圆外切四边形的性质及应用
01双心四边形,外心为O,外接圆半径为R,心为P,切圆半径为r,OI = h.证明 + = .
证:如图,分别过K、L、M、N作PK、PL、PM、PN垂线交于A、B、C、D.
∵∠LCM = 180 -∠LPM = ∠PLM + ∠PML = ∠MLK + ∠LMN ,
∠KAN = ∠LKN + ∠wouldKNM .
∴A、B、C、D四点共圆.
我们设其半径为 ,易证 B、P、D;A、P、C分别三点共线.
∴r = PLsin = PBsin sin = PB·,
PC·AP = 2-d话题库2 d为ABCD的外心记为 与P的距离 .
又易证AC⊥BD,∴= r = …①
延长NP交BC于T,易证T为BC中点 卜拉美古塔定理 .
∴ T∥PS, S∥PT.
sleet□ TPS中,4O T2 = PS2 + OS2-d2 = 2 2-d2.
又 成考辅导班O N = O 为KLMN的外心 即为O 且
R = …②,h = d…③
由①②③得 = = = + .
02证明圆外切四边形ABCD的对角线AC、BD的中点E、F与圆心O共线.
证:沿用上题的记号,对点X、Y、Z,用d X, YZ 表示X到YZ的距离.
设⊙O半径为r,∠BAD = 2 , ∠ABC = 2020年7月英语六级真题2 , ∠BCD = 2 , ∠CDA = 2 ,则
, , , 均为锐角且 + + + = .
∴sin , sin , sin , sin > 0.
连结EF 若E与F重合,则结论显然成立,以下设E与F不重合 .
在线段痕迹英文EF上取点O 使 = .
连OA、OD、OG F为⊙O与AD相切处 ,则
OG⊥AD, AG = OGcot = rcot , GD = OGcot = rcot .
故AD = r cot + cot .
什么叫号外∴d A, CD = r cot + cot sin 2 .
∴d E, CD = sin 2 cot + cot r = sin cos cot + cot r
= sin cos cot + cos2 r = sin cos cot -sin2 r + r
= sin ·r + r = + 1 r.
同理 d F, CDgcw = + 1 r.
由 = 知
d O , CD =
= r + r
= r 因为 + + + = ,所以 cos + + cos + = 0 .
摆脱束缚
同理 d O , AB = d O , BC = d O , DA = r.
∴O 与O重合,故知结论成立,证毕.
03已知△ABC,在BC、CA、AB上分别取点D、E、F使四边形AEDF、BDEF、CDEFpact of shadow均为圆外切四边形.求证AD、BE、CF三线共点.
证:作△DEF切圆⊙ ,切EF、FD、DE于P、Q、R.
又设△ABC切圆为⊙I,△AEF切圆为⊙ 1.记⊙ 1、⊙ 、⊙I半径分别为R1, R, r.
由AEDF为圆外切四边形知AF + DE = AE + DF.
∴FP-PE = FD-DE = FA-AE.
∴⊙ 1切EF于P,∴⊙ 1与⊙ 外切,∴ 1、P、 三点共线.
另一方面,易知A、 1、I三点共线.
延长AP交I 于T,则对△I 1与截线AP用梅氏定理知
= 1.
注意到 = ,上式 = 1,即 = .
∴T为线段 I上一个定点,∴AP、BQ、CR三线共点于T.
由塞瓦定理知 = 1.
再用角平分线定理知上式 = 1.
将FP = FQ, EP = ER, DQ = DR代入得 = 1.
由塞瓦定理即知 AD、BE、CF三线共点,得证.
04四边形ABCD既可外切于圆,又可接于圆,并且ABCD的切圆分别与它的边AB、BC、CD、AD相切于点K、L、M、N,四边形的∠A和∠B的外角平分线相交于点K ,∠B和∠C的
外角平分线相交于点L ,∠C和∠D的外角平分线相交于点M ,∠D和∠A的外角平分线相交于点N .证明,直线KK 、LL 、MM 、NN 经过同一个点.