在图二中，设A点是滚动圆上的定点在出发时的位置。我们选取一个坐标系，使得A点为原点而且滚动圆在x轴上向右滚动。假设动圆滚动到某位置时，圆
心为O，O点至x轴的垂足为I，圆上的定点的位置为P(x,y)，以为始
边，为终边的有向角为t弧度，P点至直线OI的垂足为M。又设滚动圆的半径为a。
因为滚动圆上的定点已由A点移动到P点，而滚动圆与x轴的切点已由A点转
移到I点，所以，滚动圆上的弧PI滚过线段，亦即： = 弧PI的长 = at。于是，可得
上面的表示法就是摆线的参数方程式。请注意：当时，
；当时，。不过，与
两式却对所有t值都成立。我们甚至可让参数t代表任意实数，如此，摆线成为可向两边无限延伸的周期曲线。x坐标每经历一段长度为的区间，图形就恢复原状。摆线与底线相交的点都是尖点 (cusp)。
当参数t由 0 增至时，摆线就是图二中由A至C至B的部分，其中
，这一部分图形称为摆线的一拱 (arch)。同理，t由 2π至 4π、由 4π至 6π、……等所对应的图形也都是一拱。
仿照前面的方法，我们也可求次摆线的参数方程式。假设一定点与滚动圆的圆心的距离为d，底线是x轴，出发时定点的坐标为 (0,a-d)，其中d是滚动圆的
半径。当动圆滚到图二所示的位置时，定点的位置在上且与O点的距离为
d。由此可知其参数方程式为
习题：试根据上面参数方程式，说明长摆线 (d>a) 为什么会与本身相交而形成循环
在图二中，当圆向前滚动时，P点描绘出摆线，那么P点在直线OI上的垂足M 点会描绘出什么图形呢？1634年，Gilles Persone de Roberval（1602～1675年，法国人）考虑这条曲线，而利用它求出摆线的一拱与其底线间的面积。所以，后世将这条曲线称为 Roberval 曲线。图二中的虚线，就是 Roberval 曲线在摆线一拱内的部分，根据前一小节所讨论的结果，不难发现 Roberval 曲线的方程
成人职业教育式为。
在图二中，的中点是，而当时，Roberval 曲线上的
点对的对称点是。因为此对称点也在 Roberval 曲线上，所以，Robertval 曲线在A与C间的部分对于点
成对称。（图二中的M与N就是一对对称点。）由此可知：在以与
为邻边的矩形中，Roberval 曲线将此矩形分成面积相等的两个区域。更进
一步可得：Roberval 曲线与AB所围区域的面积，等于以与为邻边
的矩形面积的一半，此值等于。
其次，我们讨论摆线与 Roberval 曲线间的区域面积。此区域在C点的左、右两侧的面积显然相等，所以，我们只须讨论此区域左侧部分的面积。图二中以
为直径的半圆，乃是滚动圆在出发时的左半部分，直线PM被此半圆截出一
线段。因为两圆大小相等，而直线PM与两圆圆心等距离，所以， =
。因为每一条水平直线在两区域上所截出的线段都等长，所以，依据
Bonaventura Cavalieri（1598～1647年，意大利人）在1629年所提出的Cavalieri 原理，这两个区域的面积相等。因此，摆线与 Roberbval 曲线所围
的区域（左、右两部分）与滚动圆面积相等，此值等于。
综合前两段的结果，可知摆线的一拱与其底线间的面积，等于滚动圆面积的三倍，亦即：。
图二
附带一提：Cavalieri 所提的原理，中国数学家祖冲之在公元五世纪就已用来计算球体的体积。
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习题：试仿照本小节的方法，证明次摆线, 的一
拱与直线y=a-d所围区域的面积为：。
习题：试使用定积分计算上述所提的面积。
若曲线C的所有法线都是某一曲线E的切线，则曲线E称为曲线C的「渐屈线」(evolute)。要讨论曲线C的渐屈线，自然需要先讨论曲线C的法线，但因法线是切线的垂直线，所以，我们需要先讨论曲线C的切线。
摆线的切线如何求呢？我们知道当一动点P绕一固定点I旋转时，P点的轨迹
是一圆弧，此圆弧在P点的切线就是过P点而与垂直的直线。当一滚动圆
在一直在线作不滑的滚动时，我们没有一个可做为旋转中心的固定点，但是，在滚动过程中，滚动圆与底线在每个时刻都有一个切点，这个切点就是该时刻的瞬间旋转中心。若在某个时刻的瞬间旋转中心是I，而圆上某定点在此时刻已移动
到P点，则此定点所描绘的摆线在P点的切线，就是过P点而与垂直的
直线PJ，其中J是滚动圆过I的直径的另一端点，直线PI则是此摆线过P
点的法线。在直线上选取一点P'，使I点成为的中点。若P点的坐标是 ( )，则因为I点的坐标是 (as,0)，所以，P' 点
的坐标是 ( )。当P点描绘出摆线时，所有对应的P' 点描绘出什么图形呢？观察A与P' 的相关位置，不难发现它们的位置关系，
与摆在线的C点与参数是的Q点位置关系相同，因为C的坐标是
()，而Q点的坐标是 ( )。换言之，当P点描绘图三中的摆线弧APC时，对应的P' 点就会描绘出与摆线C
QB全等的弧AP'A。事实上，弧AP'A' 乃是将弧CQB平移而得的（左移单位、下移 2a
单位）。同理，当P点描绘出摆线弧CQB时，对应的P' 点就会描绘出弧A'Q'B，此弧乃是将摆线的下一拱的左半部分作同样平移而得的。因此，对整个摆线而言，当P点描绘出整个摆线时，对应的P' 点会描绘出一个全等的摆线。若前
者的参数方程式是,，则后者的参数方程式为
,，后者乃是将前者先向左平移单位，再向
下平移 2a单位而得的。我们将说明后者是前者的渐屈线。
因为P' 点的轨迹是一个全等的摆线，所以它必是当一个半径为a的圆在直线y=-2a上滚动时，由圆周上
某定点描绘而成的。因为P点与P' 点对I点对称，所以当两个滚动圆在I点相切时，上滚动圆通过P点而下滚动圆通过P' 点。此时，P' 点的瞬间旋转中心是直线P'I' 与直线y=-2a的交点I'。于是，直线P'I' 是第二个摆线在P' 点的法线，直线P'IP是第二摆线在P' 点的切线。由此可知：原摆线的每条法线PI都与第二摆线相切。换言之，第二摆线是原摆线的渐屈线。
摆线的弧长
曲线的渐屈线在弧长方面有一个重要性质，这个性质对摆线的讨论特别有用，我们先介绍这项性质。此性质的证明只需使用微积分的方法即可。戒指的戴法和意义女
设曲线E是曲线C的渐屈线，P与Q是曲线C上两点，曲线C过P、Q的
法线分别与渐屈线E相切于P'、Q'，则在渐屈线E上，弧P'Q' 的长等于
与两线段长的差。
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在图四中，比小，所以，P'Q' 弧的长等于。这个性质可以作下面的几何解说：假设有一条线缠绕在渐屈线E上，现在将一端点拉紧在P点，此时，在P' 往Q' 的部分，线仍然缠在渐屈在线，但在P' 往P的部分，则已经拉直成线段。接着，将线继续拉紧解开，缠在P'Q' 弧上的线逐渐被拉成线段，此时，因为有前面所提的性质，所以，在将线拉紧解开的过程中，线的端点必定沿着曲线C由P点移向Q' 点。
以摆线为例，在图三中的渐屈线弧AP'A' 中，不论P' 点的位置在弧上何处，
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AP'A' 弧的长度都是等于P'A' 弧的长加上线段的长。将P' 趋近A'，则
家庭盆栽牡丹种植方法P趋近C。因此，摆线弧AP'A' 的长等于线段的长，此值为 4a。因为摆线弧AP'A' 与摆线弧CQB全等，其长是摆线一拱ACB的一半，所以，可知：若滚动圆的半径为a，则摆线一拱的长度为 8a。
图三
贝多芬故事同理，在图三中，PC弧的长等于Q'B弧的长，此值等于线段的长，也等于前的两倍。因此，若P点的坐标是 ( )，则因为J的
