圆外切四边形的性质及应用

更新时间:2023-06-22 04:31:24 阅读: 评论:0

圆外切四边形的性质及应用
01双心四边形,外心为O,外接圆半径为R,心为P,切圆半径为rOI = h.证明 + =
证:如图,分别过KLMNPKPLPMPN垂线交于ABCD
∵∠LCM = 180 -∠LPM = PLM + PML = MLK + LMN ,
KAN = LKN + wouldKNM
ABCD四点共圆.
我们设其半径为 ,易证 BPDAPC分别三点共线.
r = PLsin = PBsin sin = PB·,
PC·AP = 2d话题库2 dABCD的外心记为 P的距离
又易证ACBD,∴= r = …①
延长NPBCT,易证TBC中点 卜拉美古塔定理
TPS, SPT
sleet TPS中,4O T2 = PS2 + OS2d2 = 2 2d2
成考辅导班O N = O KLMN的外心 即为O
R = …②,h = d…③
由①②③得 = = = +
02证明圆外切四边形ABCD的对角线ACBD的中点EF与圆心O共线.
证:沿用上题的记号,对点XYZ,用d X, YZ 表示XYZ的距离.
设⊙O半径为r,∠BAD = 2 , ∠ABC = 2020年7月英语六级真题2 , ∠BCD = 2 , ∠CDA = 2 ,则
, , , 均为锐角且 + + + =
sin , sin , sin , sin > 0.
连结EF EF重合,则结论显然成立,以下设EF不重合
在线段痕迹英文EF上取点O 使 =
OAODOG F为⊙OAD相切处 ,则
OGAD, AG = OGcot = rcot , GD = OGcot = rcot
AD = r cot + cot 
什么叫号外d A, CD = r cot + cot  sin 2
d E, CD = sin 2  cot + cot  r = sin cos  cot + cot  r
= sin cos cot + cos2  r = sin cos cot sin2  r + r
= sin ·r + r = + 1 r
同理 d F, CDgcw = + 1 r
=
d O , CD =        
= r + r
= r 因为 + + + = ,所以 cos  +   + cos  +   = 0
摆脱束缚
同理 d O , AB = d O , BC = d O , DA = r
O O重合,故知结论成立,证毕.
03已知△ABC,在BCCAAB上分别取点DEF使四边形AEDFBDEFCDEFpact of shadow均为圆外切四边形.求证ADBECF三线共点.
证:作△DEF切圆⊙ ,切EFFDDEPQR
又设△ABC切圆为⊙I,△AEF切圆为⊙ 1.记⊙ 1、⊙ 、⊙I半径分别为R1, R, r
AEDF为圆外切四边形知AF + DE = AE + DF
FPPE = FDDE = FAAE
∴⊙ 1EFP,∴⊙ 1与⊙ 外切,∴ 1P 三点共线.
另一方面,易知A 1I三点共线.
延长API T,则对△I  1与截线AP用梅氏定理知
= 1.
注意到 = ,上式 = 1,即 =
T为线段 I上一个定点,∴APBQCR三线共点于T
由塞瓦定理知 = 1.
再用角平分线定理知上式 = 1.
FP = FQ, EP = ER, DQ = DR代入得 = 1.
由塞瓦定理即知 ADBECF三线共点,得证.
04四边形ABCD既可外切于圆,又可接于圆,并且ABCD的切圆分别与它的边ABBCCDAD相切于点KLMN,四边形的∠A和∠B的外角平分线相交于点K ,∠B和∠C
外角平分线相交于点L ,∠C和∠D的外角平分线相交于点M ,∠D和∠A的外角平分线相交于点N .证明,直线KK LL MM NN 经过同一个点.

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