第32卷第3期 岩 土 力 学 V ol.32 No.3 2011年3月 Rock and Soil Mechanics Mar. 2011
收稿日期：2009-10-28
基金项目：国家自然科学基金动力灾变重大研究计划项目（No. 90815024）；国家自然科学基金联合资助项目、雅砻江水电开发联合研究基金(No. 50679093)；国家自然科学基金项目(No. 50808032，No. 50908032)；“十一五”国家科技支撑计划项目（No. 2009BAK56B02）。
第一作者简介： 邹德高，男，1973年生，博士，副教授，主要从事土动力学与高土石坝抗震、粗粒土力学特性、岩土工程数值分析及软件开发、核电厂建筑物抗震等方面的研究工作。E-mial ：*****************
文章编号：1000－7598 (2011) 03－797－07
瑞利阻尼系数确定方法对高土石坝地震反应的影响研究
邹德高1,2，徐 斌1,2，孔宪京1,2
（1. 大连理工大学 海岸和近海工程国家重点试验室，辽宁 大连116024；2. 大连理工大学 土木水利学院，辽宁 大连116024）
摘 要：土石坝地震反应分析中，瑞利阻尼系数在很大程度上影响计算的精度。改进了阻尼系数的确定方法，采用不同阻尼系数对土石坝进行了时域动力分析，并与频域计算结果进行了比较。结果表明：当坝高超过100 m 后，采用结构基频确定瑞利阻尼系数的方法高估了结构的阻尼，导致结构的动力反应偏小；改进后的方法能较好地反映结构的阻尼特性。通过对拟建的双江口直心墙土石坝进行动力分析，进一步验证了改进阻尼系数确定方法的合理性。 关 键 词：瑞利阻尼；高土石坝；时域；频域；地震反应 中图分类号：TU435 文献标识码：A
Study of influence of different methods for calculating Rayleigh damping
coefficient on high earth-rock dam ismic respon
ZOU De-gao 1,2，XU Bin 1,2，KONG Xian-jing 1,2
（1. State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering, Dalian University of Technology, Dalian, Liaoning 116024, China;
2. School of Civil and Hydraulic Engineering, Dalian University of Technology, Dalian, Liaoning 116024 China ）
Abstract: Rayleigh damping coefficients can influence the result to a great extent for ismic respons
e analysis of earth-rock dam. The method is improved for calculating Royleigh damping coefficients. A ries of dynamic analys are performed in time domain by using different methods for caculating damping respectively and compared with dynamic analys in frequency domain. The results show that, with the height of earth-rock dam over 100m, the damping coefficient calculated by the first frequency of the structure overestimated the damping in all frequency regions and resulting in underestimation of respon; the improved method for caculating damping can reasonably reflect the damping properties of the dam. The dynamic respon of Shuangjiangkou dam is analyzed by different methods, for caculating damping to validate the rationality of the improved method. Key words: rayleigh damping; high earth-rock dam; time domain; frequency domain; earthquake respon
1 引 言
土石坝因其结构简单、施工快速而成为应用最广的坝型，随着我国水利水电建设的快速发展，每年建造数量明显处于上升趋势，高度也在不断增加，达到了300 m 以上。我国西部水能资源丰富，地震频繁、强度大，这些大坝在地震作用下的安全性问题是人们十分关心的重大问题，高土石坝的动力特性也是地震工程研究的一个具有理论和实际意义的研究课题。
目前，土石坝地震反应分析通常采用时域逐步积分方法[1]。根据结构动力学的知识，建立如下所
示的运动方程：
[]{}[]{}[]{}[]{}g t t t t
M u
+C u +K u =M u − （1） 式中：{}t u
、{}t u 、{}t u 分别为各节点t 时刻的相对加速度、速度、位移；[M ]、[C ]、[K ]分别为结构整体质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵。{}g t
ü为t 时刻
基底输入加速度。
阻尼矩阵[C ]与材料的黏滞系数有关，在有限元分析中常采用瑞利阻尼。对于像土这样的不均匀材料，按下式计算出单元阻尼矩阵后再叠加[1]：
[]
[][]e
e e
C =a M +b K （2）
岩 土 力 学 2011年
egger
式中：α 和β 均为阻尼系数[1]。
根据瑞利阻尼，阻尼比h 可以表示为
1()2h α
βωω=+ （3）
式中：h 可以通过阻尼比与剪应变关系曲线求得；ω
=2πf ，为圆频率。
这就导致了阻尼和频率存在相关性，实际上土体阻尼是与频率无关的，因而α 和β 的取值必须使计算的阻尼在有效频率范围内与实测的阻尼比较接近。
目前，土石坝地震反应分析最常用的是等效黏弹性分析方法
[2－3]
，瑞利阻尼系数在很大程度上影
响其计算精度，合理选取阻尼系数对评价高土石坝的动力特性是十分必要的。本文通过总结不同阻尼系数确定方法，试图对现有方法进行改进，并通过计算进一步验证改进后方法的合理性。
2 阻尼系数计算方法
目前，土工建筑物动力反应计算通常采用如下几种阻尼系数计算方法。 （1）方法1[4]
假定Rayleigh 阻尼的两个部分对阻尼贡献相等，这样在每一个单元中，α 和β 可以表示为
1h αω= （4）
1h βω= （5）
假定f ＝1 Hz 和h =0.05，计算得到的阻尼比和频率的关系曲线如图1所示。这种方法有两个缺点：①高估了所有频率范围内的阻尼，从而导致结构动力反应偏低；②对于基础下方有深厚覆盖层的土工构筑物来说，使用其基频来确定是不合理的。这种阻尼系数的计算方法早在20世纪70年代Idriss 等人已经采用，并在国际著名的QUAD4程序中实现，以下简称QUAD4方法。目前，我国土石坝工程应用较多的程序一般也采用这种阻尼系数计算方法。
图1 方法1计算得到的阻尼比与频率关系曲线
Fig.1 The relationship between damping ratio and
frequency by method 1 （2）方法2[5]
首先，定义一个结构敏感的频率范围f a 和f b ，对于土工建筑物来说，一般取0.5~5 Hz 。定义的频率边界处阻尼比可表示为
a a
b b 2222h h βωα
ωβωα
ω⎫=
+⎪⎪
⎬⎪=+
⎪⎭
（6）
这样计算得到的阻尼比和频率关系曲线如图2所示，很显然这种方法低估了f a 和f b 之间的阻尼，高估了频率范围之外的阻尼，一般情况下计算的动力反应偏高。
图2 方法2计算得到的阻尼比与频率关系曲线
Fig.2 The relationship between damping ratio and
frequency by method 2
（3）方法3[5]
在方法2的基础上，吉田望等进行了改进，令
2d 0d 22h αβ
ωω
=−+= （7） 可以得到
ω= （8）
代入式(3)，可以得到阻尼比最小值：
to be loved
min h = （9）
在选定的频率范围边界处阻尼比可表示为
a max a
b max
b 2222h h βωα
ωβωαω⎫=+⎪⎪
⎬⎪=+⎪⎭
（10）
定义：
0max min ()/2h h h =+ （11）
根据式（10）可以求出α和β，当计算得到的阻
尼比h ＜h 0时，令h =h 0。这种方法计算得到的阻尼比与频率关系曲线如图3所示，h max 和h min 分别为计算得到的最大最小阻尼比。这样可以部分弥补所低估的f a 和f b 之间的阻尼比。
b a
h 0
h
2
4
6
8
10
频率 /Hz
0.050.100.150.20阻尼
合肥中考查分
比
798
第3期 邹德高等：瑞利阻尼系数确定方法对高土石坝地震反应的影响研究
图3 方法3计算得到的阻尼比与频率关系曲线 Fig.3 The relationship between damping ratio and
frequency by method 3
（4）方法4
Idriss 等[6]针对仅采用基频确定阻尼系数（方法 1）的缺点进行了适当的改进，确定了新的瑞利阻尼系数取值方法，并在QUAD4的改进版本QUAD4M 中采用了该方法，以下简称QUAD4M 方法，通过与频域分析程序SHAKE91进行比较，验证了该方法的合理性。
新方法采用了ω1和ω2两个频率来确定α 和 β，
ω1采用了结构的基频，ω2=n ω1，n 为大于ωe /ω1的奇数，其中ωe 为地震波的主频。这样，α 和 β可以
表示为
12
12
2h
ωωαωω=+ （12）
12
1
2h βωω=+ （13）
最后的维加斯
这种方法既考虑了结构的频率特性，也考虑了地震动的频谱特性，可以认为，方法1和方法2是该方法的特例。但方法4同样存在对ω1和ω2范围内低估结构阻尼的缺陷，而且仅在一维分析方面进行了验证，在高土石坝二维动力分析方面的精度没有进行验证。
3 阻尼系数确定方法对地震反应影响
根据上述方法的优缺点，本文采用方法4计算频率ω1和ω2，采用方法3来确定α 和 β。这样改进后的方法既可考虑结构的频率特性和地震动的频谱特性，也不会过多低估结构在ω1和ω2范围内的阻尼，这样计算得到的阻尼矩阵，可以认为能够更合理地反映结构的阻尼特性。
为了比较不同阻尼系数确定方法的合理性，分别采用方法1（QUAD4）、方法4（QUAD4M ）以及本文改进的方法确定阻尼系数，对不同高度的均质堆石坝进行了动力反应分析。同时，采用频域分析程序对这些方法进行验证，频域分析程序尽管也
有一些缺陷，但可以考虑阻尼的频率无关性，在这里，可以认为是相对精确的解。 3.1 计算模型及材料参数
为了便于比较，先选取均质堆石坝进行计算，不同高度堆石坝断面计算网格如图4所示。为获得动力计算所需的初始应力场，先进行了静力的填筑
计算，静力计算采用Duncan-Chang E-B 模型，
模型参数如表1所示。
（a ）50 m
（b ）100 m
（c ）200 m
（d ）300 m
图4 堆石坝网格图
Fig.4 FEM mesh of rockfill dam
表1 静力模型计算参数
Table 1 Parameters of static model
ρd / (g/cm 3)
φ0 /(○)∆φ /(○)
K n R f
K b
m
2.2 52 8.5 1 100 0.35 0.82 6000.1
动力采用等效黏弹性模型，计算参数动剪切模量系数K 、动剪切模量指数n 和泊松比µ 如表2所示，堆石料的归一化动剪切模量和阻尼比与剪应变的关系采用孔宪京等[7]建议的平均值，如图5所示，G eq 和(G eq )max 分别为等效动剪切模量和最大动剪切模量。本文的时域分析采用了大连理工大学抗震研究所开发的岩土工程非线性有限元分析程序即GEODYNA [8]，频域分析采用了日本地基软件工厂株式会社开发的频域分析商用程序ADV ANF [9]，ADV ANF 是在FLUSH [10]基础上改进的，具有友好的前后处理界面，应用非常方便。
dilala表2 动力模型计算参数
Table 2 Parameters of dynamic model
动力材料参数
K n µ
堆石料 2 339
0.5
0.33
3.2 地震动输入
轮虫分别输入了双江口、大岗山、吉林台和糯扎渡场地谱人工生成的地震波进行计算，地震波时程曲线见图6～9，
地震波水平向加速度峰值分别调整为0.1 g 、0.2 g 、0.3 g 、0.5 g ，竖向加速度峰值取为水平向2/3。
h 0
h h f b
f a
f
h 799
岩 土 力 学 2011年
图5 模量和阻尼与剪应变关系曲线
Fig.5 Curves of modulus and damping plot shear strain
（a ）水平向
（b ）竖向
图6 双江口地震加速度-时程曲线
Fig.6 Acceleration time history of Shuangjiangkou
（a ）水平向
（b ）竖向
图7 大岗山地震加速度-时程曲线
Fig.7 Acceleration time history of Dagangshan
（a ）水平向
catch22
（b ）竖向
图8 吉林台地震加速度-时程曲线 Fig.8 Acceleration time history of Jilintai
（a ）水平向
（b ）竖向
图9 糯扎渡地震加速度-时程曲线
Fig.9 Acceleration time history of Nuozhadu
4条地震波水平向的反应谱见图10，从图中可
以看出，4条地震波主频范围在3～10 Hz 之间。
图10 4条地震波的加速度放大倍数反应谱 Fig.10 Acceleration amplification respom spectra of
four ismic waves
3.3 计算结果与分析
当采用双江口地震波计算时，图11、12分别给出坝高为50 m 和100 m 时，分别采用不同阻尼方
10-4 10-3
10-2
10-
1
0.0
0.2
0.40.60.8
G e q /(G e q )m a x
γ /%
5
101520h /%
γ /%
10-4 10-3
10-2
10-
1
05101520 2530
t /s
-3
-2 -1 012
3a /(m /s 2)
5
10
1520 25
30
t /s并容徧覆
-3 -2-1 0
123a /(m /s 2)
051015 202530
-3-2-10123
a
/(m /s 2)
t /s
5
10
15 20
25
30
t /s
-3-2-1012
3a /(m /s 2)
024******** 161820
t /s
cansitive
reu
0123
a /(m /s 2)
-3
-2-102468101214161820
123a /(m /s 2)
t /s
-3
-2-10510
1520
0123a /(m /s 2)
t /s
-
3-2-105101520
0123a /(m /s 2)
t /s
-3
-2-1周期/s
01234加速度放大倍
数
10-10-
100 10
1
800
第3期 邹德高等：瑞利阻尼系数确定方法对高土石坝地震反应的影响研究
法和Flush 计算得到的坝顶最大加速度反应。从
图11可以看出，对于坝高50 m 情况，当加速度峰值小于0.3 g 时，3种阻尼确定方法和ADV ANF 计算结果较为接近，这主要是因为：此时结构的反应以第1阶振型为主，且不同方法得到的ω1和ω2较为接近；当加速度峰值为0.5 g 时，QUAD4方法低估动力反应水平向和竖向分别达19%和17%，此时
QUAD4M 计算结果与ADV ANF 吻合较好，本文改进阻尼方法计算结果略低于ADV ANF 结果约10%。从图12中可以看出，坝高100 m 时，采用QUAD4M 和本文改进阻尼方法的计算结果与ADV ANF 较为
接近，QUAD4方法计算结果低于ADV ANF 较多。
（a ）水平向
（b ）竖向
图11 50 m 堆石坝坝顶最大加速度反应 Fig.11 The maximal acceleration respon of 50 m
height rockfill dam
从图13、14可以看出，当坝高为200 m 和300 m 时，QUAD4和QUAD4M 两种阻尼方法分别低估和高估了结构动力响应，本文改进的阻尼方法计算结果与ADVANF 最为接近，误差范围基本在10%以内。
为了考虑不同地震频谱特性的影响，分别采用大岗山、吉林台和糯扎渡地震波进行计算，水平加速度峰值均取0.2 g ，从图15、16可以看出，本文改进的阻尼方法比QUAD4方法更为精确，略高于
ADVANF 计算结果，误差范围在10%以内。
(a) 水平向
（b ）竖向
图12 100 m 堆石坝坝顶最大加速度反应 Fig.12 The maximal acceleration respon
of 100 m height rockfill dam
（a ）水平向
（b ）竖向
图13 200 m 堆石坝坝顶最大加速度反应
Fig.13 The maximal acceleration respon of 200 m
height rockfill dam
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
输入加速度峰值/g 0.00.30.60.91.21.5坝顶最大加速度反应/g
0.0 0.20.40.60.8坝顶最大加速度反应/g
输入加速度峰值/g
0.0
0.1
0.20.30.40.50.6输入加速度峰值/g 0.2
0.40.60.81.01.2坝顶最大加速度反应/g
输入加速度峰值/g 0.0
0.20.40.60.8坝顶最大加速度反应/g
输入加速度峰值/g 0.20.40.60.81.01.2坝顶最大加速度反应/g
0.0
0.10.20.30.4输入加速度峰值/g 0.00.2
0.4
0.6
坝顶最大加速度反应/g
801
