自适应控制
作业三：自适应调节器（
STR ）
姓名：
学号：
Tasks ：
1.Derive minimum variance controller for process ()
()()k
Ay t z Bu t Ce t . Furthermore, a
process is described by the following equation:
1
2
2
3
1
1.90.90.5k
k
k
k
k
k k
y y y u u e e a) Find the minimum variance controller for the process. Determine the minimum variance of this process;
此单入单出系统的受控自回归滑动平均模型为：Ay()
()()
k t z Bu t Ce t 这里k 表示延迟，因此若两边同时乘以k
z
，
这样模型就可以写为：
k
1-k ()[()()()](-k [()()](-k [()()]([()()]([
()()](Ay()
()()
)
)
)
)
)
k
AF BF
B G BG y t k u t y t z u t Fe t k A
C AC
B G G z u t y t Fe t k A
C C B C z G G
u t y t Fe t k A C C B G
u t y t Fe t
k A C C G
u t y t Fe t
k C
C
z t Bu t z Ce t 改写为：
()()()Ay t k Bu t Ce t k ，即
()
()()
A
B C y t k u t e t
k A
这里可将
A
C 写成：1
2
(1)
C
z z z
因此扰动的形式为
()1(1)(2)...(1)(1)...
121C e t k a e t k a e t
k
a e t a e t k k
A
令
k
G C AF
z ，那么
k
G F
A
A
C
z
其中F,G 都是
k
z
的多项式，分别将其写成多项式的形式为：
(1)
121
...1
21
<0121max 1,k F
f z f z f z k n
g G g g z g z g z
k n n n k g a c 那么
()()()[
]()
B G u t e t A
A y t k Fe t
k 由原模型可知
()
()()
k
A B y t u t C
C
e t z
代入上式可得：
-k ()[()
()()](B G BG y t
k u t y t z u t Fe t k
A C AC
1-k [()()](-k [()()]([()()]([()()]())
))AF BF B G G
z u t y t Fe t k A C
C
B C z G G u t y t Fe t
k A C C
B G u t y t Fe t k A
C C G u t y t Fe t k C C
最小化评价函数：
2
2
2
2
2221
2
1
[[()][(|)()](|(1)]
...)
k e
J E y t k E y t k t Fe t k y t
f
k t E f
f 显然当()y t k 为零的时候J 才能达到最小值。即
(|)
[()()]0BF G y t
k t u t y t C
C
，由此可以推
出
()
()0,()
()
BFu t Gy t G or u t y t BF
因此输出地最小方差为
22221
2
1
(1...)
min
k e
J f
f
f
闭环特征根即为：k
G
C AF
z 控制信号为:()
()
G u t y t BF
对于过程：
1.90.90.512
2
31
y
y y u
u
e
e
k k k k k k
k 提炼出A,B,C,k,
写成
Ay()
()()
k t z Bu t Ce t 那么1
1
2
11
11
0.9,
()1,
()10.5,
2
()1 1.9B C k A z z z z z z z 此时：
k
G C
AF
z 即
1
1
2
1
2
1
10
1()(10.511
)
(90.9)
1.f z g z z z z z g 101
1.76,11.26
.4,g f g
11
1
1.76 1.26()
()
()
(1)(1 1.4)
G z
u t y t y t BF
z z 那么其闭环的方程式就为：
222
21
()() 1.4(1)[11[1
]
]
.4min
e
e
y t e t e t J f b) Simulate the process using the MVC obtained in a). Compare it with open-loop control.
Matlab 仿真图为：
1、输入信号和干扰信号
010203040
5060708090100
-2.5
-
2-1.5-1-0.500.511.52
2.5时间——ｔ
输
入信号——u ，干扰信号——e 方波输入信号干扰信号
2）无噪音时开环控制与
MVC 法控制下的系统输出
020406080
100120140160180200
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
时间——ｔ
输
出信号
无噪音时，开环控制与MVC 法控制下的系统输出状态
2）无噪音时开环控制与
MVC 法控制下的系统输出
0102030405060708090100
-5
5
10
1520
25
30
35
40
时间——ｔ
输
出信号有高斯噪音下，开环控制与MVC 法控制的比较
开环控制下输出MVC 法控制下的输出
结论：
1对于此系统，不加入噪音时，开环控制是稳定的，振荡的幅度较小，而MVC 法振荡的幅度较大。
2、很显然，开环控制不能有效地抑制扰动给系统带来的误差，而
MVC 法能够有效地抑制扰动，使
得在扰动较大（扰动比输入的幅值大）的情况下，输出也能够稳定在一定的界内。
2、
Consider the process
1()
)
(s G s
a s where a is an unknown parameter. Assume the desired clod-loop system is :
2
2
2
()
2G s s
s
Construct:
a)discrete-time indirect STR algorithm;①理论分析部分
离散模型的间接自校正调节器：对于一个单入单出的过程：
A(p)y(t)=B(p)u(t)+C(p)e(t)，其中e(t)为高斯噪音。
构造自校正调节器的最直观的途径是估计多项式A,B,C 的参数，然后再把这些参数估计用于调节器
的设计。
首先考虑确定性情况即
e(t)=0的情况，为了估计多项式
A,B,C 的系统，可用前面所学的最小二乘估
计法。此时，如果加入的输入信号是充分激励的，估计模型的结构又是比较适合的话，那么当闭环系统稳定时，这些估计都应当收敛于他们的真值（详见最小二乘估计的收敛性，其他估计方法也可，只是各种方法的收敛条件不一样。）
若过程的模型是：
A(p)y(t)=B(p)u(t)+C(p)e(t)
我们期望的闭环响应特性为：A (p)y m m c (t)=B (p)u (t)
控制器为：
()()()
c
t S q y t R(q)u(t)=T(q)u
其中：
1R 和S 是Diophantine 方程1
m B S
AA AR 的解，且
'
'01
m m m B
B B B B B T A B R
B R 那么离散系统的间接自校正调节器的设计步骤就是：数据：已知有希望闭环脉冲传递算子Bm/Am 给定的性能规范，以及希望的观测器多项式
Ao 。
第一步：用最小二乘法或其他方法估计出多项式
A,B,C 的系数
第二步：用一估计出的A ，B ，C 求解出R 1和S ，再计算出R,T
第三步：计算控制信号在每个采样周期内重复上述步骤
②对于此模型的设计部分：（具体设计过程见e 部分）
1.假设受控传递函数中
a=1，若采样周期为
0.5s ，那么可以知道其相应的脉冲传递算子为
01
2
12()()
()
b q b B q H q A q q
a q
a ，
这里a1=-1.6065，a2=0.6065.可见其阻尼系数比较差，需要选择一个
