绪论
The study of differential equation is one part of mathematics that, perhaps more than
any other, has been directly inspired by mechanics, astronomy and mathematical physics. Its
history began in the 17th century when Newton, Leibnitz, and Bernoullis solved some simple
differential equations arising from problems in geometry and mechanics. The early
discoveries, beginning about 1690, gradually led to the development of “a now-classic bag
of tricks” for solving certain special kinds of differential equations. Although the special
tricks are applicable in relatively few cas, the do enable us to solve many differential
equations that ari in mechanics and geometry, so their study is of practical importance.
Experience has shown that it is difficult to obtained mathematical theories of much
generality about solutions of differential equations, except for a few types. Among the are
the so-called linear differential equations which occur in a great variety of scientific
problems.
The object of much of the rearch in the theory of differential equations is to
discover existence and uniqueness theorems for wide class of equations.
-------Tom.M.Apostol
1 简介
数学物理方程主要指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方
程，有时也包括与此有关的积分方程、微分积分方程和常微分方程。也就是说数学物理
方是指由物理背景的偏微分方程。
1.1 一些基本的数学物理方程
在力学中，由牛顿的引力理论产生了引力势的概念，它满足拉普拉斯方程
(I.1.1) 或泊松方程。
(I.1.2)
这里未知函数通常被称为势或位，比如引力势、电位等。在物理上通常被称为源的密度分
布，当时被称无源问题。这样(I.1.1)描述了无源的位，而(I.1.2)则描述了有源的位。在数
学上则称(I.1.1)是齐次方程，而称(I.1.2)为相应的非齐次方程。这里相应是指它们的左边是相
同的，显然这里出现的是偏导数，所以这种方程被称为偏微分方程；稍作观察可以发现方程
里出现的偏导数的最高阶数是2，所以也称之为二阶方程。
我们知道方程的未知元是可以用任意符号表示的，所以方程(I.1.1)、(I.1.2)里起关键作用
的是
人们称之为Laplace算子，并简记为，即有
这里有三个变量（相当于考虑空间里的问题），所以也被称为三维Laplace算子。若考虑平面
问题，则自然会出现
人们称之为二维Laplace算子。再观察一下我们还可以发现
(I.1.3)
所以也称Laplace算子为二阶线性微分算子。于是(I.1.1)、(I.1.2)就是二阶线性偏微分方程。
课堂练习1（证明叠加原理）：若是(I.1.1)的解，则也是(I.1.1)的解；若
是(I.1.1)的解，是(I.1.2)的解，则也是(I.1.2)的解；若是(I.1.2)的解，则是(I.1.1)
海峡两岸的交往的解。与线性方程组的解的理论类比，你能得到什么启发呢？
在连续介质力学中，从质量、动量、能量守恒原理出发，导出了流体力学中的纳维-斯托
克斯方程组
(I.1.4)
其中表示流体流动的速度向量，表示流体的压强，表示流体密度，表示流体粘性系
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数。称为梯度算子。向量含有多个分量，所以(I.1.4)是一个方程组。值得注
意的是是非线性的，所以(I.1.4)是非线性二阶偏微分方程组。正是这个非线性性是的纳
维-斯托克斯方程组的研究变得非常困难1，数学物理方程的本科课程中不会涉及到这种困难问
题。
在物理学中波的传播由波动方程描述
(I.1.5)
传热和扩散的现象则归结为热传导方程
(I.1.6)
这些都是古典的数学物理方程。其中波动方程、热传导方程和Laplace方程是最早研究的
cleanup几个方程，也是研究得最充分的几个方程，对他们它们的讨论构成了本科生数学物理方程课
1 NS方程(纳维叶－斯托克斯Navier-Stokes方程) ，2000年5月24日，美国克莱数学研究所的
科学顾问委员会把NS方程列为七个“千禧难题”（又称世界七大数学难题）之一，这七道问题被研究
所认为是“重要的经典问题，经许多年仍未解决。”克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的
大奖基金，每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励。另外六个“千年大奖问题”分别
是： NP完全问题，霍奇猜想（Hodge），黎曼假设（Riemann），杨－米尔斯理论（Yang-Mills），庞
加莱猜想和BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer）。目前庞加莱猜想已经被解决了。
程的基本内容。值得注意的是，往往同一个偏微分方程可以描述许多种性质上很不相同的物
理现象。比如(I.1.1)既可描述引力势，也可描述电位，而(I.1.5)既可描述声波，也可描述电磁
波，热的传导和物质溶解都可用(I.1.6)来刻画。
随着物理学的发展，从19世纪到现在，又出现了许多数学物理方程，比如刻画电磁场变
化的麦克斯韦方程组
(I.1.7)
在量子力学中，系统的状态不能用力学量的值来确定，而是要用力学量的函数
，即波函数（又称概率幅，态函数）来确定，因此波函数成为量子力学研究的主
要对象。力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解
波函数的薛定谔方程
t fire to the rain
(I.1.8)
得到解答。这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程
之一，在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。薛定谔方程是量子力学最
基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。
广义相对论中确定引力场的爱因斯坦方程和在基本粒子研究中有重大作用的杨-米尔斯
方程都是数学物理方程，对它们的表述要用到张量等更深入的数学知识。
对光辐射、中子迁移以及气体分子运动的研究，归结出了辐射迁移方程、中子迁移方程
最好的少儿英语教材和玻耳兹曼方程，它们都是微分积分方程。
物理现象有时是很复杂的，例如考虑带电流体在磁场中运动时，就有电磁流体力学方程
组，它是麦克斯韦方程组和流体力学方程组的耦合，又如化学反应和扩散相耦合，就有反应
扩散方程等等。
1.2 解数学物理方程及意义
在前面的课堂练习里我们已经对线性偏微分方程的解的特性有了初步了解了，即有叠
加原理。可以说叠加原理是“线性”二字的本质体现，叠加原理是物理名词，在数学上就
表现为线性运算。但我们实际上还没有定义什么叫偏微分方程的解。你们也许会说偏微分
方程的解还需要定义吗？你没给定义之前我们不是也作出了那个课堂练习了吗？而且看来
还不错！事情是这样的，偏微分方程的解实际上是非常复杂的，就是解的定义本身也是偏
微分方程的一项研究内容。我们之所以不加定义就能做前面的课堂练习，是因为我们实际
上是按自然的方式理解偏微分方程的解的，就是把函数代入方程使得等式成立。即使这种
非常自然的理解，我们稍加思考也会发现它是需要限定的，比如导数的存在性，函数的定
imagine义域等。通常我们把上定义的具有阶连续导数的函数全体记为。若，且
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将代入(I.1.1)，(I.1.2)使之在上成为恒等式，则称是(I.1.1)，(I.1.2)的古典解。
如何求出偏微分方程的古典解呢？这是一个困难的问题，也是我们后面要详细讨论的
问题，这里我们要用一些例子对偏微分方程求解的基本思想和方法作概要性的介绍。首先
我们得承认我们不能希望对随意一个偏微分方程求出其古典解，但我们的确可以求出一些
特殊类型的偏微分方程的特殊的解，这主要是观察方程的特殊形式，猜测其可能有的特殊
形式的解的可能表达式，将其转化为代数方程或常微分方程来计算。你们也许会觉得“观
察，猜测”有悖于你们在数学分析里学到的演绎推理，实际上这正是微分方程的魅力所在。
回想一下平面几何的学习经历，两千多年来，平面几何一直是演绎推理的典范，但我们做
题时不是时时需要观察图形，做辅助线（猜测）吗？“观察，猜测”时发现新现象、新结
论的重要手段。在学习数学物理方程时，需要细心领会这一思想，我们要系统介绍的方法
几乎都是用此思想得到的。
例1考虑二维Laplace方程
(I.1.9)
容易观察出都是(I.1.9)的解，由叠加原理知道也是
(I.1.9)的解。既然(I.1.9)有零次、一次多项式解，它是否有高次多项式解呢？你能猜出一个
二次多项式解吗？你能猜出一个三次多项式解吗？……
回想一下线性常微分方程的理论，二阶线性齐次常微分方程的解空间是二维的，那么
(I.1.9)的解空间是多少维的呢？
(I.1.9)有不是多项式形式的解吗？我们知道，二阶常系数常微分方程的求解是通过猜测
其有指数函数形式的解从而将问题转化为代数方程问题，最后得到二阶常系数常微分方程
的解可由指数函数和三角函数表示出来。这启示我们猜测(I.1.9)有如下形式的解
(I.1.10) 将(I.1.10)代入(I.1.9) 可得
(I.1.11) 显然(I.1.11)的实数解只有，这对应于，是一个零次多项式，不是新解。但
是(I.1.11)还有复数解，由Euler公式知道(I.1.11)有解
你现在能猜测出(I.1.9)解空间的维数吗？
生活大爆炸5
(I.1.9)还有其他形式的解吗？注意到，这提示我们猜想如下形式的
解
(I.1.12)
将(I.1.12)代入(I.1.9)得
(I.1.13) 注意到(I.1.13)左边与无关，右边与无关，从而它应该是一个常数，记为，则(I.1.13) 化
为两个二阶线性常微分方程
(I.1.14)
(I.1.15)
显然(I.1.14)、(I.1.15)可用公式解出来，从而
也是(I.1.9)的解。
(I.1.12)所定义的二元函数有特殊形式，即两个一元函数的乘积，这种将多元函数分解成
一些一元函数的乘积，从而将偏微分方程转化为常微分方程的方法称为变量分离法，它是求
解偏微分方程的重要且常用的方法，我们后面第三章中会详细讨论。
现在我们通过简单的观察和类比已经求出了(I.1.9)的很多解了，多到超出我们的预想，
至少和常微分方程比较是这样的。但是我们还要问(I.1.9)还有其他形式的解吗？因为这个问
布局图
题我们并没有得到答案，每问一次，通过探寻我们又找到一些解！注意到(I.1.9)关于是
对称的，我们也可以考虑具有某种对称性的解，比如关于圆对称，即函数只与点到原点的
距离有关，而与方向无关，这时函数在极坐标下是的一元函数。由链式法则得此时方程rosamund pike
(I.1.9)化为
从而(I.1.9)有解。显然不能由前面出现的解函数线性表示。人们称
(I.1.16)
为(I.1.9)的基本解。基本解的定义及意义将在第三章和第五章给出。那么(I.1.9)还有其他形
式的解吗？
可见要求出(I.1.9)的通解（也就是全部解）是非常困难的，所以偏微分方程中几乎没有
求通解的问题，而代之以求满足某种条件的特殊解，这些条件就是所谓的定解条件。一个
方程（组）连同其定解条件一起被称为定解问题。对一个给定的方程，如何提定解条件也
是偏微分方程研究的一个课题，对于数学物理方程，定解条件通常由物理模型来决定，我
们将在第二章详细讨论。
练习1研究三维Laplace方程的解并导出其基本解
例2考虑一维热传导方程
(I.1.17)
注意到对未知函数都有求导运算，所以是(I.1.17)的一个解。这个解也许显得太平
凡，若再注意到对时间变量求导是一次，而对空间变量求导是两次，所以容易知道
也是一个解。沿此思路考虑，我们容易得到更不平凡的解
等。你能得到多少次多项式的解？
回忆一下常微分方程求解方法中有一个Laplace变换法，我们是否能用Laplace变换法
来解(I.1.17)呢？让我们试试，注意到是一个二元函数，我们考虑对时间变量做
Laplace变换，记起像函数为，于是(I.1.17)变为
(I.1.18)
这是一个二阶线性常微分方程。
为了复习二阶线性常微分方程的求解方法，我们给出(I.1.18)的详细求解过程。首先相
应于(I.1.18)的齐次方程的通解为
(I.1.19)
用常数变异法求解(I.1.18)，设非齐次方程(I.1.18)的解为
