2019年全国初中数学联赛（初三组）初赛试卷参考答案及评分细则详解
全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷
试题参考答案及评分标准
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1、设实数a 、b 满足1-=-b a ，则ab b a 333+-的值为（ B ） A 、3-
B 、1-
C 、1
D 、3
解析：()()()13332
222233-=--=+---=+++-=+-b a ab b ab a ab b ab a b a ab b a 2、若实数a 为常数，关于x 的不等式组?
-≤+722φx a
a x 的整数解只有8个，则a 的值为（C ）
A 、1-
B 、0
C 、1
D 、2
解析：()101221277
22
222=?≤-?+-≤?+--
-≤+a a a a a a x x a a x πππφ 3、在菱形ABCD 中，4=AB ，?=∠60A ，E 为AB 的中点，若在线段BD 上取一点P ，则PE PA +的最小值是（ D ）
A 、32
B 、4
C 、52
D 、72
解析：如图，连结AC ，EC 交BD 于点P ，则点P 是所求的 菱形ABCD 中，4=AB ，?=∠60A ，E 为AB 的中点 32=?DE
2816122
22=+=+=?DC DE CE
world sing how learn72=?CE
4、对于任意实数a ，b ，c ，用{}c b a M ，，表示三个数的平均数，用{}c b a ，，min 表示这三个数中最小的数，若{}=-+++y x y x y x M 2222，，{}y x y x y x -+++2222min ，，，则=+y x （A ）
assuranceA 、4-
B 、2-
C 、2
D 、4
解析：不妨设a 最小，则
()()033
=-+-?=++?=++?
a c a
b a
c b a a c
b a 00≥-≥-?a
c a b ， c a b ==?
故4132222-=+?-=-=?-=+=++y x y x y x y x y x ，
5、如图，ABC Rt ?的斜边AB 与⊙O 相切于点P ，直角顶点C 在⊙O 上，若22=AC ，4=BC ，则⊙O 的半径是（ B ）
A 、3
B 、32
C 、4
D 、62
B
E
A
C
D
transxual
P
解析：如图，由射影定理得： DC AC BC ?=?2 24=?CD
48222=+=?BC CD BD
34=?BD 32=?BO
6、不超过()6
15+的最大整数是（ D ）
debate的用法
A 、1142
B 、1145
C 、1148
D 、1151
解析：
()()3
6
52615+=+a =+?52
6，b =-526
1612==+?ab b a ，
primeurb a ，?是016122=+-x x 的两根
016122=+-?a a ，016122=+-b b a a a 161223-=?， b b b 161223-=
()
()()[]
()11521621216122
2233=+--+=+-+=+?b a ab b a b a b a b a
由10103ππππb b ? 3a ?的最大整数不超过1151
二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）
7、若012
net ur=-+x x ，则()()
11
12
4---+x x x x 的值为 ．答案：3
解析：
()()1112
family
4---+x x x x ()
()()()()322111112232
2=++=++=--+-++?x x x
x
x x x x x x x x 8、在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在线段BC 、CD 上，且?=∠20BAE ，?=∠25DAF ，则CEF ∠等于 ．答案：?40
解析： 如图所示，ABG ADF
the foxAE AE AD AG DAF GAB ==?=∠=∠?，，25 AFE AGE ?=∠=∠?70AEB AEF
=∠?40CEF
9、小丽与小明一起用A 、B 两个骰子玩游戏，以小丽掷的A 骰子朝上的数字为x ，小明掷的B 骰子朝上的数字为y ，来确定点（x ，y ），那么，他们各掷一次所确定的点P （x ，y ）落在已知抛物线542+-=x x y 的概率为 ．答案：
9
1
B
E
英文职位大全A
F
G
B
D
C
解析：两个立方体都有6个数字，那么共有36种可能，可在抛物线上的有（1，2）、（2，1）、（3，2）、（4，5）共4种情况，故概率为
9
1
10、如图，设点P 在函数x y 6=的图像上，x PC ⊥轴于点C ，交函数x
y 2=的图像于点A ，y PD ⊥轴于点D ，交函数x
y 2
=
的图像于点B ，则四边形P AOB 的面积为 ．答案：4 解析：四边形P AOB 的面积=矩形ODPC AOC DBO S S ??--=426=- 三、（本大题满分20分）
11、已知关于x 的一元二次方程052=+-kx x 与052=-+k x x 只有一个公共的实根，求关于x 的方程k kx x =+2所有的实根之和。
解：设052=+-kx x 与052=-+k x x 的公共实根为α
则052=+-ααk ，052=-+k αα ····································· （5分） 两式相减，得()()055=+-+k k α ······································· （10分） 因为当5-=k 时两方程相同，有两个公共的实根，不合题意 所以5-≠k
因此1=α．从而求得6=k ················································ （15分） 所以方程k kx x =+2
即为662=+x x ，662=+x x 或662-=+x x
显然两方程都有实根，因此方程所有实根之和是-12． ············· （20分） 四、（本大题满分25分）
12、如图，已知圆O 的直径AB 与CD 互相垂直，E 为OB 中点，CE 的延长线交圆O 于G ，AG 交CD 于F ，求
DF
laker
FC
的值。 解：设a OE =，则a OD OC OB OA 2====，a CE 5= ∵COE ?∽CGD ? ∴
