极限及几种求极限重要方法的探究
王龙科
西北师范大学数学与信息科学学院甘肃兰州 730070
摘要：极限理论是高等数学的理论基石，也是研究高等数学的重要方法。高等数学中的微分和积分理论都是建立在极限理论基础之上的，这说明理清极限理论和重要极限求法是非常有必要的。本文主要分两大部分作以探究，第一部分介绍极限理论；第二部分列举求极限的常见方法，并配有相关例题加以说明。
关键词：极限；高等数学；求极限的方法
一、引言
极限是高等数学中最重要得概念之一，是研究积分和微分的重要工具。极限思想也是研究高等数学的重要思想，掌握极限思想是学习微分和积分的基础。极限是描述数列和函数在无限变换过程中的变化趋势的概念，它是人们从有限认识到无限、从近似认识到精确、从量变认识到质变的一种数学方法。极限理论的出现是微积分发展历史上的一个历程碑，它使微积分理论更加蓬勃法展起来。本文接下来将就极限理论思想和求极限的重要方法进行探究。
二、极限理论
1、数列极限
定义1若函数f的定义域为全体正整数集合N⁺，则称
f: N⁺→R 或f(n),n∈N⁺
为数列.因为正整数集N⁺的元素可按由小到大的顺序排列，故数列f(n)也可写作a1，a2，…，a n…，或简单地记作{a n}，其中a n称为该数列的通项。
定义2设a n为数列，a为定数。若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有
︱a n-a︱<ε,
则称数列{a n}收敛于定数a，定数a称为数列{a n}的极限，并记作lim n→∞a n=a，或a n→a(a→∞)。若数列{a n}不收敛，或称{a n}为发散数列。
定理1若数列{a n}收敛，则它只有一个极限。
定理2若数列收敛，则{a n}为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n 有︱a n︱≤M。
定理3若lim n→∞a n=a>0，则对任何a´∈(0,a)，存在正数N，使得当n>N时有a n> a ´。
定理4设{a n}{b n}均为收敛数列，若存在正数N0，使得当n>N时有a n≤b n，则lim n→∞a n≤lim
n→∞
b n.
定理5设收敛数列{a n}，{b n}都以a为数列极限，数列{c n}满足：存在正数N0，当n>N时有a n≤c n≤b n则数列{c n}收敛，且lim n→∞c n=a。
定理6实数系中，有界的单调数列必有极限。
定理6（Cauchy收敛准则）数列{a n}收敛的充分必要条件是：对任意的ε>0，存在正整数N，使得当n，m>N时有
︱a n-a m︱<ε
2、函数极限
定义1设f为定义在[a,＋∞]上的函数，A为定数。若对于任意ε>0，存在正数M（≥a），使得当x>M时有
小区英文
︱f(x)-A︱<ε，则称函数f当x趋于＋∞时以A为极限，记作lim x→+∞f(x)=A。
定义2设函数f在点x0的摸个空心领域U0(x0；δ‘)内有定义，A为定数。若对任给的ε>0，存在正数δ（δ<δ‘），使得当0<︱x-x0︱<δ时有︱f(x)-A︱<ε，则
称函数f当x趋于x0时以A为极限，记作lim x→x
f(x)=A
定理1若极限lim x→x
f(x)存在，则此极限必唯一。
定理2若lim x→x
f(x) 存在，则f在x0的某空心领域U0（x0）内有界。
定理3若lim x→x
f(x)=A>0，则对任何正数r<A，存在U0（x0），使得对一切x ∈U0（x0）有f(x)>r>0
定理4设lim x→x
0f(x)与lim x→x
g(x)都存在，且在某领域U0（x0；δ‘）内有f(x)
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≤g(x)，则lim x→x
0f x≤lim x→x
g(x).
定理5设f在U0（x0；δ‘）内有定义。lim x→x
f(x)存在的充要条件是：对于任何含于U0（x0；δ‘）且以x0为极限的数列{x n}，极限lim n→∞f(x0)都存在且相等.
定理6设函数f在U0（x0；δ‘）内有定义。lim x→x
f(x)存在的充要条件是：任给ε>0，存在正数δ（δ<δ‘），使得对任何x′,x′′∈U0（x0；δ‘）有︱f(x′)-f(x′′)︱<ε
三、求解极限的若干方法
1、利用极限定义求极限
例1求lim n→∞a
n(其中a>1)
解：lim n→∞a
n=1，现用数列极限加以证明
令a 1
n-1=λ，则λ>0.有伯努利不等式推得
a=（1+λ）n≥1+nλ=1+n(a 1
n−1) 或a
1
n−1≤a−1n(*)
对∀ε>0，由(*)式可见，取N=[a−1
ε]，当n>N时，就有a
1
n-1<ε，即︱a
1
n-1︱<ε极
限定义知lim n→∞a
n=1，其中a>1。
例2求lim x→3(3x−1)
解：lim x→3(3x−1)=8，现用函数极限加以证明
∵︱(3x-1)-8︱=3︱x-3︱，要使︱(3x-1)-8︱<ε, 即3︱x-3︱<ε，只需要使︱x-3
︱<ε
3，则对∀ε>0,∃δ=ε
3
，使得当0<︱x-3︱<δ时，有︱(3x-1)-8︱<ε
∴由柯西收敛准则得min x→3(3x−1)=8。
利用极限定义求极限，先要观察出极值再加以证明，但此方法很少用，因为能够直接观察出极值的题目并不多见。
2、等价无穷小代换求极限
无穷小量是指在变化过程中极限为0的变量，而等价无穷小量是指在变化过程中比值为1的两个无穷小量，常用的无穷小量有：
当x→0时，sin x∽tan x∽tan−1x∽sin−1x∽x,ln(1+x)∽x,1+x
n−1∽
x n ,1-cos x∽x
croire2
。以下分情况说明等价无穷小量代换在求极限过程中的应用：
（1）极限中只有积商因子的等价无穷小量之间的代换
定理1设α，α1，β，β1是同一变化过程中的等价无穷小量，且α∽α1，β∽β1，
若limα1
β1存在，则有limα1
β1
=limα
β
。
例1 求lim x→0tan2x
sin5x
解：当x→0时tan2x∽2x，sin5x∽5x则
lim x →0tan 2x
sin
5x
=lim x →02x 5x =2
5 推论1： α，α1是同一变化过程中的无穷小量，且α∽α1，若lim f(x)存在，则有lim αf x =lim α1f(x)
例2 求lim x →0(1−cos x )x −2 解：当x →0时，因为1-cos x ∽
x 2
2
，
则lim x →0(1−cos x )x −2
=lim
x →0x 2
2
x −2=1
sheets
2.
推论2： α，α1，β，β1是同一变化过程中的无穷小量，且α∽α1，β∽β1，若lim
αf (x)β
存在，则有lim
αf (x)β
= lim α1f (x)β1
.
cockroach
例3 求 lim x →0tan −1x cos x
cos x
解： lim x →0
tan −1x cos x
sin x
=lim x →0
x cos x x
=lim x →0
cos x =1.
（2）当极限式子中不只含有商积因子还含有加减因子时不可以直接代换 定理2 α，α1，β，β1是同一变化过程中的无穷小量，且α∽α1，β∽β1，则lim α+β
α
1+β1
=lim
αβ
+1α1β+β1β
=lim α
β+1lim
α1βcontemporary
+1=lim αβ+1
lim
αβ
+1=1，故 α+β∽α1+β1。
例4 求 lim x →0
sin −1x+sin 5x
x
解：故sin −1x ∽x ,sin 5x ∽5x , sin −1x +sin 5x ∽6x 则 lim x →0
sin −1x+sin 5x
x
=lim x →06x
x =6.
定理3 α，α1，β，β1是同一变化过程中的无穷小量，且α∽α1，β∽β1，则 lim α−β
α
1−β1
=lim
αβ
−1α1β−β1β
=lim α
β−1lim
α1β
−1=lim αβ−1
lim
αβ
lastbutnotleast−1=1，故 α−β∽α1−β1。
例5 求lim x →03x −sin x tan
2x −3x
解：当x →0时，3x-sin x ∽3x −x ,tan 2x −3x ∽2x −3x 则，lim x →03x −sin x
地心引力票房tan 2x −3x =lim x →03x −x
2x −3x =-2。
（3）对于复合函数的极限，若外函数连续，内函数为无穷小量，则其内函数也可作等价代换。 例6 求lim x →0(1+e cos x sin x)
x 1−cos x
eight
解：当x →0时，e
cos x
sin x ∽e x
，x
1−cos x ∽2
x ，则lim x →0 1+e
cos x
sin x
x 1−cos x
=
lim x →0
（1+e x ）2x
=e 2e 。
3、利用洛必达法则求极限
（1）洛必达法则介绍
当x →a(x →∞)时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或无穷大，那么lim x →a
x →∞F(x)f (x)
可
能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式，并简单记作0
0或∞
∞。对于这种极限即使存在也不能用商的极限这一法则，此时可采用洛必达法。对lim x →a
x →∞
F(x)f (x)
这种形式的极限首先要看当x →a(x →∞)时，函数f(x)与F(x)是否都趋
于零或无穷。若lim x →a
x →∞
F(x)
f (x)
满足洛必达法则，则lim x →a
x →∞
F(x)
f (x)
=lim x →a x →∞
F(X)
f(x)
，此时要看当x →a(x →∞)时，两个函数f(x)
与F(x)都趋于零或无穷大。若此时还满足洛必达法则，那么还可以继续使用，否则就不能在使用洛必达法则。
（2）实例 例1 lim x →∞
sin x x
解：当x →∞时，1x
→0，而sin x 是个有界量，从而lim x →∞sin x x
=0.
例2 lim x →1
x 3−3x +2x 3−x 2−x+1
解：lim x →1x 3−3x +2
x 3−x 2−x+1=lim x →13x 2−3
3x 2−2x −1=lim x →16x
6x −2=3
2
注意，当计算到lim x →16x
6x −2时分子和分母都不趋于零当x →1，故不能再使用洛必达法则。
4、利用两个重要极限求一般极限
（1）关于lim x →0
sin x x
=1
这一个重要极限实际上是两个无穷小量之比的极限，若分子分母分别求极限便得到0/0这一不定形式，故这一类型的极限为0/0的未定式。这里需要指出的是极限式中的x 仅是一个符号没有具体的含义，故可以将极限式变换为lim x →x 0sin f(x)f(x)
=1，此处必须保证当x →x 0时有f(x) →0。推广后lim x →x 0
sin f(x)g (x)
=lim x →x 0
sin f(x)f(x)
*f (x)g (x)=1*lim x →x 0f(x)g(x)
eap是什么意思
=lim x →x 0f(x)g(x)
，此时必须保证x →x 0
