如何利用變異數成份估計一致性相關係數
蔡秒玉 彰化師範大學統計資訊所/副教授
一致性相關係數的定義
在生物醫學研究中，若有一個新的測量方法要與黃金標準或是早期慣用的測量方法進行比較時，我們希望新的方法與黃金測量或是早期慣用的方法兩者之間具有相當程度的一致性(agreement)，這樣才能證明新的測量法具有一定的準確性。若針對類別型資料(categorical data)，最廣為大家接受的是kappa 統計量，其中Cohen’s kappa 及weighted kappa 分別是使用在二元(binary data)及有序的判讀資料(ordinal data)上(Cohen, 1960; 1968)。當判讀結果為連續型資料時，組內相關係數(Intraclass correlation coefficient; ICC)則是常用來評估家庭或集群判讀資料組內的相關性大小，亦即用來反映連續資料上的一致性(Bartko, 1966; Shrout and Fleiss, 1979)；另一個針對連續型資料，可用來估計兩種判讀方法或儀器的一致性指標為一致性相關係數(concordance correlation coefficient; CCC)，其為測量任兩對判讀資料相距於經原點的45度線的變異(variation of the linear relationship between each pair of data from the 45 line through the origin) (Lin, 1989)。此一致性相關係數有兩方面的優點，其第一項優點為可以評估每一筆判讀資料離所配適的迴歸線多遠，此即代表精確度(precision)，另一項優點為評估所配適的迴歸線離經原點的45度線多遠，此即代表準確度(accuracy) (King and Chinchilli, 2001)。本文章主要是針對一致性相關係數的估計進行探討。
根據Lin (1989)提出針對兩個連續型變數1Y 和2Y 的一致性相關係數定義如下:
21221212[()]1[()| and are uncorrelated]c E Y Y E Y Y Y Y ρ-=--12
22
2
12122()σσσμμ=++-, 其中11()E Y μ=，22()E Y μ=，211()Var Y σ=，2
2
2()Var Y σ=，1212(,)Cov Y Y σ=。由
此定義可知，c ρ的值域落在－1與1之間，若為－1則表示兩儀器之間完全不一致 (perfect disagreement)；為0則表示彼此間互相獨立；為1則表示兩者之間完
terminator2全一致(perfect agreement)。當12μμ=與22
12σσ=時，c ρ則相當於皮爾森相關係數
(Pearson correlation coefficient)；而一致性相關係數的95%的信賴區間可用
snd
Fisher’s Z 變數變換得到(Fisher’s Z transformation)，即ˆ11ˆln ˆ21c c
c Z ρρ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭會近似常態分配，其中ˆc ρ
奥斯卡 名单代表c ρ的估計式，因此一致性相關係數的95%的信賴區間可經
由ˆc Z ±22
ˆ()ˆ(Z )ˆ(1)c c c Var Var ρρ
t恤英文=- (Lin, 1989)。 利用變異數成份進行一致性相關係數的估計
Carrasco & Jover (2003)提出了在線性混合模式(linear mixed model; LMM)下，利用變異數成份(variance components; VC)估計一致性相關係數，其模式假設為
i j i j i Y e μαβ=+++, (1) 其中ij Y 代表第i 個個體(subject)被第j 個儀器(obrver)所測量的觀測值；μ為總體平均；i α是第i 個個體的隨機效應(subject random effect)，令其分配為
2
~(0,)i N αασ；j β是第j 個儀器的固定效應(obrver fixed effect)；ij e 是第i 個個
體被第j 個儀器所測量觀測值的隨機誤差(random error)，令其分配為瑞典和瑞士有什么区别
ingredient
2~(0,)ij e e N σ，1,
,i n =，1,,j J =。令隨機效應與隨機誤差項彼此之間皆互
相獨立，因此在這些前提假設下，Carrasco & Jover (2003)證明了組內相關係數與一致性相關係數兩種一致性測度估計式相同，則此一致性相關係數可經由變異數成份表示成
2
222
c e
α
αβσρσσσ=++, (2)
其中2
2
1
11J j j J βσβ==-∑。 利用變異數成份進行重複測量加權一致性相關係數的估計
針對長期追蹤重複測量資料，Carrasco et al. (2009)則將第(1)式的線性混合模型中加入時間屬性的固定效應及其與個體及判讀方法效應的交互作用，如此可將第(1)式的線性混合模型改寫為
i j t i j t i j i t j t Y e μαβγαβαγβγ=+++++++, (3) 其中ijt Y 代表第i 個個體被第j 個儀器所測量的第t 次判讀觀測值；t γ是第t 次時間的固定效應()1,2,...,t p =；ij αβ是第i 個個體和第j 個儀器間交互作用的隨機效應
(random subject-obrver interaction effect)，令其分配為()2~0,ij N αβαβσ；it αγ是
第i 個個體和第t 次測量時間交互作用的隨機效應(random subject-time interaction
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effect)，令其分配為()2~0,it N αγαγσ；jt βγ是第j 個儀器和第t 次測量時間交互作
用的固定效應(fixed obrver-time effect)；ijt e 是第i 個個體第j 個儀器第t 次測量的隨機誤差項(random error)。同時假設所有隨機效應i α、ij αβ、it αγ與隨機誤差
ijt e 皆互相獨立(mutually independent)。
除此之外，為了考慮在不同時間點觀測值之間的相關程度，Carrasco et al. (2009)依循King et al. (2007)所提出的加權方法，在任一個時間點測量的觀測值給予權重，其方法即為將一致性相關係數的估計式中加入一個權重矩陣D 在重複的觀測值上，若D 為一個單位矩陣(identity matrix)，則組內相關係數與一致性相關係數的估計式相同，即在第(3)式的線性混合模型下的一致性相關係數估計式則可由個體屬性、個體和儀器間交互作用與個體和測量時間交互作用的隨機效應、儀器與測量時間交互作用固定效應以及隨機誤差項的變異數表示。如此，第(2)式的一致性相關係數估計式則可改寫為
222
222
2
crm
e ααγ
tray是什么意思
ααγαββγσσρσσσσσ+=++++, 其中()()
22
11
11
1p J t j jt t p J βγ
σμμ===-∑∑-，jt μ為第j 個儀器在第t 次時間點測量觀測值的總平均，t μ為第t 次時間點測量觀測值的總平均。若D 為一個對角矩陣(diagonal matrix)，則此長期追蹤資料之加權重複測量一致性相關係數則可表示成
()(
)
()
()
22
12
vat是什么意思2
222
111111p t tt
crm p p
J e j t t tt
tt jt t d d d p J ααγαγαβασσρσμμσσσ====+∑=
++++-∑∑∑-,
其中ij d 表示為加權矩陣D 中第i 列第j 行的元素。
利用R 程式執行一致性相關係數的估計
目前已有R 軟體的cccrm 套件可以進行一致性相關係數的估計(Carrasco et al., 2013)，以下皆用R 軟
體內設的重複測量資料作為R 程式估計一致性相關係數的範例（在附錄中亦有SAS 程式估計一致性相關係數的介紹）。在此將以R 軟體提供血壓重複測量資料(bpres)作為分析資料，此資料共有384位個案（以ID 變數標示），每位個案皆被兩種儀器(METHOD)進行舒張壓(DIA)的測量，每種儀器各測量兩次，並記錄每位個案的年齡(AGE)與性別(SEX)兩變數，此資料型態如下表：
forthright
針對第(1)式的線性混合模型，可利用R軟體的cccvc函數進行一致性相關係數的估計，而此函數中需放入的參數如下：
1. datat：資料名稱
2. ry：反應變數
3. rind：個案身份變數
4. rmet：儀器方法變數
5. covar：個案解釋變數
【cccvc程式碼】
【結果】
CCC LL CI95% UL CI95% SE CCC Z SE Z 0.818829 0.791561 0.842843 0.013056 1.100336 0.039426
Variance Components:
Subject Obrver Random Error
77.8245 0.0995 17.1197
此資料的分析結果為兩種血壓測量儀器的一致性程度為0.8188，95%的信賴區間為(0.7916, 0.8428)，其估計結果顯示兩種血壓測量儀器有高度的一致性，其中個體隨機效應變異數估計值高達77.8245，代表個人異質性程度高，儀器效應變異數估計值為0.0995，隨機誤差變異數估計值為17.1197。
此cccrm函數亦可以將個案相關的解釋變數加入模式中進行調整，將bpres 資料中的年齡及性別兩變數加入模式後，其程式及分析結果如下:
【cccvc程式碼】
【結果】
