小波的几个术语及常见的小波基介绍
本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。
一、小波基选择标准
小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点：
1、支撑长度
小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。
这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。
2、对称性
具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。
3、消失矩
在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。
小波的消失矩的定义为，若
其中，Ψ(t)为基本小波，0<=p<N。则称小波函数具有N阶消失矩。从上式还可以得出，同任意n-1阶多项式正交。在频域内表示就是Ψ(ω)在ω=0处有高阶零点（一阶零点就是容许条件）。
4、正则性
在量化或者舍入小波系数时，为了减小重构误差对人眼的影响，我们必须尽量增大小波的光滑性或者连续可微性。因为人眼对“不规则”(irregular)误差比“平滑”误差更加敏感。换句话说，我们需要强加“正则性”(regularity)条件。也就是说正则性好的小波，能在信号或图像的重构中获得较好的平滑效果，减小量化或舍入误差的视觉影响。但在一般情况下，正则性好，支撑长度就长，计算时间也就越大。因此正则性和支撑长度上，我们也要有所权衡。
消失矩和正则性之间有很大关系，对很多重要的小波（比如，样条小波，Daubechies小波等）来说，随着消失矩的增加，小波的正则性变大，但是，并不能说随着小波消失矩
的增加，小波的正则性一定增加，有的反而变小。
5、相似性
选择和信号波形相似的小波，这对于压缩和消噪是有参考价值的。
二、常见的小波基
以下列出的15种小波基是Matlab中支持的15种。
小波函数 | Haar | Daubechies | Biorthogonal | Coiflets | Symlets | Morlet | Mexican Hat | Meyer |
小波缩写名 | haar | db | bior | coif | sym | morl | mexh | meyr |
表示形式 | haar | db N | biorNr.Nd | coif N | sym N | morl | mexh | meyr |
举例 | haar | db3 | bior2.4 | coif3 | sym2 | morl | mexh | meyr |
正交性 | 有 | 有 | 无 | 有 | 有 | 无 | 无 | 有 |
双正交性 | 有 | 有 | 有 | 有 | 有 | 无 | 无 | 有 |
紧支撑性 | 有 | 有 | 有 | 有 | 有 | 无 | 无 | 无 |
连续小波变换 | 可以 | 可以 | 英孚教育怎么样可以 | 可以 | 可以 | 可以 | 可以 | 可以 |
离散小波变换 | 可以 | 可以 | 可以 | 可以 | 可以 | 不可以 | 不可以 | 可以 但无FWT |
支撑长度 | 1 | 2N-1 | 重构:2Nr+1 分解:2Nd+1 | 6N-1 | 2N-1 | 有限长度 | 有限长度 | 有限长度 |
滤波器长度 | 2 | 2N | Max(2Nr, 2Nbreak upd)+2 | 6N | 2N | [-4, 4] | [-5, 5] | [-8, 8] 达芬奇的恶魔好看吗 |
对称性 | 对称 | 近似对称 | 不对称 | 近似对称 | 近似对称 | 对称 | 对称 | 对称 |
小波函数 消失矩阶数 | 1 | N | Nr-1 | 2N | N | - | - | - |
尺度函数 消失矩阶数 | usbcable- | - | | 2N-1 | - | - | - | - |
| | | | | | | | |
小波函数 | Gaus | Dmeyer | ReverBior | Cgau | Cmor 碟中谍4幽灵协议电影 | Fbsp | Shan | |
小波缩写名 | gaus | dmey | rbioNr.Nd | cgau | cmor | fbsp | shan | |
表示形式 | gaus N | dmey | rbioNr.Nd | cgau N | cmor | fbsp | shan | |
英语培训课件举例 | gaus3 | dmey | rbio2.4 | cgau3 | cmor | fbsp | shan | |
紧支撑正交性 | 无 | 无 | 无 | 无 | 无 | 无 | 无 | |
紧支撑双正交性 | 无 | 无 | 有 | 无 | 无一般将来时讲解 | 无 | 无 | |
连续小波变换 | 可以 | 不可以 | 可以 | 不可以 | 不可以 | 不可以 | 不可以 | |
离散小波变换 | 不可以 | 可以 | 可以 | 不可以 | 不可以 | 不可以 | 不可以 | |
对称性 | 对称 | 对称 | 对称 | 对称 | 对称 | 对称 | 对称 | |
小波函数 消失矩阶数 | - | - | - | - | - | - | - | |
尺度函数 消失矩阶数 | - | - | Nr-1 | - | - | - | - | - |
| | | | | | | | |
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1、Haar小波
Haar，一般音译为“哈尔”。
Haar函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简单的一个小波函数，它是支撑域在t∈[0,1]范围内的单个矩形波。
Haar小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。
在Matlab中输入命令waveinfo('haar')可得到如下信息：
General characteristics: Compactlysupported
wavelet, the oldest and the simplestwavelet.
scaling function phi = 1 on [0 1] and 0otherwi.
wavelet function psi = 1 on [0 0.5], = -1on [0.5 1] and 0 otherwi.
Family Haar
Short name haar
Examples haar is the same as db1
Orthogonal yes
Biorthogonal yes
Compact support yes
DWT possible
CWT possible
Support width 1
Filters length 2
Regularity haar is not continuous
平均相对误差 Symmetry yes
Number of vanishing
moments for psi 1
2、Daubechies(dbN)小波(紧支集正交小波)
Daubechies，一般音译为agricultural“多贝西”。
Daubechies小波是由世界著明的小波分析学者Ingrid Daubechies(一般音译为英格丽·多贝西)构造的小波函数，我们一般简写成dbN，N是小波的阶数。小波函数Ψ(t)和尺度函数φ(t)中的支撑区为2N-1，Ψ(t)的消失矩为N。dbN小波具有较好的正则性，即该小波作为
稀疏基所引入的光滑误差不容易被察觉，使得信号重构过程比较光滑。dbN小波的特点是随着阶次（序列N）的增大消失矩阶数越大，其中消失矩越高光滑性就越好，频域的局部化能力就越强，频带的划分效果越好，但是会使时域紧支撑性减弱，同时计算量大大增加，实时性变差。另外，除N=1外，dbN小波不具有对称性（即非线性相位），即在对信号进行分析和重构时会产生一定的相位失真。dbN没有明确的表达式（除了N=1外，N=1时即为Haar小波）。
在Matlab中输入命令waveinfo('db')可得到如下信息：
