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0引言
细分格式是在CAGD 中一种生成表面的非常有效的方法([1,2])。而在CAGD 中，在一个具有特定性质的规则网格的细分格式的构造是非常重要的。细分格式的研究参见文献[7,9,10]，更多的细节，参见更多的参考索引。
首先介绍一些符号。设μ=(μ1,…,μS )∈N S
0,μ的长度定义为μ
=μ1+…+μS ，对于ξ=(ξ1,…,ξS )∈R S
，规定ξμ
=(ξμ1,…,ξS μ)。当α∈Z
S
和t ∈R S
时，差分算子定义为▽αv :=v-v (·-α),▽t f :=f-f (·-t ),▽μ
:=▽μe …▽μe ,D μ是微分D μ1…D S μ。
我们说G 是Z S
的对称群，如果任意的E ∈G ，其中E 是整数矩阵且det E =1，则G 在矩阵乘法下是一个群。设Ø是下面方程的唯一解:
Ø=α∈Z
∑a (α)Ø(M ·-α),Ø
^(0)=1(1.1)
其中M 是整数矩阵且lim n →∞M -n
=0，称之为扩张矩阵。我们假设
m :=det M 。a 是有限支集序列称为面具。Fourier 变换定义为
f ^(ξ):=R
∫
f (x )e
-ix ·ξ
dx ,ξ∈R
S
(1.2)
类似的，如果a 是Z S
的可加序列，它的Fourier 级数定义为a
^(ξ)=:∑α∈Z a (α)e
-iα·ξ
,ξ∈R S
。
在频域中,Ø由下式给出:Ø
^(ξ)=∞
j =1∏[a ^((M T
)-j
ξ)/m ].相应的Cascade 算子Q a :C (R S
)→C (R S
knee
)定义为:Q a f :=α∈Z
∑a (α)f (M ·-α)
fosy(1.3)
细分格式可以完全由一个三元组(a ,M ,G )给出。例如，梅花形细
分格式可以由三元组(a ,M 2√,D 4)给出,3√细分格式可以由(a ,M 3√,
D 6)给出。因为在规则网格中有一个全面的坐标系统很难，所以我们需要细分格式具有对称性。也就是说，我们要求细分格式是三元组(a ,M ,G )[6]，满足:
(1)面具a 是G -对称的:a (Eβ)=a (β),∀β∈Z S
,E ∈G ,(2)G 是Z S
的对称群使得MEM -1∈G ,∀E ∈G 。
经过简单的计算，我们可以得到Ø(E ·)=Ø,∀E ∈G 。令l 0(Z S
)表
示Z S
中的有限支集序列的线性空间,l p (Z S
)表示Z S
中的满足下列条件
的序列u 的线性空间:
‖u ‖p
l (Z ):=α∈Z
∑u (α)p
<∞
∀α∈Z S ，令δα表示Z S 中的序列满足δα(α)=1且δα(β)=0,β∈Z S
\{0}。特别的，我们记δ:=δ0。两个序列的卷积定义为:
[u ∗v ](α):=β∈Z
∑u (β)v (α-β),u ,v ∈l 0(Z S
).
显然,u ∗v =u
^v ^。细分算子S a :l 0(Z S )→l 0(Z S )定义为:S a u (α)=β∈Z
∑a (α-Mβ)u (β),α∈Z S
,u ∈l 0(Z S
).
(1.4)
一个三元组(a ,M ,G )，我们通常通过面具a 满足一定阶的和规则
来达到细分格式有好的逼近性质。令∏k 表示最高次数不超过k 的多项式空间。M 是s×s 的扩张矩阵序列，令Γ和Ω分别表示Z S
/MZ S
和Z S
六级词组/M T
Z S
的陪集。显然#Γ=#Ω=det M 。不失一般性，假设0∈Γ和0∈Ω。
我们称a 满足k +1阶和规则，如果对∀p ∈∏k ，有:
β∈Z
∑a (Mβ)p (Mβ)=β∈Z
∑a (Mβ+γ)p (Mβ+γ),∀γ∈Γ.
(1.5)
在频域中(1.5)等价于:
D μ
a
^(2π(M T )-1ω)=0,ω∈Ω\{0},μ≤k .Z S
上的有限支集序列a ，我们定义:
ρ(a ,M ,p ,u ):=lim n →∞功能英文
‖u ∗S n
a δ[]‖1/n
l (Z ),1≤p ≤∞,u ∈l 0(Z S
).
(1.6)
当面具a 满足k 阶和规则而不是k +1阶时，定义下列重要的算子
(参见[4,5,8]):
v p (a ,M ):=-log ρ(M )det M
-1/p
max ρ(a ,M ,p ,▽μδ):μ=k
{}{}
C k
(R S
)表示R S
上的当面具a 满足k 阶和规则而不是k +1阶时,
定义下列重要的算子其中范数如下定义:
‖f ‖C (R ):=|μ|≤k
∑‖D μ
f ‖L
(R
)
.
我们称M 是isotropic，若M 相似于对角矩阵diag {λ1,…,λS }，其中λ1=…λS 。当M 是一个isotropic 矩阵时，我们得到M 的谱半径ρ
(M )=det M 1/S
。若(a ,M ,G )是细分三元组且a 是插值面具，即a (Mα)
=δα(α)时，我们说(a ,M ,G )是一个插值细分三元组。
本文的目的是研究量ρ(a ,M ,p ,u )的算法，它可以用来定义和计算量v p (a ,M )。我们知道量v p (a ,M )对Sobolev 空间里Cascade 算法收敛性以及细分函数在L p 空间的光滑性的研究有重要的应用价值。在本文中，我们首先回顾一下在多元细分格式中收敛性和光滑性的一些结果，接下来我们给出本文中主要的结论，它对计算量ρ(a ,M ,p ,u )非
量ρ(a,M,p,u)的算法
潘雅丽
(山东科技大学理学院，山东青岛266590)
东北林业大学怎么样【摘要】量v p (a ,M )是细分算法里需要研究的一个重要的量，它对Sobolev 空间里Cascade 算法收敛性的研究以及细分函数在L p 空间的光滑性有重要的应用价值。量ρ(a,M,p,u )是用来定义量v p (a ,M )的。因而要研究量v p (a ,M )，可以转化为对量ρ(a,M,p,u )的研究。本文讨论了这个量ρ(a,M,p,u )的算法问题。
【关键词】细分格式；面具；细分函数
Calculation of the Quantity ρ(a,M,p,u)
PAN Ya-li
(Science of college,Shandong University of Science and Technology,Qingdao Shandong 266590,China)
【Abstract 】The quantity v p (a ,M )plays a very important role in characterizing the convergence of Cascade algorithm in a Sobolev space and in characterizing the L p smoothness of a refinable function.In this paper,we investigate the calculation of the quantity ρ(a,M,p,u ),which can be ud to define v p (a ,M ).
【Key words 】Subdivision schemes;Mask;Segmentation function
※基金项目：国家自然科学基金资助项目(11101120)；山东科技大学“春蕾计划”(2010AZZ078)。
作者简介：潘雅丽，研究方向为细分方程与小波分析。
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科技视界常有用。最后，用一个例子来说明主要的理论。
1基本定理和定理的证明
紧支集函数f ∈C k
(R S
)若满足以下条件，被称作满足k +1阶Strang-Fix 条件:
f ^(0)=0且D μf ^(2πβ)=0,μ≤k ,β∈Z S
\{0}.
定理2.1.令(a ,M ,G )是一个细分三元组,M 是一个isotropic 矩阵且Ø是基函数。那么，对∀k >0，下列结论是等价的:
(1)v ∞(a ,M )>k ;
(2)任意紧支集函数f ∈C k (R S
)满足k +1阶Strang-Fix 条件，与面
具a 和扩张矩阵M 有关的Cascade 序列Q n
a f 在空间C k
(R S
)中收敛;
(3)基函数Ø∈C k
(R S
)且:lim n →∞
‖m
kn /s
▽μ
S n a δ[](·)-D μ
Ø(M -n
·)‖l
(Z )=0,∀μ=k ;
(4)任意u ∈l ∞(Z S )，存在函数g ∈C k
(R S
)使得lim n →∞
‖m
conversionn μ/s
▽μ
S n
a u [](·)-D μ
tomorrow night
g (M -n
·)‖l
=0,∀μ≤k .
序列c ∈l 0(Z S )，定义c (M -1·)∈Z S :c (M -1·)ξ):=c ^(M T
ξ)。
下面定理是本文中的主要结果，此结果可以用来计算量ρ(a ,M ,p ,u )。
定理2.2令a 为有限支集面具，若:
a ^(ξ)=c ^(M T ξ)c
^(ξ)b ^(ξ)，任意有限支集序列b ,c ∈Z S
,
(2.1)
使得c
^(M T ξ)/c ^(ξ)是以2π为周期的三角多项式，则对∀1<p <∞,u ∈l 0(Z S
)，有:
ρ(a ,M ,p ,u ∗c ):=lim n →∞
‖u ∗c ∗S n
a δ[]‖1/n
l (Z )
=lim n →∞
‖u ∗S n
b δ[]‖1/n
l (Z )=:ρa ,M ,p ,u )
(2.2)
masu证明：由已知(2.1)递推得到c ∗S n
a δ
(ξ):=c
^((M T
)n
ξn b
ξ)，也就是说:
u ∗c ∗S n
a δ[]=c (M -n
·)∗(u ∗S n b δ[])
(2.3)
因为‖c (M -n ·)‖l (Z )=‖c ‖l (Z )，由Young 不等式得:
‖u ∗c ∗S n
a δ[]‖l (Z )=‖c (M -n
·)∗(u ∗S n
b δ[])‖l (Z )≤‖
c ‖l (Z )‖u ∗S n
b δ[]‖l (Z )
此式表明:
ρ(a ,M ,p ,u ∗c )≤ρ(b ,M ,p ,u ).
(2.4)
因为b 和u 是Z S
上有限支集序列，所以存在正整数N ，使得对任意的自然数n ，序列u ∗S n
b δ[]的支集包含在区间-m
n+N S
,m
n+N
S
[]内。
定义v
^(ξ):=c ^((M T
)realmedia
n+N+1
ξ)/c
^((M T
)
n
ξ)=∏
N j =0
c
^((M T
)
n+j+1
ξ)/c
^((M T )n+j ξ)[]。因为c ^(M T ξ)/c ^(ξ)是以2π为周期的三角多项式，所以^(ξ)2π周期且是紧支集的。由(2.3)得到u ^()c ^(ξS n a ξ)v ^(ξ)=u ^(ξ)c ^((M T )n ξn b ξ)v ^(ξ)=c ^((M T )n+N+1ξ)u ^(ξS n
b δ(ξ).
此式表明:
[u ∗c ∗S n
a δ]∗v=c (M
-n-N-1
·)∗[u ∗S n
b δ].
(2.5)
因为序列u ∗S n
b δ[]的支集包含在区间-m
n+N S
,m
n+N S
[]内，由(2.5)
得:
‖c ‖l (Z )‖u ∗S n
b δ[]‖l (Z )=‖
c (M -n-N-1
·)∗[u ∗S n
b δ[]]‖l (Z )
≤‖v ‖l (Z )‖u ∗c ∗S n
a δ[]‖l (Z ).那么，我们可以得到:
ρ(b ,M ,p ,u )≤lim n →∞
‖u ∗c ∗S n
a δ[]‖l (Z )=ρ(a ,M ,p ,u ∗c ).
(2.6)
下面的结果给出了估算量ρ(b ,M ,∞,δ)的简单方法。定理2.3.[参见3,8]令b 是Z S
上有限支集序列，则:ρ(b ,M ,∞,δ):=lim n →∞‖S n
b δ‖1/n
l
(Z )
=inf n ∈N
(max α∈Z β∈Z ∑S n
b δ(α+M nste
β)
1/n
.
(2.7)
证明：记b n :=S n
b δ和ρn :=max α∈Z ∑β∈Z b n (α+M n
β)，递推可以得
到b j+k =b j ∗[b k (M -j
·)]和
b j+k (α+M j+k
β)=e ∈Γ∑γ∈Z ∑b j (α-M j
(M k
γ+e ))
β∈Z
∑
b k (e+M k (β+γ)).
因此，可以断定ρj+k ≤ρj ρk ，此式表明lim n →∞ρ1/n
n =inf n ∈N ρ1/n
n 。
因为b 是有限支集的，则存在依赖于b 的支集的正数C ，使得#
β∈Z S
:b
n
(α+M n
β)=0{}≤C 。因此得到
‖b n ‖l
(Z )
≤ρn =max α∈Z β∈Z ∑b n (α+M n
β)≤C ‖b n ‖l
(Z )
,∀n ∈N .
因此(2.7)成立。
2例子
例3.1.([8])令(a ,3,-1,1{})是一维插值细分三元组使得实值面具a 的支集属于[-5,5]。那么,v ∞(a ,3)≤log 311。且v ∞(a ,3)=log 311当且
仅当a 惟一确定的记为a best
a best (ξ)199
(e -iξ+1+e iξ)3[9+10cos ξ-8cos2ξ].(3.1)等价地，面具a best 的支集属于[-5,5]且:
-499,-799,0,3499,7699,1,7699,3499,0,-799,-499
[]
.定理2.2和定理2.3可用来计算量v ∞(a ,3)，并且可以简化计算
过程，详见[8]。
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[责任编辑：杨玉洁]
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