第33卷第2期 人 工 晶 体 学 报 V ol.33 N o.2 2004年4月 JOURNA L OF SY NTHETIC CRY ST A LS April,2004
勾形磁场下提拉法生产单晶硅的数值模拟
宇慧平1，隋允康1，张峰翊2，王学锋2
(1.北京工业大学机电学院，北京100022;2.北京有色金属研究总院，北京100088)
摘要：本文给出了提拉单晶硅时，勾形磁场强度的计算公式，并对单晶硅在有无勾形磁场情况下熔体内流场和氧的浓度分布进行了数值模拟，计算出磁场作用下磁场强度和洛伦兹力及有无磁场时流函数、垂直截面处的速度场和氧的浓度分布。通过分析表明，勾形磁场能使流动更为平稳，能有效地降低熔体内及生长界面氧的浓度，并对产生这一现象的机理作了理论分析。
关键词：提拉法；勾形磁场；单晶硅
中图分类号:O78 文献标识码:A 文章编号:10002985X(2004)022******* Numerical Simulation in Czochralski Si Melt under a Cusp Magnetic Field
YU Hui2ping1,SUI Yun2kang1,ZH ANG Feng2yi2,WANG Xue2feng2
(1.C ollege of M echanical Engineering&Applying E lectronic T echnique,Beijing University of T echnology,Beijing100022,China;
2.G eneral Rearch Institute for N on ferrous M etals,Beijing100088,China)
(Received10September2003,accepted25December2003)
Abstract:The equations ud to calculate the cusp magnetic field strength in the crystal silicon growth were given.Numerical calculation was carried out to investigate the melt convection and oxygen transportation in a
C zochralski growth system with and without a cusp magnetic field.The cusp magnetic filed strength and Lorentz
force at a vertical cross ction were calculated and the stream function,velocity at a vertical cross ction, oxygen concentration were als o calculated.Numerical result shows that the melt flow is dramatically suppresd and the oxygen concentration at the growth interface decreas with the application of the cusp magnetic field.
The mechanism of the reductions of the convection and the concentration of oxygen was analyzed.
K ey w ords:C zochralski method;cusp magnetic field;crystal silicon
1 引 言
提拉法是工业上生产单晶硅的重要方法。通过实验测量出的熔体温度、流速可为相应物理机理的研究提供有价值的信息。然而，极少有实验室能够提供如此复杂的实验设备，而数值模拟能有效地为提拉晶体生长过程中的物理机理提供新的理念，本文对勾形磁场作用下单晶硅的生长进行了数值模拟。
由于熔体硅具有导电性，在磁场的作用下，熔体的流动必然引起感生电流，于是产生洛伦兹力，在洛伦兹力的作用下，熔体内的热对流得到抑制，晶体熔体界面处的氧、点缺陷及其它杂质也可得到控制[124]。因此，为了获得大尺寸、高质量的单晶硅，施加磁场是一个有效的方法。Ozoe及I wam oto[5]指出横向磁场强度增加时，氧浓度的分布变化很大。Series[6]指出在横向磁场下，轴向和水平的热对流被抑制，径向不受影响，并能收稿日期:2003209210；修订日期:2003212225
基金项目：北京工业大学青年科技基金(JQ010********)资助项目
作者简介：宇慧平(19732)，女，湖南省人，博士研究生。E2mail:yuhuiping@bjpu.edu
减少氧和杂质的含量，径向均匀性好。K akim oto[7]等指出在很强的垂直磁场作用下，可降低氧的浓度。Organ[8]等发现，在轴向磁场下，径向的热对流被抑制，轴向不受影响，氧的浓度轴向增加，并
且减少了径向电阻率的均匀性，在晶体边缘处旋转条纹增加。Series[6]和Hirata[9]独立地得出勾形磁场可减少氧的含量，并且具有径向均匀性。然而他们的研究主要是采用实验方法，包含了少量的理论分析，对于勾形磁场下，熔体的流动、氧的分布等方面仍有许多值得探讨的问题。本文给出数值方法，对施加与不施加勾形磁场时，熔体内流场和氧的浓度分布等进行了模拟，并在此基础上进行了理论研究。
2 控制方程和边界条件意在笔先的意思
熔体硅在勾形磁场下的结构示意如图1所示，圆柱形的坩埚半径为R c，内装高度为H的熔体，其角速度为Ωc，晶体与坩埚同轴，半径为R x(R x<R c)，角速度Ωx，旋转方向与坩埚相反，图中虚线为磁场分布示意。产生勾形磁场的上下螺旋线圈简化为上下两线圈，并以自由表面为对称面。H c为线圈到熔体表面的距离,R cl为线圈的半径。模拟中假定：熔体—晶体界面及自由表面为平面；不计熔体自由面的表面张力；晶体恒温T x；坩埚侧壁和底部的温度为T c；在熔体的自由表面，温度为T x—T c线性分布；坩埚侧壁和底部氧均匀分布；熔体为轴对称不可压缩的牛顿流体；外加磁场所产生的感应磁场很小，忽略不计[9]；熔体内的流动为层流[10]；浮升力满足Bousinesq假设。引入如下无量纲变量，上标“3”表示无量纲变量。
r3=r/R c,x3=x/R c,u3=ρR c u/μ,v3=ρR c v/μ,w3=ρR c w/μ,p3=ρR2c(p+ρR c gx)/μ2, T3=(T-T x)/(T c-T
x),C3=C/c0,b3=b/b0,j3=ρR c j/(σb0μ),Ψ3=ρΨ/(μb0),P r=v/a, Sc=v/D,Gr=ρ2βg(T c-T m)R3c/μ2,H a=σ/μb0R c,c0=3.99×1023exp(-2.0×104/T m)atoms/cm3[1]。
其中,Gr为葛拉晓夫数;Pr为普朗特数;Sc为施密特数;Ha为哈特曼数;r3、x3圆柱坐标的径向和轴向;u3、v3、w3为无量纲轴向、径向和切向速度;T3熔体无量纲温度;C3氧的无量纲浓度;p3无量纲压力; b3无量纲磁场强度;j3无量纲电流密度;Ψ3无量纲电势；取坩埚底部中心磁场的垂直分量b0为特征磁场强度。
ios刷机
2.1 控制方程
圆柱坐标系下无量纲通用控制方程见式(1)，具体含义见表1，其中<3为通用变量,Γ3为通用扩散系数,s3为通用源项。
5
5x3(u 3<3)+1
r3
5
5r3(r
3v3<3)=5
5x3Γ
35<3
5x3+
1
r3
5
5r3r
3Γ35<3
5r3+s3(1)
表1 无量纲控制方程中的系数及源项一样爱着你
T able1 Exch ange coefficients and sources in the dimensionless governing equ ations
<3Γ3s3
C ontinuity equation100
M omentum equations u31-
5p3
5x+GrT
3-Ha2j3
θb
3
r
v31-
5p3
5r3-
v3
r32
+
w32
r3
+Ha2j3θb3x
w31-
w3
r32
-
v3w3
r3
+Ha2(j3x b3r-j3r b3x)
Energy equation T31/P r0 Oxygen equation C31/S c0
电流连续性方程:
5
5x3(j 3
x
)+
1
山西名胜r3
5
5r3(r
3j3
r
)=0(2)
812人工晶体学报 第33卷
欧姆定理:
j3=(j3x j3r j3θ)T=-5Ψ3
5x3-w
3b3
r
,
-
5Ψ3
5r3+w
3b3
x
,u3b3r-v3b
3 x T
(3)
2.2 边界条件
2.2.1 速度边界条件
在晶体生长界面及熔体—坩埚界面满足非光滑边条件，边界条件分别为: u3=v3=0,w3=r3Re x;u3=v3=0,w3=r3Re c
在自由界面，马拉贡尼效应忽略不计,u3=5v3
5x3=
英语高级句型
5w3
5x3=0
在对称轴5u3
5r3=v
3=w3=0，其中Re
x
=
R2cΩx
v
,Re c=
R2cΩc
v
2.2.2 温度边界条件
假设坩埚底部绝热，故5T3
5x3=0；侧壁温度恒定为坩埚壁的特征温度T c,，故T
3=1；生长界面处的温度
恒定为熔点T m，故T3=0；自由表面温度满足线性关系T=T m+(T c-T m)
r-R x
R c-R x
，
故T3=r
3-β′
1-β′,
β′=R x
R c
；在对称轴
5T3
5r3=0。高压绝缘
2.2.3 氧的边界条件
在自由表面，绝大部分的氧以气体形式挥发出去，自由表面氧的浓度是内部浓度的万分数，因此假设在
自由表面氧的浓度为0；实验数据表明生长界面处差别不大，因此假定在生长界面处5C3
5x3=0；在中心轴处
5C3
5r3=0；在坩埚底部和侧面无量纲浓度为C 3=exp(2.0×104(1/T
m
-1/
T c))，由于小直径的晶体生长中坩埚壁与熔体熔点的温度差别不大，为简单起见假定C3=exp(2.0×
104(1/T m-1/T c))≈1.0。
3 勾形磁场强度的计算
在图1中，上下两个线圈内通以方向相反的电流I。由于这两个线圈与坩埚同轴，并且以生长界面为对称面，因此先分析推导一个线圈作用时，熔体内节点的磁场强度。
图1 硅熔体在勾形磁场下的结构
Fig.1 Sketch of the silicon melt under a cusp magnetic field
图2 节点的磁场强度计算
Fig.2 Calculation of the magnetic field strength of a node 假设熔体中任意节点1，见图2，其在半径为R cl，电流强度为I的圆形载流导线中的磁场强度计算如下。根据Biot2Savart法则，线圈上任意一点2对节点1产生的磁场强度为:
912
第2期 宇慧平等：勾形磁场下提拉法生产单晶硅的数值模拟
B=μ′I
4π∫
d I2×r12
r312
(4)
其中B：点1处的磁场;I：电流强度;μ′：导磁率;r12：点1到点2的向量,d I2：微小弧度,r12为向量r12的模。
1′为点1在X OY平面的投影,r1为向量O1在X OY平面的投影,Z1为点1的Z坐标,<；为O1′与OX的夹角,θ为O2与OX的夹角。点2的坐标为(R cl cosθ,R cl sinθ,0)，点1的坐标为(r1cos<,r1sin<,z1)，向量d l2为(-R cl sinθdθ,R cl cosθdθ,0),r12=(r1cos<-R cl cosθ,r1sin<-R cl sinθ,z1)。
d l2×r12=
i j k
-
R cl sinθdθR cl cosθdθ0
r1cos<-R cl cosθr1sin<-R cl sinθz1
(5)
得:
B x1=μ′I
4π∫
2π
R cl z1cosθ
r312
dθ,B y1=
μ′I
4π∫
2π
R cl z1sinθ
r312
dθ,
B z1=
μ′I
4π∫
2π
R cl[R cl-r1cos(θ-<)
r312
dθ(6)
将B x1,B y1，向r1,θ1方向投影(θ1与r1垂直)，有:
B r1=cos<B x1+sin<B y1,Bθ1=-sin<B x1+cos<B y1(7)将式(6)代入式(7)整理后得:
B r1=μ′I
4π∫
2π
R cl z1cos(θ-<)
r312
dθ,Bθ1=0,
B z1=μ′I
4π∫
2π
R cl[R cl-r1cos(θ-<)]
r312
dθ(8)
其中 r12=[r21+R2cl-2r1R cl cos(θ-<)+z21]1/2
由于任意节点1是在两电流方向相反的线圈中，如图1所示，两线圈之间的距离为2H c，节点到下线圈的距离为ZZ1，到上线圈的距离ZZ2=2Hc-ZZ1，根据式(8)，在两线圈共同作用下，熔体内节点1的磁场强度为:
B r=μ′I
4π∫
2π
R cl ZZ1cos(θ-<)
r21+R2cl-2r1R cl cos(θ-<)+ZZ21]3/2
+
R cl(2H c-ZZ1)cos(θ-<)
[r21+R2cl-2r1R cl cos(θ-<)+(2H c-ZZ1)2]3/2
dθ
B z=μ′I
4π∫
2π性知识科普
R cl[R cl-r1cos(θ-<)]
r21+R2cl-2r1R cl cos(θ-<)+ZZ21]3/2
-
R cl[R cl-r1cos(θ-<)]
[r21+R2cl-2r1R cl cos(θ-<)+(2H c-ZZ1)2]3/2
dθ
(9)
本文采用有限控制容积法对控制方程及电流连续性方程进行离散，网格采用交错网格，压力、电势和其他求解的标量，如温度等，位于主控制容积的中心，而将速度、电流置于主控制容积相应方向的界面上。电势的控制容积与压力的控制容积相同，电流分量分别与速度分量拥有相同的控制容积。交错网格及SI MP LE 算法可参见文献[10]。
4 计算结果
数值模拟中，熔体高度H=0.03m，坩埚半径R c=0.03m，晶体半径R x=0.012m，坩埚转速Ωc=-7 r/min，晶体转速Ωx=24r/min，热扩散系数α=2.6×10-5m2・s-1，热膨胀系数β=1.4×10-4K-1，比热C p= 1000J・kg-1・K-1，密度ρ=2.4×103kg・m-3，动力粘性系数μ=7×10-4kg・m-1・s-1，运动粘性系数ν=2.9×10-7m2・s-1，熔点T m=1683K，导热系数k=64W・m-1・K-1，氧分子扩散系数D=5×10-8m2・s-1，导磁率μ′=4π×10-7H/m，导电率σ=1.29×106Ω-1・m-1，无量纲数Pr=0.011,Gr=107,Re x
=7800,Re c=-2250,S c 022人工晶体学报 第33卷
=5.8，有勾形磁场时Ha =50，相应的磁场强度约为b 0=388Oe 。线圈的半径及到生长界面的距离分别为坩埚半径的3倍和1.25倍
。
图3 流函数图.(a )无磁场;(b )有磁场
Fig.3 C ontours of stream function (a )without
(b )with magnetic
field 图4 垂直截面处速度场图.(a )无磁场;(b )有磁场Fig.4 Velocity at a vertical cross ction (a )without (b )with magnetic
field
图5 生长界面氧的浓度图
Fig.5 Oxygen concentration at the growth inter
face 图6 垂直截面处的(a )磁场强度(b )洛伦兹力分布图Fig.6 Numerical results at a vertical cross ction
(a )magnetic field strength ;(b )Lorentz force
怎样蒸馒头无磁场作用时流函数见图3(a )。在图3(a )的左侧有一顺时针涡，这是由于壁面温度高，熔体在壁面受热，密度变小，在浮升力的作用下，沿着壁侧面上升，然后在自由表面处受冷，密度变大下沉至坩埚底部，为自然对流。在图3(a )晶体/熔体交界面的下方有一顺时针涡，这是由坩埚旋转产生离心力，在离心力的作用下，其流向与自然对流方向一致，为强迫对流，并且将自然对流抑制在坩埚侧壁附近。在这两涡之间还存在一个它们共同作用引起的方向相反的涡，而晶体旋转产生的涡仅仅占据界面轴心处极其小区域，几乎看不见。
勾形磁场作用下流动明显减弱，见图3(b )，流函数的最大值仅为13.01，最小值为-0.277。而没有磁场作用时流函数的最大值为83.28，最小值为-12.56，磁场对熔体流动的抑制作用相当明显。同时，由浮升力和坩埚旋转两者共同作用形成的涡消失了，并且从垂直截面的速度场图4(a )和4(b )的对比中同样可看出，在勾形磁场作用时自由界面下的流动明显减弱。
氧来源于石英坩埚的腐蚀，从坩埚底部和侧壁腐蚀出的氧通过熔体流动运输到固液界面，使单晶中氧的含量增大，影响单晶质量。通过图5可看出，在磁场下生长界面处，氧的浓度降低非常明显，并且
径向分布较均匀。这是由于熔体的流动对氧的浓度分布影响很大。无磁场作用时，自然对流被挤在坩埚侧壁附近，不能流到生长界面处，导致自由界面下方低浓度的氧区域不能通过强的流动到达生长界面，却存在从坩埚底部(高氧区)不经过自由表面(低氧区)而直接到达生长界面的氧的运输；而磁场作用时，尽管对流比较弱，但是
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