奇异值分解降噪的改进方法
张磊;彭伟才;原春晖;刘彦
【摘 要】利用测试信号构造Hankel矩阵进行奇异值分解(SVD)是消除随机噪声干扰的有效方法，其关键是奇异值数目的选取，但目前尚无成熟有效的确定方法。针对这一问题，提出了一种奇异值分解降噪的改进方法，该方法依据去噪后信号极值点数量随奇异值数目变化的关系，可以准确选取与最优降噪效果对应的奇异值数目。仿真及实验结果表明，该方法准确、有效。利用该方法处理船舶和机械设备振动噪声测试信号，可有效提高其信噪比，最大程度地优化信号去噪的效果，提高分析的可靠性。%10.3969/j.issn.1673-3185.2012.05.015
【期刊名称】《中国舰船研究》
【年(卷),期】2012(000)005
【总页数】6页(P83-88)
【关键词】奇异值分解;去噪;极值点
遮蔽的意思
【作 者】张磊;彭伟才;原春晖;刘彦
【作者单位】中国舰船研究设计中心船舶振动噪声重点实验室,湖北武汉430064;中国舰船研究设计中心船舶振动噪声重点实验室,湖北武汉430064;中国舰船研究设计中心船舶振动噪声重点实验室,湖北武汉430064;中国舰船研究设计中心船舶振动噪声重点实验室,湖北武汉430064
【正文语种】中 文
【中图分类】U661.44
0 引 言
在船舶振动噪声信号的测试过程中，总存在着由现场测试环境及仪器本身产生的误差源［1-4］，其中一个不可避免的误差源就是随机噪声。测量信号中的噪声水平直接决定了分析的可靠性，为此，必须消除或者最小化信号中的噪声干扰。
作为信号降噪的有效方法之一，奇异值分解（SVD）已被广泛应用于许多工程领域，如信
号滤波和矩阵秩的估计。将受到噪声污染的信号构造成Hankel矩阵，然后对其进行奇异值分解，将包含信号特征的矩阵分解到一系列奇异值和奇异值矢量对应的子空间中，是对Hankel矩阵进行噪声过滤的一种非线性滤波方法。从SVD降噪的基本原理来看，其关键就是确定Hankel矩阵的有效奇异值数目，奇异值数目选择不当，会极大地影响降噪效果。而目前用于确定奇异值数目的方法，如奇异值曲线、奇异熵增量［5］、信噪比经验［6］等，都不能明确地给出有效阶次，往往只能依靠经验选取。
本文将通过仿真分析与实验测试来研究奇异值数目变化时噪声对信号的干扰影响。
paul george1 奇异值分解降噪基本原理
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对于一个受噪声污染的离散信号 X={x1，x2，…，xL}，构造成m×n(m≤n)维的Hankel矩阵为：
式中，A为Hankel矩阵；m为嵌入维数，并且满足m+n-1=L。
对Hankel矩阵进行奇异值分解可得到：
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式中，U为m×m维正交矩阵；V为n×n维正交矩阵；Σ为m×n维矩阵。主对角元素为矩阵的奇异值，并且从大到小排列。
矩阵A为由受噪声污染的信号构成的Hankel矩阵，可以表示为未受噪声污染的信号子空间和噪声子空间之和：
式中，为未受噪声污染的信号子空间；N为噪声子空间。对原始信号降噪就转化为已知的A，寻找的最佳逼近问题，逼近程度越好，降噪效果便越明显［7］。
arbor day保留对角矩阵的前k个有效奇异值，将其他的奇异值设置为零，利用奇异值分解的逆过程得到重构矩阵。一般来说，这时的重构矩阵不再是Hankel矩阵的形式。为了得到降噪后的信号，需要对重构矩阵中的反对角元素采用下式进行平均：
2 改进方法
由实测经验可知，当实际测量环境很好时，测量得到的信号一般为光滑曲线；而当受到外界的随机噪声干扰时，测量得到的信号中就会含有大量的“毛刺”。
补胎方法
利用噪声污染信号构造Hankel矩阵进行奇异值分解降噪，就是对含噪信号进行逼近、剔除毛刺的过程。经过对大量仿真结果的研究，发现去噪结果中剩余噪声对信号的干扰影响能够通过信号中“毛刺”的数量及大小来判断，这与实测经验相吻合。当选取的奇异值数目较小时，大部分噪声都被剔除掉了，但也损失了大量有用信号。随着奇异值数目的逐渐增大，有用信号信息趋于完整，但噪声的干扰也会逐渐增加。当奇异值数目达到某一值时，降噪后的信号既保留了大部分有用信息，也剔除掉了大部分噪声，这就是要选取的最佳奇异值数目。当奇异值数目再增加时，基于随机噪声对信号干扰的特点，降噪后的信号中会出现大量“毛刺”，波动明显，在数学意义上可表示为有大量极值点出现。本文根据降噪后信号极值点（均指极大值点）数量的变化，找到了突变点，可清晰地判断应该选取的有效奇异值数目。
本文信噪比计算所用的公式为：
式中，SNR为信噪比，dB；n(i)为含有噪声的信号；x(i)为真实信号；N为信号长度。
3 仿真分析
3.1 噪声干扰对奇异值的影响
经过对无噪声理想信号和受噪声污染信号的研究，发现一般由无噪声理想信号构造的Hankel矩阵的大部分奇异值为零。根据非零奇异值的数目，可以很容易地判断矩阵的有效阶次。因噪声具有随机和不相关的特点，因此，由受随机噪声污染信号构造的Hankel矩阵呈列满秩或行满秩状态（取决于行和列哪个维数更小）。
现取如图1所示的无噪声理想信号和噪声污染信号进行仿真分析。无噪声理想信号clean signal＝sin（3×t）＋sin（5×t）＋sin（8×t），单位为 V，其中 t为时间间隔为0.01的从0～2变化的时间序列。在无噪声理想信号中加入信噪比约为6dB（通过式（5）计算得到）的高斯白噪声，得到了图1中的噪声污染信号，噪声干扰明显。
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图1 无噪声理想信号与噪声污染信号Fig.1 Clean signal and noisy signal
对图1中的两个信号取维数m＝80，n＝122构造Hankel矩阵（本文在此不讨论如何选取的维数，具体方法可参考文献［8］），进行奇异值分解，得到奇异值序列图如图2所示（只显示了80个奇异值中的前30个）。
图2 无噪声理想信号和噪声污染信号的奇异值序列图Fig.2 Singular value curves of clean signal and noisy signal
对比图2中的两条奇异值曲线可知，每个奇异值受到噪声干扰的程度不同：较大的奇异值受噪声干扰的影响较小，而较小的奇异值受噪声干扰的影响则较大。由于由受噪声污染信号构造的Hankel矩阵的每个奇异值都是由“有用信号”和“噪声信号”两部分组成，实际选取奇异值数目就是一个对有用信号和噪声信号进行取舍的过程，所以，就要考虑在所选取的数目对应的那个奇异值中，有用信号和噪声信号的比例关系。
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3.2 方法对比
3.2.1 奇异值曲线和奇异熵增量
奇异值曲线和奇异熵增量判断有效奇异值数目的方法，分别是以奇异值拟合曲线和奇异熵增量曲线的拐点来作为阈值设置的依据。实际计算结果表明，两种曲线除幅值有所变化外，形状并没有多大区别。
对图1中受噪声污染的信号取维数m＝80，n＝122构造Hankel矩阵，进行奇异值分解，得到奇异值序列图（图3）和奇异熵增量随奇异值数目变化的曲线图（图4）。通过对比，证实上述结论是正确的。
由于降噪效果往往对奇异值的数目很敏感，因此，奇异值数目的微小差别都将导致信号去噪效果有较大差异。上述方法存在的主要问题就是拐点不够清晰，即使存在拐点，选取对应的奇异值数目一般也不能得到最优的降噪结果。采用上述两种方法，并通过观察图3和图4，可以选取奇异值的数目为5。
图3 奇异值序列图（噪声污染仿真信号）Fig.3 Singular value curve（noisy simulation signal）
图4 奇异熵增量随奇异值数目变化的曲线图（噪声污染仿真信号）Fig.4 Increment of the singularity entropy versus the number of the singular values（noisy simulation signal）
当选取的奇异值数目为5时，通过计算，得到降噪后的信噪比为18.5 dB。去噪后的信号与无噪声理想信号的对比如图5所示。由图可见，信号中含有很多“毛刺”，尤其是后半段受噪声影响较严重。
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图5 奇异值数目为5对应的降噪信号和无噪声理想信号Fig.5 Noi elimination signal with 5 singular values and clean signal
3.2.2 改进方法——极值点数量
现利用改进的方法，采用与第3.2.1小节中相同的维数构造Hankel矩阵，进行奇异值分解。通过计算得到的信号降噪后极值点数量随选取奇异值数目变化的关系如图6所示。极值点数量突变非常明显，要选取的有效奇异值数目为4。
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