考点5：半角模型
1．（2020·南京师范大学盐城实验学校月考）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，点M，N在边BC 上，且∠MAN=45°．若BMwga= 1，CN=3，求MN的长．
2．（2020·盐城市盐都区实验初中月考）在∠像成功者一样思考MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD=CD，点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若∠BED=∠CFD，请说明DE=DF；
（2）如图2，若∠BDC=120°，∠EDF=60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
3．（2020·全国专题练习）如图，已知：正方形，点，分别是，上的点，连接，，，且，求证：．
4．（2020·山东济南·期末）如图，正方形ABCD中，E、F分别在边2012年福建高考数学BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．
（1）延长CB到点G，使BG＝ ，连接AG；
（2）证明：EF＝huhBE＋DF
5．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，将绕点A顺时针旋转 后，得到，连接EM，AE，且使得．
valuechain
（1）求证：；（2）求证：.
6．如图所示，在中，，，的两边交边于，两点，将绕点旋转
（1）画出绕点顺时针旋转后的；
（2）在（1）中，若，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，直接写出的长.
7．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.
pullup（1）求证：EF=FM
（2）当AE=1时，求EF的长．
8．（2019·全国初二专题练习）如图：E、F分别是正方形ABCD的边CD、DA上一点，且CE+AF=EF，请你用旋转的方法求∠EBF的大小．
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9．（2020·陕西期末）如图，，，点、分别在边、上，，过点作，且点在的延长线上．
（1）与全等吗？为什么？从零开始学英语下载
（2）若，talent是什么意思，求的长．
10．（2020·重庆北碚·初三其他）已知：正方形中，，绕点tup什么意思顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．
当绕点旋转到时（如图1），易证．
（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
