约翰库缇斯
九年级上册数学圆⼏何综合单元测试卷（含答案解析）
九年级上册数学圆⼏何综合单元测试卷（含答案解析）
⼀、初三数学圆易错题压轴题（难）
1．如图，在直⾓体系中，直线AB 交x 轴于点A(5,0)，交y 轴于点B,AO 是⊙M 的直径，其半圆交AB 于点C，且AC=3.取BO 的中点D，连接CD 、MD 和OC ．（1）求证：CD 是⊙M 的切线；
（2）⼆次函数的图象经过点D 、M 、A，其对称轴上有⼀动点P，连接PD 、PM，求△PDM 的周长最⼩时点P 的坐标；
淘宝新手如何做推广（3）在（2）的条件下，当△PDM 的周长最⼩时，抛物线上是否存在点Q ，使S △PDM =6S △QAM ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（1）证明：连接CM ，
∵OA 为⊙M 直径，∴∠OCA=90°．∴∠OCB=90°．∵D 为OB 中点，∴DC=DO ．∴∠DCO=∠DOC ．∵MO=MC
，∴∠MCO=∠MOC ．∴
．
⼜∵点C 在⊙M 上，∴DC 是⊙M 的切线．（2）∵A 点坐标（5，0），AC=3 ∴在Rt △ACO 中，．
riko
∴545(x )x 5)12152-
=--（，∴，解得10
OD 3
=
．⼜∵D 为OB 中点，∴
1552
4
+∴D 点坐标为（0，154)．
连接AD ，设直线AD 的解析式为y=kx+b ，则有
解得．
∴直线AD 为
．
∵⼆次函数的图象过M （5
6
，0)、A(5，0)，∴抛物线对称轴x=
154
．∵点M 、A 关于直线x=154对称，设直线AD 与直线x=15
4
交于点P ，∴PD+PM 为最⼩．
⼜∵DM 为定长，∴满⾜条件的点P 为直线AD 与直线x=15
4
的交点．当x=
15
飞速上升
4时，45y (x )x 5)152
=
--（．∴P 点的坐标为（15
4，56
）．（3）存在．∵
，5
y a(x )x 5)2
=--（
⼜由（2）知D （0，154)，P （15 4，56
），∴由
，得
，解得y Q =±
simsim
103
．
∵⼆次函数的图像过M(0，5
6
)、A(5，0），∴设⼆次函数解析式为，⼜∵该图象过点D （0，15
少年派奇幻漂流下载4
)，∴，解得a=
512
．∴⼆次函数解析式为
．
⼜∵Q 点在抛物线上，且y Q =±103
．∴当y Q =103
时，，解得x=
1552-或x=1552
+；
当y Q =5
12
-
everyday
时，，解得x=
15
4
．
∴点Q 的坐标为（15524
-，103)，或（15524+，10
3)，或（154，512-）．
【解析】
试题分析：（1）连接CM ，可以得出CM=OM ，就有∠MOC=∠MCO ，由OA 为直径，就有∠ACO=9
0°，D 为OB 的中点，就有CD=OD ，∠DOC=∠DCO ，由∠DOC+∠MOC=90°就可以得出∠DCO+∠MCO=90°⽽得出结论．
（2）根据条件可以得出2222OC OA AC 534=-=-=和OC OB
tan OAC AC OA
∠=
=，从⽽求出OB 的值，根据D 是OB 的中点就可以求出D 的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式，求出对称轴，根据轴对称的性质连接AD 交对称轴于P ，先求出AD 的解析式就可以求出P 的坐标．（3）根据PDM DAM PAM S S S =-，求出Q 的纵坐标，求出⼆次函数解析
式即可求得横坐标．
2．如图，∠ABC=45°，△ADE 是等腰直⾓三⾓形，AE=AD ，顶点A 、D 分别在∠ABC 的两边BA 、BC 上滑动（不与点B 重合），△ADE 的外接圆交BC 于点F ，点D 在点F 的右侧，O 为圆⼼．
（1）求证：△ABD ≌△AFE
（2）若AB=42，82＜BE ≤413，求⊙O 的⾯积S 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析（2）16π＜S ≤40π
【解析】试题分析：（1）利⽤同弧所对的圆周⾓相等得出两组相等的⾓，再利⽤已知AE=AD ，得出三⾓形全等；（2）利⽤△ABD ≌△AFE ，和已知条件得出BF 的长，利⽤勾股定理和2＜BE 13EF,DF 的取值范围， 24
S DE π
=
，所以利⽤⼆次函
数的性质求出最值. 试题解析：（1）连接EF ，
∵△ADE 是等腰直⾓三⾓形，AE=AD ，∴∠EAD=90°，∠AED=∠ADE=45°，∵AE AE = ，∴∠ADE=∠AFE=45°，
∵∠ABD=45°，∴∠ABD=∠AFE ，
∵AF AF =，∴∠AEF=∠ADB ，∵AE=AD ，∴△ABD ≌△AFE ；（2）∵△ABD ≌△AFE ，∴BD=EF ，∠EAF=∠BAD ，
∴∠BAF=∠EAD=90°，∵42AB = ，∴BF=
42
cos cos45
AB ABF =∠=8，
设BD=x ，则EF=x ，DF=x ﹣8，∵BE 2
=EF 2
+BF 2
， 82＜BE ≤413 ，
∴128＜EF 2+82≤208，∴8＜EF ≤12，即8＜x ≤12，则()22284
4S DE x x π
π??==
+-?
=()2
482
x ππ-+，
∵
2
π
＞0，∴抛物线的开⼝向上，⼜∵对称轴为直线x=4，
∴当8＜x ≤12时，S 随x 的增⼤⽽增⼤，∴16π＜S ≤40π．
高中英语语法大全
点睛：本题的第⼀问解题关键是找到同弧所对的圆周⾓，第⼆问的解题关键是根据第⼀问的结论计算得出有关线段的长度，由于出现线段的取值范围，所以在这个问题中要考虑勾股定理的问题，还要考虑圆的⾯积问题，得出⼆次函数，利⽤⼆次函数的性质求出最值.
3．在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC ⊥AB 于点A ，AC=2，BD ⊥AB 于点B ，BD=6，以AB 为直径的半圆O 上有⼀动点P （不与A 、B 两点重合），连接PD 、PC ，我们把由五条线段AB 、BD 、DP 、PC 、CA 所组成的封闭图形ABDPC 叫做点P 的关联图形，如图1所⽰.
（1）如图2，当P 运动到半圆O 与y 轴的交点位置时，求点P 的关联图形的⾯积. （2）如图3，连接CD 、OC 、OD，判断
△OCD 的形状，并加以证明.
（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的⾯积最⼤，简要说明理由，并求⾯积的最⼤值.
【答案】（1）12；（2）判断△OCD是直⾓三⾓形，证明见解析；（3）连接OC，交半圆O于点P，这时点P的关联图形的⾯积最⼤，理由风解析，82
+
【解析】
试题分析：（1）判断出四边形AOPC是正⽅形，得到正⽅形的⾯积是4，根据BD⊥AB，
BD=6，求出梯形OPDB的⾯积=()(26)2
8
22
OP DB OB
+?+?
==，⼆者相加即为点P的
关联图形的⾯积是12．
（2）根据CF=DF=4，∠DCF=45°，求出∠OCD=90°，判断出△OCD是直⾓三⾓形．
（3）要使点P的关联图形的⾯积最⼤，就要使△PCD的⾯积最⼩，确定关联图形的最⼤⾯积是梯形ACDB的⾯积﹣△PCD的⾯
积，根据此思路，进⾏解答．
试题解析：（1）∵A（﹣2，0），∴OA=2，
∵P是半圆O上的点，P在y轴上，∴OP=2，∠AOP=90°，∴AC=2，∴四边形AOPC是正⽅形，
∴正⽅形的⾯积是4，
⼜∵BD⊥AB，BD=6，∴梯形OPDB的⾯积=()(26)2
8
22
OP DB OB
+?+?
==，
∴点P的关联图形的⾯积是12．
会议口译（2）判断△OCD是直⾓三⾓形．
证明：延长CP交BD于点F，则四边形ACFB为矩形，∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，∴△OCD是直⾓三⾓形．
（3）连接OC 交半圆O 于点P ，则点P 即为所确定的点的位置．
理由如下：连接CD ，梯形ACDB 的⾯积=()(26)4
1622
考研分数什么时候出来AC DB AB +?+?==为定值，
要使点P 的关联图形的⾯积最⼤，就要使△PCD 的⾯积最⼩，∵CD 为定长，∴P 到CD 的距离就要最⼩，连接OC ，设交半圆O 于点P ，
∵AC ⊥OA ，AC=OA ，∴∠AOC=45°，过C 作CF ⊥BD 于F ，则ACFB 为矩形，
∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴OC ⊥CD ，OC=22，
∴PC 在半圆外，设在半圆O 上的任意⼀点P′到CD 的距离为P′H ，则P′H+P′O ＞OH ＞OC ，∵OC=PC+OP ，∴P′H ＞PC ，∴当点P 运动到半圆O 与OC 的交点位置时，点P 的关联图形的⾯积最⼤．
∵CD=42，CP=222-，∴△PCD 的⾯积=
()(26)4
1622
AC DB AB +?+?==，
∴点P 的关联图形的最⼤⾯积是梯形ACDB 的⾯积﹣△PCD 的⾯积=16(842)842--=+．
考点：圆的综合题．
4．在直⾓坐标系中，⊙C 过原点O ，交x 轴于点A （2，0），交y 轴于点B （0，）．
（1）求圆⼼C 的坐标．
（2）抛物线y=ax2+bx+c过O，A两点，且顶点在正⽐例函数y=-的图象上，求抛物线的解析式．
（3）过圆⼼C作平⾏于x轴的直线DE，交⊙C于D，E两点，试判断D，E两点是否在（2）中的抛物线上．
