结构随机振动疲劳寿命估算的样本法_王明珠
产试验表明，优化辊型很⼤程度上改善了冷轧来料带钢断⾯形状，显著降低了钢卷局部突起缺陷率，且保证了产品的板形质量，不仅给企业创造了巨⼤的经济效益,⽽且辊型本⾝也是⼀种⽐较实⽤的技术，具有进⼀步的推⼴应⽤价值。
参考⽂献:
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(编辑 袁兴玲)
作者简介：于 斌，男,1978年⽣。燕⼭⼤学机械⼯程学院博⼠研究⽣。主要研究⽅向为机械设计及理
论，带钢板形控制。发表论⽂5篇。岳晓丽,⼥,1968年⽣。燕⼭⼤学机械⼯程学院副教授。佘⼴夫，男,1964年⽣。攀枝花钢铁公司热轧⼚⼚长。杨秀亮，男,1970年⽣。攀枝花钢铁公司技术质量处处长助理。连家创，男,1933年⽣。燕⼭⼤学机械⼯程学院教授、博⼠研究⽣导师。刘宏民，男,1959年⽣。燕⼭⼤学校长、教授、博⼠研究⽣导师。
结构随机振动疲劳寿命估算的样本法
王明珠姚卫星孙 伟
南京航空航天⼤学，南京,210016
摘要：提出了⼀种结构随机振动疲劳寿命估算的样本法，通过该样本法能够处理在频域内⽤谱密度描述的宽带随机振动载荷的情况。利⽤该样本法,⾸先将频域内的随机振动载荷信号通过抽样使其转换为时域信号；然后⽤有限元法计算结构危险点的应⼒谱，再采⽤变程法过滤掉⼩载荷⽽获得危险点的应⼒谱；最后⽤传统的疲劳寿命估算⽅法进⾏寿命估算，获得危险点疲劳寿命的均值和⽅差。算例结果表明，采⽤样本法获得的预测结果与试验值吻合得很好。
关键词：振动疲劳；寿命估算；随机载荷；功率谱密度
中图分类号:V215.5;V215.4 ⽂章编号:1004—132X(2008)08—0972—04
Sample Approach for Fatigue Life Prediction of Structures under Random Vibration
Wang Mingzhu Yao Weixing S un Wei
Nanjing Unive rsity o f Aeronautics and Astronautics,Nanjing,210016
A bstract:A sam ple approach w as propod herein,w hich w as fo r fatig ue life prediction.The ap-proach can estimate the lifetime o f structures under broad band random vibra tion loading in the fre-quency do main described by pow er spectral density.Firstly,rando m vibration loading in the frequency dom ain w as converted to the repeated loading in the time dom ain.Seco ndly,the stress-time histo ry at the damage location of the structure w as obtained by FEM analy sis and the stress spectrum o f random vibration w as fo rmed by range counting metho d.Co nquently,the structural fatig ue life is estimated by the traditio nal method.Its expectation and variance at damage location is gained.A n example w as em ploy ed to dem onstrate the suitability of the approach.The predicted results show a g ood ag reem ent with the experim ental data.
Key words:vibration fatig ue;life predictio n;rando m loading;pow er spectral density
0 引⾔
振动疲劳破坏现象在飞机结构和⼯程机械中常见。结构振动疲劳是指结构所受动态交变载荷
收稿⽇期:2007—03—26
基⾦项⽬：国家⾃然科学基⾦资助项⽬(10377007)(如振动、冲击、噪声载荷等)的频率分布与结构固有频率分布具有交集或相接近，从⽽使结构产⽣共振所导致的疲劳破坏现象，也可以直接说成是结构受到重复载荷作⽤激起结构共振所导致的疲劳破坏[1]。⽬前，结构的振动疲劳特别是随机振
·
972·
动疲劳的寿命估算问题还没有得到很好解决。从疲劳破坏机理上讲，振动疲劳与⼀般疲劳并没有本质的区别，但是在寿命估算⽅法上有很⼤的不同。传统的疲劳寿命估算⽅法解决了⽤时域描述的载荷环境问题，先得到结构危险点的应⼒/应变-时间历程，然后根据疲劳累积损伤理论进⾏疲
劳寿命估算[2-4]
。随机振动载荷随时间变化的规律是预先⽆法确定的，在时域内很难进⾏准确的描述，通常是在频域内⽤功率谱密度来描述，从频率⾓度描述载荷的统计规律。传统疲劳寿命估算⽅法不能处理这种随机振动载荷下的结构疲劳问题。
⽬前已经有了⼀些结构振动疲劳寿命估算⽅法。张积亭等[5]
提出了⼀种随机振动疲劳寿命预计的简便数据处理⽅法，该⽅法将随机响应功率谱密度求出的特征频率作为平均频率进⾏数据处理。安刚等
[6]
根据⾃相关函数的极限性获得结构
响应应⼒的统计特性，然后进⾏疲劳寿命分析。
吴启鹤等[7]、Robsin [8]根据Robso n 给出的⽅法从随机载荷历程的功率谱密度(PSD )中求得载荷幅值的概率分布函数，然后应⽤累积损伤理论估算结构振动疲劳寿命。王长武等[9]对机载设备进⾏了随机振动疲劳寿命的仿真分析。
1结构振动疲劳寿命估算的样本法
随机振动载荷的数学模型就是随机过程，在
频域内可以⽤功率谱密度描述，在时域内需要⽤⽆穷组时间⽆限长的样本曲线描述。⽽各态历经
过程的任意⼀条样本曲线基本上包含了该随机过程所具有的所有统计特性。⼀般⼯程中，随机振动载荷都可以假设为各态历经过程，可以抽取任意⼀条样本曲线进⾏寿命估算，每⼀条样本曲线作为⼀个⼦样本,⾜够多⼦样本的寿命均值就等于结构的疲劳寿命。本⽂提出如图1所⽰的估算模型
。
图1样本法疲劳寿命估算模型
1.1危险点的应⼒功率谱
对应于随机振动功率谱密度的频率点f i 有
⼀个应⼒载荷幅值σ
ai ，此处的应⼒载荷可表达为σi =σai sin (ωi t +φi )
(1)
式中,ωi 为圆频率;φi 为初相位;t 为时间。
对应的位移、速度和加速度可表⽰为[10]
u (t )=a sin (ωi t +φi )
u ·
(t )=ωi a co s (ωi t +φi )u ¨(t )=-ω2
i a sin (ωi t +φi )
(2)
式中,a 为振幅。
其中，圆频率ω、频率f 和周期T 的关系为
ω=2πf =
2π
T
(3)
根据材料⼒学内容，对于线弹性结构上确定
的作⽤点和响应点来说，其响应点的应⼒响应与作⽤点的位移激励之间的⽐值H 是确定的，其值可以⽤有限元分析来确定。所以响应点的应⼒谱密度G (f )与作⽤点的位移谱密度G X (f )之间的关系可以⽤下式表⽰:
G (f )=H 2G X (f )
(4)
对于线弹性结构,H 值与材料和结构形式以及作⽤点和响应点的位置有关，对于⼀个确定的结构,H 值可近似为
H =
σ
A
(5)
式中,σ为响应点的应⼒;A 为作⽤点的位移。
根据随机振动理论[11]，导出过程的谱密度是原过程的ω2
倍。所以结构上某点的加速度谱密度G g (f )与位移谱密度G X (f )有如下关系:
G g (f )=ω4
G X (f )
(6)
联⽴式(4)和式(6)得
G (f )=
H 2
ω
4G g (f )(7)
1.2
应⼒⼦样本的提取
如图2所⽰，在频率上取n 个点,f 1,f 2,…,f n ，每个点对应⼀个应⼒谱密度值G (f i )，由式(3)和式(7)计算出对应的结构危险点应⼒谱密度值G (
f i )为
G (f i )=
H 2
16π4f 4i
G g (f i )
(8)
根据随机振动理论，平稳随机过程的均⽅值由谱密度对应于频域内曲线下的⾯积来确定[8]。由此得出该频率值下的结构危险点的平均应⼒幅
值σ
ai 为σai =f i G (f i )(9)
图2 功率谱下真实应⼒载荷样本抽取
·
973·
由式(1)、式(8)和式(9)得
σi =
H 2
16π4f 3i
G g (f i )sin (2πf i t +φi )
(10)
通常，初相位φi 服从在0～2π内的均匀分布。⼀个确定的频率值所对应的是⼀个简谐分
量，随机载荷相当于连续频率下的⽆限个简谐分量的叠加。在实践中我们只计算有限个简谐分量的和，如取n 个频率值下的简谐振动相叠加，得到的载荷相当于真实随机振动载荷的⼀个⼦样本的应⼒σj :σj =
∑n i =1
σi
=∑
n
i =1
H 2
16π4f 3i
G g (f i )sin (2πf i t +φi )
(11)
为了显⽰由简谐振动载荷(图3a )叠加得到随机振动载荷(图3b )的过程，取n =
5，如图3所
⽰。⼯程计算中的n 值取决于谱密度的频率范围和抽样频率，应该远⼤于5个。
(a )简谐振动应⼒载荷
(b )随机振动应⼒载荷
图3
由n 个简谐分量叠加得到的⼀个⼦样本(n =5)
1.3
样本载荷寿命估算
对如图3所⽰的⼦样本采⽤变程计数法进⾏
处理。将疲劳极限值作为门槛值，滤掉对于结构疲劳损伤影响很⼩的载荷循环，得到⼀个载荷累积频次谱，如图4所⽰。
根据图4所⽰样本，按照传统的疲劳寿命估算⽅法[2]
可以计算得到⼀个疲劳寿命。若取⽆限个⼦样本并计算出每个⼦样本的疲劳寿命，其均值就是真实的疲劳寿命
。⼯程实际中，只要取⾜够多的⼦样本，计算寿命就可以满⾜精度要求。对应于第j 个⼦样本可以得到⼀个疲劳寿命N j ,M 个⼦样本的疲劳寿命的均值和⽅差为图4经过计数处理的⼀个⼦样本 N = 1
M
∑M j =1
N
j S 2=
1
M -1
∑M
j =1
(
N -N j )2
(12)
2 算例与分析
算例为含椭圆孔板的振动疲劳问题
[6]
。板材
料为LY12-CZ ，预制的椭圆孔边与固⽀边相切,
椭圆孔短半轴为1.5mm ，长半径轴为2.
4mm ，配W
为0.25kg ,⼏何尺⼨和边界条件见图5，所加载的加速度功率谱密度见图6。
图5试验件平⾯图
图6加速度功率谱密度
⾸先对试验件进⾏模态分析，前四阶固有频率分别为9.89Hz 、63.19Hz 、97.71Hz 、212.85Hz ，随
机振动载荷的频率为8～200H z ，会引起结构共振，所以要采⽤振动疲劳寿命估算⽅法来计算。通过有限元分析可以确定危险部位在椭圆孔处，求出危险点的应⼒与加载点的位移之⽐,H =1.82MPa /mm 。LY12CZ 板材在应⼒集中系数K T =2.6时的疲劳极限值为65M Pa ,K T =2.6时应⼒与寿命的关系见表1。
·
974·
表1LY 12C Z 铝合⾦K T =2.6时应⼒与寿命的关系
寿命N (循环次数)1021031042×1044×104应⼒σ(M Pa )334253167150133寿命N (循环次数)1054×105
1063×106
107应⼒σ(M Pa )
120
90
83
70
65
表1所⽰数据的σ-N 曲线的拟合公式为
lg N =18.8294-6.6622lg σ
(13)
根据抽样定理[12]，如果抽样频率⼤于2倍最⾼频率值，抽样后的信号就包含原信号的全部信息。为了不遗漏关键频率对疲劳损伤的影响，取抽
样频率f s =1000Hz ，时间间隔Δt =1ms ，总时间t =60s ，经过多次的计算分析可以看出此时寿命估算结果已趋于稳定。共选取60个样本，对其疲劳寿命求平均值得到所求结构振动疲劳寿命。
由计算可以得到每个⼦样本的载荷谱。由于数据点太多,⽂中没有给出完整的载荷谱,⽽只给出其中⼀个样本前3s 的应⼒/时间历程，如图7所⽰。
图7样本前3s 载荷时间历程
对如图7所⽰的载荷谱，按照疲劳寿命估算的名义应⼒法
[2]
进⾏疲劳寿命估算。疲劳寿命估
算结果与试验值的⽐较见表2，可以看到计算结果与试验结果吻合很好。
表2
计算结果与试验值⽐较
试验结果
计算结果
