基于边界采样技术的插值Loop细分方法
第22卷第12期
2005年12月
计算机应用与软件
ComputerApplicationsandSoftware
V o1.22,No.12
Dec.2005
基于边界采样技术的插值Loop细分方法
梁伟文
(深圳职业技术学院先进制造技术工程系广东深圳518055)
摘要本文在分析了传统几何造型的弊端及开曲面造型中光滑边界曲线的插值要求后，针对细分曲面造型方法中较常用的
Loop细分，提出了基于边界采样技术的插值细分曲面造型方法.该方法一方面利用了细分曲面造型的优点，如算法简单，可表达任
意拓扑结构等；另一方面又满足了工程应用中插值边界曲线的要求.文中详细讨论该算法的步骤，并通过示例验证了该算法的有效
性和实用性.
关键词细分曲面边界采样插值Loop细分
INTERPoLA TINGLooPSUBDIVISION BASEDoNBoUNDARYSAMPLINGSCHEME
LiangWeiwen (DepartmentofAdvancedManufacturingTechnology,ShenzhenPolytechnic,ShenzhenG uangdong518055,China) AbstractAfteranalyzingtheabuoftraditionalgeometricmodelingandrequestforinterpol atingboundaryofopen—surfacemodeling,a
newsubdivisionmethod,namedinterpolatingboundaryLoopsubdivisionbadonboundar ysamplingscheme,ispropodinthispaper,This
gemeo
methodnotonlyutilizesadvantagesofsubdivisionsurfacemodeling,suchassimplealgorith mandarbitrarytopologicexpression,butalsosati—slyinterpolatingsmoothboundarycurves,Thealogrithmisdiscusddetailedly,Thefeasibil ityandeffectivenessofthealgorithmisvalidated
throughtwoexamples, KeywordsSubdivisionsurfaceBoundarysamplingInterpolatingloopsubdivisionscheme 1引言
曲面造型主要适用于表面不能用简单数学模型进行描述的
复杂物体型面，一般采用参数曲面表达，如Bezier曲面,B—spline
大学生入伍条件曲面,Coons曲面或NURBS(非均匀有理B样条曲面).然而由
于参数曲面是由定义在参数平面的双元函数来表达，其曲面一
般与平面片同形，即参数域为矩形.这种定义注定它有一些固
定的局限性：单一的NURBS曲面与其它参数曲面一样，难以表
示在拓扑上等价于一张纸，一张圆柱面或一张圆环面的规则曲
面，不能表示复杂的任意拓扑结构的曲面.如果用NURBS的面
片来生成这些复杂曲面，目前虽然有些软件可以做到这一点，但
是也会遇到以下困难：裁剪计算复杂，而且有数值误差；难以保
持曲面片拼接处光滑，即使近似光滑也是困难的.如果采用多
曲面片拼接，又会遇到曲面片的连接和光滑过渡等问题，这些操
作在传统曲面造型中是比较困难的.而近年出现的细分曲面造
型方法，由于在不规则拓扑处只须采用特殊的细分规则处理，不
duos存在拼接的问题，因此这种方法克服了参数曲面处理任意拓扑
结构网格时存在的困难.
另一方面，工程中的曲面有时要求精确边界比内部结构表
达更重要，如边界为曲面的重要特征，两相邻曲面的光滑连接线
等.对于传统参数曲面的相交线，如两张双三次曲面片，其相交
线为次数很高的曲线，求解极其困难.一般采用数值逼近方法,
允许在给定的公差范围内进行逼近.但采用逼近曲线来表达所
需求的理想曲线，由于逼近的数值误差，逼近曲线没有落在曲面
上.如果求解两曲面片的交线，分别可计算两条逼近曲线.利
用该两条逼近曲线代替原相交曲线，则相交曲面片间会产生间隙，因此，在曲面造型过程中，对于其边界曲线的考虑比较重要. 一
般需要在曲面边界上进行插值，得到精确的曲面边界线.
本文针对于细分曲面造型方法中较常用的Loop细分方法,
提出了基于边界采样技术的细分曲面造型方法.
2Loop细分规则
Loop细分是CharlesLoop提出的一种简单基于三角网格的
逼近型，面拆分细分方法.后来经过不断改进，其细分规则
如图1所示，其中表示顶点，卢,y,y表示该点的权值，其他数
值也表示权值.在网格中只生成两类顶点：边点(E一点)和顶
点点(一点).
令，令.e
图1Loop细分规则
收稿日期;2004—04—26.梁伟文，博士，主研领域：计算机辅助设计与制造.
第l2期梁伟文：基于边界采样技术的插值Loop细分方法27
E一点：设内部边的两个顶点为,，共享此边的两个三角
形面为(..,)和(..)，则E一点为:
蚩(.)寺(z+,)(1)
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一
点：若内部顶点的边邻点为,--，一.，其中n=
耻辱的意思
I(顶点的度)，则相应的V一点为:
(1一)+∑(2)
即是顶点本身与其所有相邻顶点的加权和，它本身的权值
为1一r，而相邻点权值为=1l5一(83--+1c.s))或
n=3时=素而n>3时=.
对于开网格的细分，边界边(,.)上的E一点为:
E=
÷(+.)(3)
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边界顶点在边界上的两个相邻顶点为,.，则的一
点为:
c(+-))，而边界点采用边界采样处理，如图3所示，将边界E
一
顶点用采样点Cf二l代替，且其细分网格的拓扑保持不，二, 变.在下一层细分网格中，每个新生成的边界点连接两条带端点的内部边和两条边界边;
(4)如果控制网格边界曲线是分段连续光滑曲I
线，则两曲线连接处存在角点，如图4所示.如果采.
用标准Loop细分规则，则在该点处易于产生棱边，极j!
限曲面的光顺性不好.而在插值细分中，断点的位置
是需要保持不变的，但与该点相连的一条边上生成新
的E一顶点，对于这样的顶点要求新的规则.由于Ej:
一
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点实际就是空间四边形的面点(F一点)，而这样的}日刚
规则可以保证细分极限曲面在边界角点处G连续.
因此，对于该类边界线的插值细分中，除内部标准细分，边界线上采样外，在角点处还需要利用图4所示边界角点处的细分规则，即，一点为角点处空间四边形的加权平均位置.这样就可
以保证曲面在边界处的光滑性.
:
1(+
-
)3(4)
5实例
为使曲面在边界处光滑，需要修改以边界点为端点的内部
E一顶点的权值，如图1所示，一般取=1
,
=
÷或.=1
12竹112~r
一∞,y:.∞.
3边界采样技术
由于Loop细分方法本身是逼近型，其极限曲面的边界线不
能插值控制网格的边界点.如果要求其极限曲面插值给定的边界曲线，则需要设计新的边界规则.为此，本文针对标准Loop 细分规则，提出了一种基于边界采样的边界曲线插值方法.
边界采样定义：假定给定一条
光滑的参数曲线c()，其上两点
c(),c(.)连成边e..如果在曲
线上的两点间采样一点c((+
u)/2)，连接点C(u.)和c((u+
\m/("
""
￡((f/2l
闻鸡起舞是什么意思
图2边界采样
u)/2),c(u.)和c((u+.)/2)形成两边e2和e3，则边e2
和e，比e.逼近原曲线的精度更好，如图2所示，这个过程称为边界采样，保证所有的采样点全部落在原边线曲线上.
4基于边界采样的插值Loop细分方法
基于标准Loop细分规则，提出了如下的边界采样插值边界
曲线细分方法:
(1)标记控制网格的顶点：内部点与边界点，其中边界点为
my teacher英语作文边界曲线上的点;
(2)对于控制网格内部点，采
