连续性方程和柏努利方程的推导
———反证法的应用
王福良
(宁夏大学化学系，750021宁夏银川)
摘要 该文依据质量守恒，能量守恒， 用反证法推导出流体输送中二个最重要的方程——连续性方程，柏努利方程。
关键词aprilfool 反证法，连续性方程，柏努利方程
中图分类号 T Q o I
连续方程 柏努利方程是“流体输送”一章中二个最重要的方程。高师和大专的化工教材，对这二个方程只是按一般的物料衡算 能量衡算法进行推导，使人印象不深，记忆不牢，多年的教学实践证明：采用“反证法”结合二个衡算进行推导，即忠于原教材，不给学生增加负担，又加强了对已学过的某些基本概念的运用，收效较好，现分述如下。
1 流体稳态流动时的物料衡算——连续性方程
当流体充满导管作稳态流动时，在不同的管径（d 1, d2）的1—1，2—2， 二个截面上，其对应的流速分别为w1 和w2（见 图1），在管路系统流体没有增加和泄漏的情况下，我们要弄清单位时间通过1-1，2—2两截面的流体质量究竟存在什么关系，须作以下推导：
推导的依据：质量守恒。
推导的条件：连续稳定（态），流体无吸入或泄失。
在由1—1， 2 ―2两截面和两截面之间的管路组成的体系中， 任选一截面3—3 ，观察3 —3处密度和压强p的变化 。
假定1 q m1 qm2 ，即输入质量流量大于输出的质量流量，那么流体质量m 就会在体系内积累，而体系的体积Vshumi是确定的，所以3—3截面处流体的密度兀自 就会随时间的增长而增长，而压强p=gh 也会因密度的增长而增长。流体在无吸入的情况下，质量增加，即违反了推导的依据质量守恒，又违反了推导条件连续稳定，所以假定不成立。
假定，即输入的质量流量小于输出的质量流量，那么流体质量burnoutm就会在体系内逐渐减少，而体系的体积 V 是确定的，所以3—3截面上流体的密度就会隋时间的增长而减小。流体在无泄失的情况下，质量减小，即违反了推导的依据质量守恒定律，又违反了推导的前提连续稳定的条件，所以假定不能成立。
外界输入到体系的质量流量和由体系输出到外界的质量流量，总共有三种可能性。已有二种被否定，只剩下一种，即输入的质量流量等于输出的质量流量， q m1 =qm2 =q高中英语单词表 m = 恒量。用文字表达如下：在连续稳定的流体系统中，流体流经管道任一截面的质量流量为一恒量。因 q m =Aw, 所以上式又可以写为：A1w1 =A2w2 =Aw= 恒量，该式称为流体连续性方程。对于理想流体或不可压缩流体，上式又可以写为 A1w1 =Aafford的过去式2w2 ，对于园管而言，又可筒化为 , =
2 流体稳态流动时的能量衡算———柏努利方程
从物理学得知：物质具有的能量是多样的，如机械能、内能、电磁场能、原子核能…但在流体流动的系统中，主要考虑机械能与内能。内能与温度有关，不可压缩流体，受热不膨胀，其内能不能转化为机械能，对流体输送不起作用，故内能一项也不必列入。所以对流体输送而言，能量衡算实际上是机械能衡算。
图2是一个由1—1截面与2—2截面及钢管内壁组成一个体系。质量为m 的 理想流体（如水），单位时间内连续稳定地从外界进入1—1截面，与此同时又从体系经2—2截面流出到外界。随着流体的输入与输出，它本身所带的机械能也同时 从外界输入到体系，又从体系输出到外界。那么，输入的机械能与 输出的机械能究竟有什么关系呢？
推导的依据：能量守恒
推导的条件：连续稳定{态}， 理想流体（ 合肥财会网）体系中的能量没有补充或泄漏。外界输入到体系中的能量 图2 体系输出到外界的能量
1，位能
2，动能
在静止液体中有静压强，那么在流动的液体中，静压强还存在吗？若用胶皮管向花园里浇水，如果在皮管上扎个小洞，水就会象喷泉一样喷射来。这种能量被称为静压能，它的大小用做的功来表示。设1-1截面的压强为 p1 [pa],截面积为 A1[m2],则其压力为p1A1[ N .]. 当质量为 m[ kg ] 的流体从外界输入到体系中时，必然会受到1—1截面处压力的阻碍，为了克服它，流体必须由外界向体系做功，于是随着流体的输入，这部分功也随之而被输入到体系中来。又因为流体在管路中连续稳定地流动，即流体通过某一段管路的流动是匀速运动，流体所受到的合力为零。即外界反抗1—1截面处的力也为p1 A1。当密度为 体积为V, 质量为m 的流体流经1—1的截面 A1 时外界对体系所做的功为:
功 = 力 × 距离 =p1A1 × = moviesoonp1 V = p1
2—2截面上的压强为 p2 ,截面积为 A2。在2—2截面上的压力为 p2A2 [ N ]。当质量为m [kg ]的流体由2—2截面从体系输送到 外界时，必然也同样受到该截面来自外界的压力P2A2 [ N ] ，以阻碍流体的输出，为了克服这一阻力，体系必然对外界做功，随着流体的输出，这部分功也随着被输出到外界。同前分析，由于流体是匀速运动，体系反抗外界的压力也为 p2A2[ N ]故体系对外界所做的功为：
功 = 力 × 距离 = p2A2 × = p2
理想流体（ ）没有阻力，所以输入、输出的总机械能量为位能、动能与静压能的加和。那么输入、输出的总机械能之间有何关系呢？只有三种可能性：
假定1 输入的总机械能大于输出的总机械能。我们观察1—1、2—2与管壁组成体系中的任一截面3—3处的流速 w3，由于该体系的体积 V是确定的，所以随着时间的增加。体系的能量也不断地增加。当然作为能量形式之一的动能也必然增加，即流速 w3 也不断地增加。
体系中没有能量补充，而输入的能量大于输出的能量，既违反了推导的依据能量守恒定律，又违反了推导的条件连续稳定，所以该假定是不成立的。
假定2 输入的总机械能小于输出的总机械能。由于体系的体积V不变，所以体系的能量随着时间的增加而不断的减少。当然体系的动能也不断地减少，3—3截面处的流速 也必然减少。这与推导的依据和条件相悖，所以该假定不能成立。
三种可能被否定了二种：故只有输入的总机械能等于输出的总机械能才是唯一正确的，即在理想流动连续稳定的流体系统中任取两个截面其总机械能应当相等，
E1机械 =E2机械 。
mgz1＋m+ m=mgz2 ＋m＋m 两边同除以mg 得：
z1＋＋ [米流体柱 ] z一位压头； —静压头； — 动压头。
上式常称为理想流体柏努利方程，表示1牛顿流体的机械能守恒。
上式中的每一项表示1牛顿流体具有的能量，称为压头。压头的物理意义是1牛顿流体所具有的能量可以把自身从基准水平面升举的高度；故其单位用[米流体柱]来表示。
对理想流体柏努利方程式进行讨论：
1.由推导的条件连续稳定知，q m1=qm2=qm=恒量，即单位时间内通过管道任一截面积的流体质量为恒量，而此流体本身所具有的总机械能在任一载面处都为一恒量，由此可知：能量守恒建筑在质量守恒的基础上。
2. 由理想流体柏努利方程式知，能量可以互相转化，但转化过程中保持其总值即总压头不变。
3.理想流体柏努利方程的适用范围是连续稳定的理想流体（ ）。
因实际流体，在流动中有摩擦力存在，要消耗一定的能量。为了保证流体在管路中连续稳定地流动，需要从外界向管路系统（体系）补充能量。在这种情况下，实际流体的柏努利方程式可以写为:
z1+
式中，He是泵为每牛顿流体提供的能量，称为泵压头；arago 表示每牛顿流体从1—1截面流到2—2截面所消耗的机械能总和，称为损失压头。其单位均称为[米流体柱]。
上式适用于不可压缩的流体即液体。对于气体，其密度与体积都随着温度和压强而变化。当气体被压缩时，一部分机械能转变为热能；当气体膨胀时，一部分热能转变为机械能。因此，在气体流动过程中当温度、压强变化较大时，运用实际流体柏努利方程式为时，应加以校正[1] ：
1、当 时,用初始和最终状态下密度的平均值，即 代替上式中的，上式可写为；
z1+f
2 、当 时，
等温过程 仍用 代替实际流体柏努利方程式的密度
、绝热过程；用绝热指数k（ ）来校正
参 考 文 献
[1]姚玉英等、化工原理（上册）天津；天津科学技术出版社 2004版。
温州培训 The Dedutcion of Continuous Equation and Bernoulli Equation
The Application of Reduction to Absurdity
Wang Fuliang
(Department of Chemistry, Ningxia University 750021, Yinchuan , PRC)
(责任编辑 南凤仙 责任校对 苏冠文)
(注：此文刊登于《宁夏大学学报》1994年第4期)
