2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛初二第二试
一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内.
1．篆刻是中国独特的传统艺术，篆刻出来的艺术品叫印章．印章的文字刻成
凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中镂空的）（ ）
2．如果1-<<y x ，那么代数式x y x y -++11的值是（ ） （A ） 0 （B ） 正数 （C ）负数 （D ）非负数
3．将x 的整数部分记为[x ]，x 的小数部分记为{x }，易知=x [x ]+{x }（{}10<<x ）．若5353+--=x ，那么[x ]等于（ ）moment是什么意思
（A ） 2- （B ）1- （C ） 0 （D ）1
4．某种产品由甲、乙、丙三种元件构成．根据图2，为使生产效率
最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人
数量所对应的扇形圆心角的大小依次是（ ）
（A ）120°，180°，60° （B ）108°，144°，108°
（C ）90°，180°，90° （D ） 72°，216°，72°
5．面积是48的矩形的边长和对角线的长都是整数，则它的周长等于 ( )
（A ）20 （B ） 28 （C ） 36 （D ）40
6．In the rectangular coordinates,abscissa and ordinate of the interction point ofthe lines k x y -= and 2+=kx y are integers for imteger k ,then the number of the possible values of k is （ ）
（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7
（英汉小词典：abscissa 横坐标；ordinate 纵坐标；interction point 交点；integer 整数）
7．将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，如图3所示．用这四张小纸片一定可以拼成（ ）
（A ）梯形 （B ）矩形 （C ）菱形 （D ）平行四边形
8．若不等式组⎩⎨
half是什么意思
⎧>++<+-m x x m x 1104的解集是4>x ，则（ ） （A ）29≤m （B ）5≤m （C ）2推奶师培训
9=m （D ）5=m 9．如图4，四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD 的长等于（ ）horigen
（A ） 134 （B ）38 （C ）12 （D ）310
10．任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解q p n ⨯=（q p ≤）可称为正整数n 的最佳分解，并规定q p n F =)(．如：12=1×12=2×6=3×4，则43)12(=
F ． 则在以下结论 ①21)2(=F ； ②8
3)24(=F ；③若n 是一个完全平方数，则1)(=n F ；④若n 是一个完全立方数，即3a n =（a 是正整数），则a
n F 1)(=．其中，正确的结论有（ ）
（A ） 4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个
二、填空题（每小题4分，共40分）
11．将一根钢筋锯成a 段，需要b 分钟，按此速度将同样的钢筋锯成c 段(a ，b ，c 都是大于1的自然数)，需要 分钟．
12．给机器人下一个指令[s ，A ]（0≥s ，ο
ο1800<≤A ），它将完成下列动作：
①先在原地向左旋转角度A ；②再朝它面对的方向沿直线行走s 个单位长度的距离． 现机器人站立的位置为坐标原点，取它面对的方向为x 轴的正方向，取它的左侧为y 轴的正方向，要想让机器人移动到点（5-，5）处，应下指令： ．
13．已知实数x ，y ，z 满足3
321z y x z z y y x x ++=+=+=+，则_________或=++z y x ． 14．已知实数x ，y 满足432=-y x ，并且0≥x ，1≤y ，则y x -的最大值是 ，最小值是 ．
15．汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施：取消养路费，同时汽油消费税每升提高0.8元．若某车一年的养路费是1440元，百公里耗油8升，在“费改税”前后该车的年支出与年行驶里程的关系分别如图5中的1l 、2l 所示，则1l 与2l 的交点的横坐标=m .(不考虑除养路费和燃油费以外的其它费用)
16．Given d cx bx ax x f +++=23)(,if when x takes the value of its inver
number ，the corresponding value of )(x f is also the inver number,and 0)2(=f ，then =++bbeach是什么意思
a d c ．（英汉小词典：inver number 相反数） 17．8人参加象棋循环赛，规定胜1局得2分.平1局得1分，败者不得分，比赛结果是第二名的得分与最后4名的得分之和相同，那么第二名得 分．
18．若正整数a ,b 使等式20092
)1)((=-+++b a b a a 成立，则=a ,=b ． 19．如图6，长为2的三条线段'AA 、'BB 、'CC 交于O 点，并且
OB C OA B ''∠=∠=∠=OC A '60°，则这三个三角形的面积的和321S S S ++ 3．（填“<”、“=”、“>”）
20．已知正整数x ，y 满足2492y x =+，则=x ，=y ．
三、解答题（每题都要写出推算过程）
21．（本题满分10分）
在分母小于15的最简分数中，求不等于
52但与5
2最接近的那个分数． 22．（本题满分15分） 如图，一次函数33+-=x y 的函数图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt △ABC ，且使∠ABC=30°．
（1）求△ABC 的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P （m ，2
3），试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当△APB 与△ABC 面积相等时m 的值；
（3）是否存在使△QAB 是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q ？若存在，请写出点Q 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（本题满分15分）
点A （4，0），B （0，3）与点C 构成边长分别为3，4，5的直角三角形，如果点C 在反比例函数x
exceedk y =
的图象上，求k 可能取的一切值．守望幸福
第二十届“希望杯”全国数学邀请赛
参考答案及评分标准
初二 第2试
一、选择题（每小题4
raul分）
二、填空题（每小题4
分，含两个空的小题，每空2分）
mandolin
三、解答题
21.设所求的最简分数是
n m ，()1,=n m ，n m <<0，15<n ， 则 n n m n m 52552-=-， 因为 5
2≠n m ，且m ，n 是正整数， 所以 125≥-n m .胖人服饰搭配
（1）当125=-n m 时，有125=-n m （当
52>n m 时），或125-=-n m （当52<n m 时），
所以 512+
=n m 或5
12-=n m . 由m 是整数，知2n +1或2n -1（n <15）是5的倍数.（5分）
