摘要：地图投影是地图学的重要研究内容。任何地图投影都不可避免地存在变形问题。针对地图投影的变形，本文提出球面大圆弧和互补比率均值相结合的地图投影面积变形与形状变形指标。通过算例验证和相关性分析，大圆指标一方面简化了小圆指标（即互补比率均值）的计算过程，并能与小圆指标的结果保持一致；另一方面，大圆指标与微分指标之间也具有较高的一致性（形状变形指标的皮尔森积矩相关系数大于0.988）。由于大圆指标不依赖于微分计算，且计算简捷，因此大圆指标更具通用性。本文进一步采用回归分析对大圆指标进行分析，结果表明，大圆指标与微分指标具有较好的线性关系（线性回归的平均误差小于1.10‰）。为了降低采样点数量和解决采样点不统一问题，本文还提出了基于随机采样的指标计算方法，并对随机方法进行了验证和分析。依据大圆指标与微分指标的一致性和线性关系，可以认为使用大圆指标能够有效地评估地图投影的变形情况。
关键词：地图投影 几何变形 互补比率均值 大圆指标 回归分析 质量评估
Spherical great circle arcs bad indicators for evaluating distortions of map projections
Abstract: Map projection is an important rearch content of cartography. However, distorti
英语读书报告ons are inevitable for any map projection. To evaluate the distortions of map projections, averaged ratio between complementary profiles and spherical great circle arcs bad shape and area metrics are propod. By using Bonne projection as an example and exploiting correlation analys, it is indicated that great circle arcs bad indicators simplify the calculation process of small circle arcs bad indicators (i.e., the averaged ratio between complementary profiles), and both great and small circle arcs bad indicators are highly correlated with each other. Great circle arcs bad indicators are also highly correlated with classical differential calculation bad indicators(the Pearson product-moment correlation coefficient between them is greater than 0.988), while the propod metrics are independent on the differential calculation. By utilizing the method of regression analys, small regression errors are also achieved(the mean error of linear regression is less than 1.10‰). Finally, in order to reduce the number of sampling points and avoid the inconsistency of sampling points for different map projections, this paper also propos and verifies a random sampling bad calculating process. In all word, great circle arcs bad indicators could effectively evaluate the distortions of map projections.
Key words: map projection geometry distortion averaged ratio between complementary profiles great circle bad metric regression analysis quality evaluation
coldplay好听的歌地图投影是建立地球椭球面(或球面)与地图平面之间坐标映射关系的数学方法，作为地图中不可或缺的要素之一，地图投影在描述和研究地理以及地理信息相关问题与现象的过程中至关重要[教育部出国留学中心1-4]。
按照可展曲面的不同，地图投影可以分为圆柱投影、圆锥投影、方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影等不同类型[2, 5]。由于地球曲面的不可展性，在地图投影的过程中，会不可避免地发生变形。按照投影变形特征，地图投影可以分为等角投影、等积投影、等距投影等类型[2, 6]。
等角投影和等积投影是两类重要的地图投影方式。等角投影保持地图上各点在各方向的比例相同，即能够保留局部的形状；等积投影则保持地图要素的面积不变。不存在既等角又等积的地图投影[1]the living proof。
georgia jones>noother地图投影有其数学结构和计算上的复杂性[7]，研究地图投影的变形是地图制图领域的关键问题之一[8]。考虑制图区域内的地图变形，将不可避免的变形控制在可以接受的范围之内，可以避免由于使用不恰当的地图投影导致变形量过大的问题，同时也能为地图的选择和设计提供依据[9-14]。与此同时，地图投影变形也是地球格网化剖分中的重要研究问题[15-20]。sold
底索指标(Tissot’s indicatrices)是一种直观的地图投影变形衡量方法。该方法将微分圆hwr[21]变换到投影平面上，投影之后的微分(正)圆通常会变成长短轴不等的椭圆。底索椭圆能够反映地图投影的距离拉伸、面积变化、形状变化等多个特征[1]，但底索椭圆只反映椭圆所在位置的变形，而不是地图投影全部位置的变形。此外，底索椭圆只能表示椭圆圆心位置无限小区域的地图投影变形，而不是整个椭圆区域的变形，即底索椭圆可能导致误读等问题的出现[22]。这些不足导致底索指标在应用上存在一定的局限性。
利用地图投影的微分性质能够研究地图投影的变形[23]。基于微分的方法依据地图投影正解公式的偏导数，计算得到长度、面积或形状变形系数[24]2011年普通高等学校招生全国统一考试。微分指标是一种传统的方法，但该指标计算过程相对复杂(需要进行偏导数的计算)，且要求被评估的地图投影具有
连续可微的正解公式。对于直接球面剖分(direct spherical subdivision)方法，其构造是通过递归的方式进行的，不存在任意等级格网的通用构造公式，即不存在连续的地图投影公式。文献[25]给出的结果也表明直接球面剖分的互补比率均值指标并不连续，因此微分指标在使用中也存在应用受限的问题。面积变形系数也可以根据球面微圆的边界参数方程，对球面微圆所在区域进行数值积分求得[25]，但计算过程也较复杂，且积分运算一般不存在统一的形式。
本文拟提出一种不依赖于微分或积分运算的大圆面积指标，用于计算地图投影的面积变形系数，同时在文献[25]中提出的小圆指标(即互补比率均值指标)基础上简化得到大圆形状指标，用于计算地图投影的形状变形系数。基于大圆面积指标和大圆形状指标，结合随机采样方法，本文将针对不同类型的地图投影，开展评估、比较和分析，验证指标的有效性，并分析地图投影的质量。分析结果表明，大圆指标能够有效降低小圆指标和微分指标的计算量，并能够有效地评估地图投影质量。
1 不依赖微分计算的地图变形指标1.1 互补比率均值
互补比率均值(averaged ratio between complementary profiles)
[25]ρcs(文献[25]中以ρCP表示)是一种评价球面格网形状变形的方法，该指标由两项构成。为了区分小圆指标[25](带有上标s)与本文中的大圆意义下指标(带有上标g)，本文中以ρcs表示文献[25]中的ρCP，其计算公式为
(1)
式中，表示过Pi、P和P英语四级考试流程j这3点的球面小圆弧长；PiPPj表示在小圆弧上过P点的单位切向量；点P为采样区域中心点对应到球面上的点(采样区域中心点的定义见第2节)；点P1和P3为采样区域某一条对角线的两端点对应到球面上的点；点P2和P4为采样区域另一条对角线的两端点对应到球面上的点。如图 1、图 2所示，图 1(a)中的球面四边形与图 2(c)中的正方形区域相对应，图 1中红色星号表示点P，点P与图 2(c)中心的黑色星号相对应，图 1中洋红色圆形表示大圆弧和的交点。图 1(a)中小圆弧通过点P；图 1(c)为图 1(b)的局部放大图。图 1(b)中的P1P3、P2P4、P1PP3和P2PP4并非长度为1的单位向量，只是为了示意各个向量的方向，计算互补比率均值时需要使用单位向量。
