第41卷第3期2021年3月
268
真空科学与技术学报
CHINESE JOURNAL OF VACULM SCIENCE AND TECHNOLOGY
罗茨转子轮廓的柔性构造及其性能参数的
简约公式
李玉龙*
赵宏顺 刘 萍范钧 宋安然 赵 岩 (宿迁学院机电工程学院宿迁223800)
Flexible Algorithm for Rotor-Profile Construction and
Performance-Characteristics Evaluation of Roots Pump
LI Yulong * ,ZHAO Hongshun,LIU Ping,FAN Jun,SONG Anran,ZHAO Yan (School of Mechanical and Electrical Engineering , Suqian College , Suqian 223800, C/iina )
Abstract A novel "flexible ” algorithm was propod ,for rotor-profile construction and for performance-char
acteristics evaluation of Roots pump. The lf-developed u flexible M algorithm works well for all types of transition/
conjugate contours available. Firstly , the upper-limit of shape coefficient was derived to ensure that no interference
should exist in the conjugate ・contour inside the pitch-circle ； next , the "flexible" shape coefficient was described , with the independent variables , including the shape-coefficient , half ・peak angle and lobe ・number , and in such a way
that the peak-point must overlap the start-point of the conjugate contour inside the paired rotor ' pitch-circle ；and nally , the simplified equations of volume-utilization and flow-pulsation coefficients were derived , respectively. Calcu lated by assuming a universal type-coefficient of 0. 05 , the discrepancy of the volume-utilization coefficient was be
low 0. 3% ,simply becau of a minor impact of the conjugate contour.
Keywords Roots rotor ,Shape coefficient , Conjugate contour ,Transition contour, Flexible profile construction ,
Volume utilization coefficient , Flow pulsation coefficient
摘要为实现罗茨转子轮廓构造及其性能表达方面的通用性和高效率，提出由节圆外、内的任意型式过渡轮廓与任意类 型共觇轮廓组成的“柔性”构造方法，由节圆内共觇轮廓上不岀现角点干涉的几何条件确定出基础形状系数的取值上限，并以 基础形状系数、半叶顶角和叶数为独立变量，由顶点与配对转子节圆内共辄轮廓起点重合的几何关系确定出柔性形状系数,
进而由前期研究成果的进一步推导，得出容积利用系数和流量脉动系数的简约公式。结果表明容积利用系数和流量脉动系 数公式仅与共觇轮廓的类型及基础、柔性形状系数有关。并得出共辘轮廓类型的影响较小，类型系数统一采用0.05的容积利
用系数简约误差小于3%的重要结论。
关键词 罗茨转子 形状系数 共觇轮廓 过渡轮廓 柔性构造 容积利用系数 流量脉动系数中图分类号:TB752 *.26汀H166
文献标识码：A doi ：10.13922/j. cnki. cjvst. 202006010
罗茨泵/风机是一种原理相同、结构相近的转子 非接触式容积设备，结构简单，应用广泛⑷。其中， 一对完全相同转子的主、从轮廓及其不同的构造方 法，直接决定了泵/风机的诸如脉动品质、轻量化效
六级听力在线练习果等主要性能力。为此，虽然出现了以渐开线、圆
弧、摆线等为共辄轮廓的常规构造方法，提出了为提 高径向密封效果的宽顶构造方法和高形构造方法,
以及构建了反映轻量化效果的容积利用系数、反映
脉动品质的流量脉动系数的计算方法；但多为 针对具体共辄轮廓类型下的“刚性”构造方法，局限
收稿日期:2020-06-08
基金项目：宿迁市“千名领才集聚计划”项目（2019JJ090）；宿迁市科技计划项目（白然科学基金）（K201924）；ft 迁学院髙层次人才资助项 目（201805）；宿迁学院校级重点项目（2016KY09）；宿迁学院创新团队项目（2021M07）* 联系人:E-mail : leo-world@ 163. com
第3期李玉龙等：罗茨转子轮廓的柔性构造及其性能参数的简约公式269
性大，通用性差，构造效率低。鉴于此，旨在通过一种适用于任意共辄轮廓的柔性构造方法，以期实现罗茨泵/风机转子在轮廓构造及其性能表达方面的通用性和高效率。
1转子轮廓的柔性构造
由于用主、从转子完全相同，所以彼此的半叶轮廓均由节圆外侧柔性的过渡轮廓12与共觇轮廓23，节圆内侧柔性的共觇轮廓34与过渡轮廓45，共首尾相连的4部分组成，如图1所示。
其中，称点2、4为节圆外、内共辄轮廓的起点，。为转子中心，1、5为位于顶、谷对称轴10,50上的轮廓顶轴点、谷轴点，3为轮廓与节圆的交点即节点，点6、7为节圆与10.50的交点,26为23的起始法向线段。
Fig.1Rotor profile constructed in the flexible algorithm
其中,34,45由配对转子上的23J2通过彼此间的共觇关系、避让关系确定[7J01o为此，转子轮廓的“柔性”构造体现为12.23的构造“柔性”，即,23为诸如渐开线、圆弧、摆线、直线、抛物线等“任意类型”的共辄轮廓；12为“任意组合”的过渡轮廓。
2转子轮廓的柔性构造
由于用主、从转子完全相同，所以彼此的半叶轮廓均由节圆外侧柔性的过渡轮廓12与共觇轮廓23，节圆内侧柔性的共辄轮廓34与过渡轮廓45，共首尾相连的4部分组成，如图1所示。
其中，称点2、4为节圆外、内共辄轮廓的起点，0为转子中心，1、5为位于顶、谷对称轴1。、5。上的轮廓顶轴点、谷轴点，3为轮廓与节圆的交点即节点，点6、7为节圆与1。、5。的交点,26为23的起始法向线段。
其中,34.45由配对转子上的23J2通过彼此间的共辄关系〔何、避让关系⑺确定。为此，转子轮廓的“柔性”构造体现为12,23的构造“柔性”。即，23为诸如渐开线、圆弧、摆线、直线、抛物线等“任意类型”的共辄轮廓；12为“任意组合”的过渡轮廓。
off duty3过渡轮廓的柔性规律
虽然过渡轮廓12之间可采用任意的连接方式，但为了充分控制转子顶部的径向泄漏，径向等间隙的缝隙构造最为常见。
设点8为与顶轴点1同圆心。、同半径八的另一顶点，简称为顶点，过渡轮廓45上与之对应的点为9。则过渡轮廓95也是圆心为0、半径为2r-r，的圆弧，其中,r为节圆半径。s=r,/r为柔性转子的形状系数，称之为柔性形状系数。过渡轮廓82之间一般采用两过渡圆弧段，且由彼此相外切、过点8、过点2、外
切点2、同半径的几何约束确定；与12对应的过渡轮廓45则为同心圆弧95和顶点8的避让轮廓49构成的组合轮廓。
设半叶顶角乙108=。，23的起始法向角为厶162=a,26的起始法向长度为几，Z4O5=t, Z103=Z.5O3=9=0.5tt/N,N为转子叶数，则，%=1+p a/r为普通转子的形状系数，称之为基础形状系数，单位节圆半径下，过渡轮廓12由%、£q、N 所确定。
其中，点2直接受制于说和控制着点4的位置，称之为柔性构造的“主控点”；点8受cr和点4的位置所控制，直接决定了6称之为“次控点”。
随着。的增加，过渡轮廓12先后经历图1所示I、n、ID的三种型式。设6=04长度/r，则
云+4-员云+4-鬲cr u二丁+acos--------------------acos-------；----------
仙牡、⑴
(£o-1)sinacern
^=atan1+(^_1)cosa
其中,0Ver Vb[|时,£〉£o，达到了高形构造和降低径向泄漏的双重目的；Si<a<61时，£<；旳，虽然没有达到高形构造目的，但也有效抑制了径向泄漏
。
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第41卷
由此可见,11、川、普通转子的轮廓型式IV 分别
为 £ =£o & cr =cr a ,cr =a m 、£ =e （； & a =0 下的三种
特殊情况。
4共辘轮廓的构造方程
在柔性轮廓中.过渡轮廓是依附于共辄轮廓的，
因此共辄轮廓23、34的柔性构造最为重要。
在图2所示的XOY 坐标系下，设n 为共觇轮廓
23上的任一点，对应的瞬心为p,34上与n 对应的
点为n'o
这样，当点n 由起始位置2向节点3移动时，瞬 心p 则由点6沿节圆以0角滚向节点3
设“在xoy 坐标系中的坐标为（x,y ），对应的法向 角为旳和法向长度为几。则，共辘轮廓23的构造
方程为
sin 。
蚂蟥钉
COS0
sin%
COSQtg
(2)
-1 - x 色
设n'在•¥（"坐标系中的坐标为（x',y'）°贝I]，共觇 轮廓34的构造方程为'°sin (卩-0)
'—(e)'r
'-cos( (p - 26) _sin@_20).~ X ~
r 匚⑻1- r 」
.+sin@-20) -cos (¢20)
interact
2L -r -
由式（2）、式（3）知，共辄轮廓构造方程的确定, 取决于P ”和％的确定，而几和旳可直接由23的轮
廓类型来确定。例如为渐开线和摆线时，分别为
和
牛(&)叩诗)x(»I)
£(、— 1勺(& )二 & + asin ----------
申
牛(0) =(£()_]) x cos( NO)
a e (0) = (TV + 1) x 0
(4)
(5)
5主控位置的柔性确定
主控点2的位置由a 和几直接决定，而a 和pa
又完全由选定的共觇轮廓类型、％、N 所确定。贝g, 在图2所示的xoy 直角坐标系下，由式（2）得共辄 轮廓23的函数表达式和一阶导数为分别为
Fig.2 Conjugate profile constnacted in the flexiblemissyou什么意思
algorithm
y=/[x，局（£o ），他（％）]
fl v , （6
J =
人（£o ），他（$o ）1
式中，仇、他为关于％的两个待定系数E ：。
由共辄轮廓23过点2、3和起始法向角为a 的
perch72 =/（牝，仆，他）~f （p a sin a,k] ,k 2） =r+p a cos a y 3 =/（巧，叽，爲）=f （r sin （p,k } ,k 2） =r cos tp
甘（％2』2，林，他）=-tan a
（7）
的三等式方程组，唯一求得
人-k l （s 0,N'）-
=他（£（显），
（8）
a =a （£o ,N ）式中，％2、『2和巧、九表示点2、3在XOY 坐标系下的 横坐标和纵坐标。
基于主、从转子完全相同和主转子上23与从转
子上34存在的共辄关系，由34上不出现角点几何
干涉所要求的全程曲率半径M0，可得岀£。（川）的取
值上限"，及其相应的%*（&0冲,“）。
6次控位置及避让轮廓
在图3所示主、从转子的共觇过程中，0、。'为 对应的中心，要使主、从转子能正确共辄，那么从转 子上的点8应能完全避让主转子上的点4，则，次控
第3期李玉龙等：罗茨转子轮廓的柔性构造及其性能参数的简约公式271
点的位置和对应的形状系数£，可由该两点重合时
的几何关系确定。其中,0为主、从转子对应的相同
旋转角"
由图1三角形4074几何关系上
=a/(£()-1)2+1-2(£<>-1)cosa
,.,..(-1)xsina
)=asm---------------------------
(9)
和图3三角形上
e(e0,a,N)=“'4+云-4%cos(t+0)
e(s0,a,N)=s x x sin(t+/3)
sin(a+/3)
(10)
的数值计算，得£(£°,b,N)和0(坯,b,N)。
同时，由式(10)两等式的进一步推导，得式(1)中(rg,N)所示的计算公式。
在图3所示的XOY坐标系中，如从转子以图3为起始位置，逆时针共轨旋转u角后，顶点8的坐标设为(x s,y8)，其终止位置时顶点8位于中心线00'上，则，由
v(/)=(/3+cr)xt-a
%8(t)/r=2-s x cos(v+a)
y s(t)/r-s x sin(v+cr)
(ID
其中,t为1~0的变量,r=l表示图3所示的起始位置,t=0表示顶点8位于00'上的终止位置。
得避让轮廓94在图2所示xoy坐标系中的构造方程(％94』94)为
x94(t)-x s x sin(2®+u)-y8x cos(2<p+u)]
了94(/)x sin(2^>+v)+x g x cos(2<p+v)J
(12)correlation
determined in the flexible algorithm
7转子性能的简约公式
由此，主要决定泵轻量化性能的容积利用系数入，经进一步推导后为⑻式中，C*为共轨轮廓23的类型系数。
由主要决定介质流动性能的流量脉动系数5的定义，经进一步推导后为
式中,g为入剔除泄漏后的有效系数，一般为0.8~ 0.9。
以渐开线共辄轮廓为例，此时轮廓23,34为一条完整的渐开线段。则
J.618(N=2)
%喰=1・464(N=3)(15)
.1.366(N=4)
例取N=3,e0=1.45<max=1.464,cr=6.5°0此时，由式(1)，计算得6=9.12°,o-m=17.45°，知& >=1.45□
由式(10)，计算得£= 1.5；由式(16)，得C*= 0.0675：由式(13)，得人=0.524；由式(14)，得$= 0.190~0.2140
另外在式(13)中，0=0.0675的考虑与否，对A造成的误差仅为5.4%。即C*对入和6的影响不大。
针对不同类型下的不同％的C*大量计算，知统一采用C*=0.05的容积利用系数A的简约误差< 3%。则
./x. 1.05*\(坯_1)2
入(£)=18(e o,s)=―下、
s x(e-1.05)
(17)式中，当为普通转子时,£
8结论
(1)转子的柔性轮廓由节圆外任意型式的过渡轮廓与任意类型的共辄轮廓，以及节圆内与之对应的共辄轮廓与过渡轮廓共4部分组成。
(2)任意类型共辄轮廓的起点位置由给定的基础形状系数所控制，而其取值上限由节圆内共轨轮廓上不出现角点干涉的儿何条件所确定。
(3)任意型式过渡轮廓的顶点为柔性形状系数
272真空科学与技术学报第41卷
所控制，而柔性形状系数则由顶点恰好避让配对转子节圆内共轨轮廓起点的几何关系所确定，为基础形状系数、半叶顶角和叶数的从属变量。
(4)容积利用系数和流量脉动系数仅与转子节圆外共辄轮廓的类型及基础形状系数、柔性形状系数有关。其中，共辄轮廓类型的影响较小，类型系数统一采用0.05的容积利用系数简约误差小于3%。
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