圆外切四边形的性质及应用
01双心四边形，外心为O，外接圆半径为R，心为P，切圆半径为r，OI = h．证明 + = ．
证：如图，分别过K、L、M、N作PK、PL、PM、PN垂线交于A、B、C、D．
∵∠LCM = 180 －∠LPM = ∠PLM + ∠PML = ∠MLK + ∠LMN ,
∠KAN = ∠LKN + ∠wouldKNM ．
∴A、B、C、D四点共圆．
我们设其半径为 ，易证 B、P、D；A、P、C分别三点共线．
∴r = PLsin = PBsin sin = PB·,
PC·AP = 2－d话题库2 d为ABCD的外心记为 与P的距离 ．
又易证AC⊥BD，∴= r = …①
延长NP交BC于T，易证T为BC中点 卜拉美古塔定理 ．
∴ T∥PS, S∥PT．
sleet□ TPS中，4O T2 = PS2 + OS2－d2 = 2 2－d2．
又 成考辅导班O N = O 为KLMN的外心 即为O 且
R = …②，h = d…③
由①②③得 = = = + ．
02证明圆外切四边形ABCD的对角线AC、BD的中点E、F与圆心O共线．
证：沿用上题的记号，对点X、Y、Z，用d X, YZ 表示X到YZ的距离．
设⊙O半径为r，∠BAD = 2 , ∠ABC = 2020年7月英语六级真题2 , ∠BCD = 2 , ∠CDA = 2 ，则
, , , 均为锐角且 + + + = ．
∴sin , sin , sin , sin > 0．
连结EF 若E与F重合，则结论显然成立，以下设E与F不重合 ．
在线段痕迹英文EF上取点O 使 = ．
连OA、OD、OG F为⊙O与AD相切处 ，则
OG⊥AD, AG = OGcot = rcot , GD = OGcot = rcot ．
故AD = r cot + cot ．
什么叫号外∴d A, CD = r cot + cot sin 2 ．
∴d E, CD = sin 2 cot + cot r = sin cos cot + cot r
= sin cos cot + cos2 r = sin cos cot －sin2 r + r
= sin ·r + r = + 1 r．
同理 d F, CDgcw = + 1 r．
由 = 知
d O , CD =
= r + r
= r 因为 + + + = ，所以 cos + + cos + = 0 ．
摆脱束缚
同理 d O , AB = d O , BC = d O , DA = r．
∴O 与O重合，故知结论成立，证毕．
03已知△ABC，在BC、CA、AB上分别取点D、E、F使四边形AEDF、BDEF、CDEFpact of shadow均为圆外切四边形．求证AD、BE、CF三线共点．
证：作△DEF切圆⊙ ，切EF、FD、DE于P、Q、R．
又设△ABC切圆为⊙I，△AEF切圆为⊙ 1．记⊙ 1、⊙ 、⊙I半径分别为R1, R, r．
由AEDF为圆外切四边形知AF + DE = AE + DF．
∴FP－PE = FD－DE = FA－AE．
∴⊙ 1切EF于P，∴⊙ 1与⊙ 外切，∴ 1、P、 三点共线．
另一方面，易知A、 1、I三点共线．
延长AP交I 于T，则对△I 1与截线AP用梅氏定理知
= 1．
注意到 = ，上式 = 1，即 = ．
∴T为线段 I上一个定点，∴AP、BQ、CR三线共点于T．
由塞瓦定理知 = 1．
再用角平分线定理知上式 = 1．
将FP = FQ, EP = ER, DQ = DR代入得 = 1．
由塞瓦定理即知 AD、BE、CF三线共点，得证．
04四边形ABCD既可外切于圆，又可接于圆，并且ABCD的切圆分别与它的边AB、BC、CD、AD相切于点K、L、M、N，四边形的∠A和∠B的外角平分线相交于点K ，∠B和∠C的
外角平分线相交于点L ，∠C和∠D的外角平分线相交于点M ，∠D和∠A的外角平分线相交于点N ．证明，直线KK 、LL 、MM 、NN 经过同一个点．
