专题几何中常见模型及辅助线题型大视野
【例题精讲】
题型一、手拉手模型
例题.【2019·惠州市期末】如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A
′与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F.
（1）求证：OE=OF；
（2）若正方形ABCD的边长为1，求两个正方形重叠部分的面积；
（3）若正方形A′B′C′D′绕着O点旋转，EF的长度何时最小，并求出最小值.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形OB’C’D’是正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，∠B’OD’=90°，∠OBE=∠OCF=45°，
∴∠BOE=∠FOC，
∴△BOE≌△COF，
∴OE=OF；
隐晦是什么意思（2）由（1）知，△BOE≌△COF，
∴S
△BOE
=S△COF
∴两正方形重叠部分面积=S
四边形OECF
=S△COF+S△OCE
=S△BOE+S△OCE
新加坡高中留学费用=S△BOC
=1 4
（3）由（1）知OE=OF，则△EOF是等腰直角三角形，
∴EF=OE，
由垂线段最短，知当OE⊥BC时，OE长度最小，最小为1
2，此时EF长度最小，
即EF最小值为：2 2 .
题型二、一线三直角模型
例题.【2019·临沂市期中】如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．agora
（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．【答案】见解析．
【解析】解：（1）结论：PB＝PQ，
理由：
过P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，
∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形．
∵∠BPE+∠QPE＝90°，∠QPE+∠QPF＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ；
（2）结论：PB＝PQ．
理由：
过P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，
依赖的英文
∵P为正方形对角线AC上的点，
porra∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，
∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，
ccrt∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ．
题型三、辅助线
例1.【2019·莆田市期末】如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、AB上一点，且AF=BE，AE与DF交于点G．
（1）求证：AE=DF．
（2）如图2，在DG上取一点M，使AG=MG，连接CM，取CM的中点P．写出线段PD与DG之间的数量关系，并说明理由．
【答案】见解析.
【解析】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
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∴AD=AB，∠DAF=∠ABE=90°，
∵AF=BE，
∴△DAF≌△ABE（SAS），
∴AE=DF．
（2）解：结论：DG PD．
理由：
连接GP并延长至H，使GP=PH，连接DH、CH，
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∵PM=PC，∠MPG=∠CPH，PG=PH，
∴△MPG≌△CPH（SAS），
∴∠PMG=∠PCH，GM=CH=AG，
∴DF∥CH，
∴∠FDC=∠DCH，
∵∠DAG+∠ADG=90°，∠ADG+∠CDF=90°，
∴∠DAG=∠CDG=∠DCH，
∵DA=DC，
∴△DAG≌△DCH（SAS），
∴DG=DH，∠ADG=∠CDH，
∴∠GDH=∠ADC=90°，contents
∴△GDH是等腰直角三角形，
∵GP=PH，
新片预告∴PD=PG，PD⊥GH，
∴DG=PD．
例2.【2019·武汉市期末】在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF 上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．
（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；
（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】见解析.
【解析】
（1）证明：在EG上截取EH=BG，
