上课材料之三：
第二节散布函数(Distribution function)，数学期望(Expectation)
与方差(Variance)
本节要紧介绍概率及其散布函数，数学期望，方差等方面的基础知识。
一、概率(Probability)
一、概率概念(Definition of Probability)
在自然界和人类社会中有着两类不同的现象，一类是决定性现象，其特点是在必然条件必然会发生的现象；另一类是随机现象，其特点是在大体条件不变的情形下，观看到或实验的结果会不同。换句话说，就个别的实验或观看而言，它会时而显现这种结果，时而显现那样结果，呈现出一种偶然情形，这种现象称为随机现象。
随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现为大量实验中随机事件显现的频率的稳固性，即一个随机事件显现的频率常在某了固定的常数周围变更，这种规律
性咱们称之为统计规律性。
频率的稳固性说明随机事件发生可能性大小是随机事件本身固定的，不随人们意志而改变的一种客观属性，因此能够对它进行气宇。
关于一个随机事件A，用一个数P（A）来表示该事件发生的可能性大小，那个数P（A）就称为随机事件A的概率，因此，概率气宇了随机事件发生的可能性的大小。
关于随机现象，光明白它可能显现什么结果，价值不大，而指出各类结果显现的可能性的大小那么具有专门大的意义。有了概率的概念，就使咱们能对随机现象进行定量研究，由此成立了一个新的数学分支——概率论。
概率的概念
概念在事件域F上的一个集合函数P称为概率，若是它知足如下三个条件：
（i）P（A）≥0，对一切F
（ii）P（Ω）=1；
（iii）假设，i=1,2…，且两两互不相容，那么
性质（iii）称为可列可加性（conformable addition）或完全可加性。
推论1：对任何事件A有；
推论2：不可能事件的概率为0，即；
推论3：。
二、条件概率(Conditional Probability)
若是P（B）＞0，记，称P（A|B）为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。
转化后有：若是（P（A）＞0），称为概率的乘法原理。
推行后的乘法原理：
其中＞0。
3、全概率公式与贝叶斯（Bayes）公式
设事件A1，A2，…，An……是样本空间Ω的一个分割，即AiAj=φ，i≠j，而且：。
从而，那个地址AiB也两两互不相容。
则。
那个公式称为全概率公式。
由于
故
再利用全概率公式即得
那个公式称为贝叶斯公式。
贝叶斯公式在概率论和数理统计中有着多方面的应用，假定A1，A2，…是致使实验结果的
“缘故”，P（Ai）称为先验概率，它反映了各类“缘故”发生的可能性大小，一样是以往体会的总结，在这次实验前已经明白，此刻假设实验产生了事件B，那个信息将有助于探讨事件发生的“缘故”，条件概率P（Ai|B）称为后验概率，它反映了实验以后对各类“缘故”发生的可能性大小的新知识。
4、事件(Random event)独立性(Independence)
1）两个事件的独立性
概念 对事件A及B，假设
P（AB）=P（A）P（B）
那么称它们是统计独立的，简称独立的。
推论1 假设事件独立，且P（B）＞0，那么
P（A|B）=P（A）
[证明]由条件概率概念
因此，假设事件A，B彼此独立，由A关于B的条件概率等于无条件概率P（A），这表示B的发生关于事件A是不是发生没有提供任何消息，独立性确实是把这种关系从数学上加以严格概念。
推论2 假设事件A与B独立，那么以下各对事件也彼此独立：
[证明] 由于
因此与B彼此独立，由它立刻推出与彼此独立，由又推出A，彼此独立。
2）多个事件的独立性
概念 对n个事件A1，A2，…，An，假设关于所有可能的组合1≤i＜j＜…≤n成立着
那么称A1，A2，…An彼此独立。
那个地址第一行有个式子，第二行有个式子，等等，因此共应知足
个等式。
二、随机变量(Random Variable)和概率散布函数(Probability Distribution Function)
