Chapter 7 Maximizing Expected Utility(期望效用最大化) INTRODUCTION
1.在第一章中讲过，经济选择问题的两个步骤：第一，投资机会集；第二，选择准则或选择标准（见教材149页）。
2.前几章中我们主要讲了投资机会集中的有效边界问题。有效边界也是一个机会集。在有效边界中，给定一个期望收益，就唯一确定一个最小方差组合；给定一个方差，就确定一个唯一的最大收益组合。两种模型下最佳投资组合的求法我们在上章中介绍过了。
3.根据均值方差准则，解决风险投资机会集的选择标准问题就是收益最大化(平均收益最大化和期望收益最大化)。
4.最大报酬准则：
例1： 5种不同投资方案可能报酬的分布单位：％
钢铁侠3英文版
从上表看出，A、B方案最安全，从安全考虑，B是最佳方案。因此就无风险方案来说，B是首选的方案。但是在风险方案中，C、D、E方案收益大，风险也大。不过这更符合现实市场的情形。解决这一问题的方法是，采用期望收益最大化原则选择投资方案。
1、最大期望报酬（收益）准则
根据上表计算的最大期望报酬如下表：
根据期望报酬最大化准则，我们应该选择E。但E是否就总是优于C呢？实际上方案C并不总是比E差，比如它最大招致的损失为8％，而E为20％。这是我们前几章得出的结论。
2、圣.彼得堡悖论（St.Petersberg Game or Paradox）
连续执硬币直至落在地上出现“正面”为止。如果第一次出现正面，挣1元，第二次出现正面挣2元，第三次出现正面挣4元，第四次出现正面挣8元，等等。每多一次抛掷出现正面，就加倍地偿付。
（1）求期望收益
E(x)=(1/2)*1+(1/4)*2+(1/8)*4+(1/16)*8+.+(1/2n)*2n-1+…
=(1/2)+(1/2)+…+(1/2)+…=∞
因为投掷的次数没有限制，因此游戏的数学期望值为无限。也就是说，根据最大期望报酬原理，理性投资者为玩这个游戏所支付的代价（价格）是无限的。但是，实际上无人会为玩此游戏而支付巨大成本。因此，理性人愿玩此游戏所支付的代价与无穷期望收益之间的矛盾就构成了所谓的圣.彼得堡悖论。这表明，用最大期望收益原则不可能解决一切非确定性（风险）投资决策问题。
瑞士数学家贝努里和克拉默等人，用期望效用最大化原理解决了这一问题。
3、贝努里解法
贝努里解法是建立在下述概念的基础上：人们对奖励所关心的是效用而非货币价值，而额外货币增加所得的额外效用随着奖励的货币价值的增加而减少，也即货币边际效用递减原理。换句话说，初始货币可以满足人们更多的基本需求，因此当整个效用随个人财富的增加而增加时，它是以递减比率增加的。贝努里所做的特别假设是：货币效用是货币奖励大小的对数函数。即：
U(x)=b×log(x/a)＝b[logx-loga]=blogx-bloga
这里U(x)是由货币x导出的效用，a和b是正系数。
对数函数包含这样的思想：财富等比例增加，使效用等绝对额增加。比如考察初始财富为10美元和100美元的两个人，他们均具有相同的上述效用函数，
现在让他们的财富分别增加90美元和900美元，则他们的财富变化和效用变化如下：
英语自我介绍(带翻译)
贝努里认为：在确定圣彼得堡游戏的价值时，一个人会考虑由奖励所带来的效用，而非他们的货币价值数量。因此，他乐于为玩游戏所付的货币数量取决于游戏的希望效用，而不取决于货币期望报酬。
这样，用n 表示第一次出现正面时共抛掷的次数（n=1,2,3,…），n 次抛掷所得奖励的效用由U(x)表示。这样如果抛掷n 次后才出现正面，那么货币奖励将是 x=2n-1
samui。此奖励的效用函数为：
U(x)=blog(x/a)=blog(2n-1/a)=blog2n-1-bloga=b[(n-1)log2-loga]
根据期望效用原理，某人对参加此游戏所愿付出的最大代价是x 0，即期望收益。由此数量得到的效用U(x 0)等于游戏期望效用EU(x)。对游戏期望效用我们记为：
将前式代入此式，并记住n 次抛掷首次出现正面的概率为（1/2n ），我们得到：
faggot
)
()()(1
x U x P x EU x ∑∞
==a
b a b b x EU n a
b n b a n b x EU n n
n n n n n n n 2months
log
log 2log )(12
1
121log 2
12log 21]log 2log )1[(21
)(11111
=-=≈-≈--=--=∑∑∑∑∑
∞
=∞
=∞
=∞=∞
init=用等于
我们可知游戏的期望效不过因为
这个方程说明，blog(2/a)就等于2美元的效用或EU(x)=EU(2)=U(2)。由此可见，具有贝努里效用函数所表示的偏好特性的人最多愿意付2美元来参加这项游戏。或者说，此人对确保营利2美元与参加游戏的计划表示无差异。这样，引进期望效用函数后就解决了圣彼得堡悖论。
UTILITY ANALYSIS
1. Utility from Comsumption
Utility is the satisfaction that an agent obtains from the consumption of goods and rvices. Utility is
measured in units called utils to describe the level of satisfaction for a given choice.
郑迦文A utility function describes the relation between the agent utility level as measured in utils and the amount of goods and rvices consumed.
飞扬英语U=f(Q1,Q2,Q3,…,Qn)
All utility functions tend to display three common characteristics: (1) insatiability(贪婪性、不满足性)（153页图7.1）
(2)diminishing marginal utility （边际效用递减）(153页图7.1)
(3)diminishing marginal substitutability （边际替代率递减）(第153页图7.2)
2、Utility from Wealth
财富产生效用，因为消费来自财富。但财富又是从风险资产的投资中得到的。对于风险回避型投资者来说，收益的不确定性是一种非效用或反效用或负效用。
2
U(x)
10000 60000 70000 Wealth
ALTITUDE TOWARDS RISK （对风险的态度）
1． 一个例子
这个投资方案的期望的期末值是:6×(1/2)+14×(1/2)=10。即期望的期末值等于初始购买价格，净期望货币报酬为0，这实际上是一个公平游戏（fair game ）。现在的问题是：是否有人愿意进行这笔投资？因为我们舍弃了期望报酬原理（用期望报酬原理没有人愿意做此项投资），代之以期望效用原理，所以我们的答案只取决于投资者对风险的态度，只取决于他“喜欢”或“厌恶”以安全预期换取不确定预期的程度的大小。
2． 风险规避者定义
draw怎么读的财富效用函数为凹的（向下凹）投资者称作风险规避者（参见157页图形）。风险规避者的边际效用随其财富增加而下降。因此，每位风险规避者宁愿要完全确定的报酬，而不会选择具有等期望值的不确定性报酬。因此在我们的例子中，风险规避者不会选择做这种投资。因此风险规避者不会是赌徒，而且风险规避者也绝不会参加期望奖励等于参赛价格的机会均等的赌博(fair game)。
例（教材第156－157页）：
一项游戏是：抛掷一次硬币，如果出现正面则赢150元，反面则赢50元。
如果一个效用函数为U=x 1/2
祭祀怎么读的人，是否愿意付100元的价格参与这个游戏？
要回答这个问题，需要计算持有该效用函数的人的期望效用，然后再与他所付价格带来的效用做比较。
游戏期望效用：
即：
EU(x)=(150)1/2×(1/2)+(50)1/2×(1/2)=12.25×0.5+7.07×0.5=9.66
参与该游戏的价格（100元）的效用为：
EU(x)=（100）1/2=10
显然，这个人不会参与这个游戏因为游戏的期望效用小于参与价格所应带来
∑=N
i i x U x P x EU 1
)
()()(
