悬挂控制系统中，乘坐舒适性和操作安全性是必须处理的两个重要目标，因此，应满足以下
条件［
２１?
２２］：Ｅ｛‖ｚ１
（ｔ）‖２｝≤γ‖ω（ｔ）‖２．１）乘坐舒适性：乘坐舒适性可以量化为车体加速度．
２）悬挂扰度约束：为了避免损坏车辆部件和有更多乘客的不适，主动悬挂控制器必须能够防止悬挂系统达到其运行极限．因此，必须确保以下悬挂挠度：
｜ｚｓｆ（ｔ）－ｚｕｆ（ｔ）｜≤ｚｆｍａｘ，｜ｚｓｒ（ｔ）－ｚｕｒ
（ｔ）｜≤ｚｒｍａｘ
．３）轮胎与地面的附着力：为了确保轮胎与地面之间不间断接触，对前后轮胎来说，动态轮胎负荷不
应超过静态轮胎负荷，即
｜ｋｓｆ（ｚｕｆ（ｔ）－ｚｒｆ（ｔ））｜≤Ｆｆ，｜ｋｓｒ（ｚｕｒ（ｔ）－ｚｒｒ（ｔ））｜≤Ｆｒ
．６
７
第１期石 蕊等：基于Ｔ?Ｓ模型的半车辆悬挂系统控制研究
３ 主要结果
３．１ 引理
对任意正定矩阵Ｒ，标量γ＞０，定义向量函数ｆ
∶［０ γ］→Ｒｎ的积分，即存在以下不等式［２０］
：
（∫
γ
０
ｆ（ｓ）ｄｓ）Ｔ
Ｒ（∫
γ
０
ｆ（ｓ）ｄｓ）≤γ∫
γ
０
ｆＴ
（ｓ）Ｒｆ（ｓ）ｄｓ．３．２ 定理
给出正的标量ρ，珔α和珔β
，传感器故障矩阵Ｆ，如果正定对称矩阵珔Ｐ，珚Ｑ１，珚Ｑ２，珚Ｒ１，珚Ｒ２，珚Ｒ３，控制增益珔Ｋｊ，ｊ＝１，２，３，４．和矩阵（１４）（１５）存在，则可确保悬挂系统随机均方稳定，同时提高悬挂系统的约束性能，也可
计算控制增益Ｋｊ＝珔Ｋｊ
珔Ｐ－１Ｆ－１．Ω＝
Ω１
１
珋
Ｓ珔Ｒ１－Ｗ珔Ｒ２－珋Ｓ＋珚ＷΩ１２Ω１３Ω１４
Ｂ１ｉΩ１５Ω１６Ω１７Ω１８Ω１９Ω１１０Ω１１１
－珔Ｑ１＋珔Ｑ２－珔Ｒ１－珔Ｒ３
加减乘除英语珔Ｒ１０珔Ｒ３０
０
０００００００００
－２珔Ｒ１００
－珔ＵＴ
０
０００００００００ －珔Ｑ２－珔Ｒ２－珔Ｒ３
北京新东方学校
珔Ｒ２＋珔Ｒ３００
０００００００００
ccic
－２珔Ｒ２－２珔Ｒ３
０－珔Ｖ
Ｔ
０００００００００ －２珔Ｕ０
０
Ω６１Ω６２Ω６３Ω６４Ω６５Ω６６Ω６７Ω６８
－２珔Ｖ０Ω７１
Ω７２
Ω７３
Ω７４Ω７５Ω７６Ω７７Ω７８
－γ２
Ｉ
ＢＴ
１ｉ
ＢＴ
１ｉ
ＢＴ
１ｉ
０００００
珔Ｒ１
ａ２－２Ｐａ０００００００ 珔Ｒ２
ａ２－２Ｐａ００００００ 珔Ｒ３
ａ２－２Ｐａ０００００ 珔Ｒ１－２珔Ｐ００００
珔Ｒ２－２珔Ｐ０
０
０ 珔Ｒ３－２珔Ｐ００
－ｂ２Ｉ
０
－Ｉ＜０．（１４）
－珔Ｐ槡ρ珔Ｐ｛Ｃ２ｉ｝Ｔ
ｑ
[]
－Ｉ＜０（１５）
Ω１１＝珔ＰＡＴｉ＋Ａｉ珔Ｐ＋ｆ１（珔ＫＴｊＢＴ２ｉ＋Ｂ２ｉ珔Ｋｊ）＋珚Ｑ１－珔Ｒ１－
珔Ｒ２，Ω１２＝－珔αＢ２ｉ珔Ｋｊ＋珚ＵＴ
，Ω１３＝－ｆ２Ｂ２ｉ珔Ｋｊ＋珔ＶＴ
，Ω１４＝
珔ＰＡＴｉ＋ｆ１珔ＫＴｊＢＴ２ｉ，Ω１５＝珔ＰＡＴｉ＋ｆ１珔ＫＴｊＢＴ２ｉ，Ω１６＝珔ＰＡＴ
ｉ＋ｆ１珔ＫＴｊＢＴ２ｉ，Ω１７＝ｆ３珔ＫＴｊＢＴ２ｉ，Ω１８＝ｆ３珔ＫＴｊＢＴ２ｉ，Ω１９＝ｆ３珔ＫＴｊＢＴ２ｉ，Ω１１０＝珔ＰＣＴ１ｉｂ＋ｆ１珔ＫＴｊＤＴ
１ｉｂ，Ω１１１＝ｆ３珔ＫＴｊＤＴ１ｉ，Ω６１＝－珔α珔ＫＴｊＢＴ
２ｉ
，Ω６２＝－珔α珔ＫＴｊＢＴ２ｉ，Ω６３＝－珔α珔ＫＴｊＢＴ２ｉ，Ω６４＝ｆ４珔ＫＴｊＢＴ２ｉ，Ω６５＝
ｆ４珔ＫＴｊＢＴ２ｉ，Ω６６＝ｆ４珔ＫＴｊＢＴ２ｉ，Ω６７＝－珔α珔ＫＴｊＤＴ
１ｉ
ｂ
，Ω６８＝ｆ４珔ＫＴｊＤＴ
１ｉ
，Ω７１＝－ｆ２珔ＫＴｊＢＴ２ｉ，Ω７２＝－ｆ２珔ＫＴｊＢＴ２ｉ，Ω７３＝－ｆ２珔ＫＴｊＢＴ２ｉ，Ω７４＝
ｆ５珔ＫＴｊＢＴ２ｉ，Ω７５＝ｆ５珔ＫＴｊＢＴ２ｉ，Ω７６＝ｆ５珔ＫＴｊＢＴ
２ｉ，Ω７７
＝－ｆ２珔ＫＴｊＤＴ
１ｉｂ
，Ω７８＝ｆ５珔ＫＴｊＤＴ１ｉ
，其中：ｆ１＝珔α＋（１－珔α）珔β，ｆ２＝（１－珔α）珔β，ｆ３＝
（ｆ１＋（珔α２
＋（１－珔α）２珔β２
槡
）），ｆ４＝珔α（１－珔α槡），ｆ５＝
（（１－珔α）珔β－（１－珔α２
）珔β２
槡
雅思在线学习）．证明：
Ｖ（ｘｔ）＝Ｖ１（ｘｔ）＋Ｖ２（ｘｔ）＋Ｖ３（ｘｔ），Ｖ１（ｘｔ
）＝ｘＴ
（ｔ）Ｐｘ（ｔ），Ｖ２（ｘｔ
）＝∫ｔ
ｔ－ｃ１ｘＴ
（ｓ）Ｑ１
ｘ（ｓ）ｄｓ＋∫ｔ－－ｃ１
ｔ－ｃ２
ｘＴ
（
ｓ）Ｑ２
ｘ（ｓ）ｄｓ，Ｖ３
（ｘｔ
）
＝ｃ１
∫０
－ｃ１
∫ｔ
ｔ
＋ｓｘＴ
（ｓ）Ｒ１
ｘ（ｓ）ｄｓｄθ＋ｃ
２
∫０
－ｃ２
∫
ｔ
ｔ＋ｓ
ｘＴ
（ｓ）Ｒ２
ｘ（ｓ）ｄｓｄθ＋ｃ１２
∫－ｃ１－ｃ２
∫ｔ
ｔ＋ｓ
ｘＴillustrates
（ｓ）Ｒ３
ｘ（ｓ）ｄｓｄθ
，对以上所构造的李亚普诺夫函数沿系统（１１）的轨迹进行求导可得：
Ｖ·
（ｘｔ
）＝Ｅ｛ ｘＴ（ｔ）Ｐｘ（ｔ）＋ｘＴ（ｔ）Ｐ ｘ（ｔ）＋ｘＴ（ｔ）Ｑ１ｘ（ｔ）－ｘＴ（ｔ－ｃ１）Ｑ１ｘ（ｔ－ｃ１）＋ｘＴ
（ｔ－ｃ１）Ｑ２
ｘ（ｔ－ｃ１）－ｘＴ（ｔ－ｃ２）Ｑ２ｘ（ｔ－ｃ２）＋ｃ２１ ｘＴ（ｔ）Ｒ１ ｘ（ｔ）＋ｃ２２
７
７
